2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 17:34 


04/06/13
22
Здравствуйте. Необходимо написать матрицу линейного оператора, имеющего только 1 собственный вектор.

Так как ни разу не сталкивался с таким, решил, что скорее всего такое невозможно. Попробуем доказать от противного.

Пусть существует такая матрица. Тогда у нее имеется единственное (возможно кратное) собственное значение, т. к. двум и более различным собственным значениям соответствует как минимум два и более различных собственных векторов. В этом случае характеристический многочлен равен $(a - \lambda)^n$, где $n$ - размерность матрицы. По идее такое возможно только если матрица треугольная с одинаковыми элементами $a$ на главной диагонали. Нам также нужно, чтобы в каждом столбце матрицы был хотя бы один элемент, кроме диагонального, не равный нулю, иначе количество собственных векторов будет бесконечно (диагональные элементы станут нулями при вычислении собственных векторов). Но такого быть не может, так как матрица треугольная и найдется столбец, такой что один его элемент диагональный, а остальные нули. Получили противоречие.

Вопрос, как доказать, что, если характеристический многочлен равен $(a - \lambda)^n$, то матрица должна быть треугольная (верхний-правый или нижний-левый треугольник)? Ну или, если я в чем-то не прав в рассуждениях, поправьте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ниасилил, много букв. Сколько собственных векторов у матрицы $\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 17:41 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
kalbasa в сообщении #732501 писал(а):
как доказать, что, если характеристический многочлен равен $(a - \lambda)^n$, то матрица должна быть треугольная (верхний-правый или нижний-левый треугольник)?

Никак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
kalbasa в сообщении #732501 писал(а):
Необходимо написать матрицу линейного оператора, имеющего только 1 собственный вектор

Если кто-то утверждает, что собственный вектор единственный, значит он что-то скрывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
$$
\left(\begin{matrix} 0& 0& 0\\
0& 0& 1\\
1&0& 0
\end{matrix}\right)
$$

Единственный с точностью до...

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:03 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
kalbasa в сообщении #732501 писал(а):
В этом случае характеристический многочлен равен $(a - \lambda)^n$, где $n$ - размерность матрицы.

Даже это уже неправда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
bot в сообщении #732512 писал(а):
Если кто-то утверждает, что собственный вектор единственный, значит он что-то скрывает.


Например что основное поле $\mathbb F_2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:04 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ

(Оффтоп)

bot в сообщении #732512 писал(а):
Если кто-то утверждает, что собственный вектор единственный, значит он что-то скрывает.

А может, нулевой нужно? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #732517 писал(а):
А может, нулевой нужно? :shock:


Вряд ли. Обычно в определениях это оговаривается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:21 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
kalbasa в сообщении #732501 писал(а):
Необходимо написать матрицу линейного оператора, имеющего только 1 собственный вектор.

Ну, положим, Вы его нашли. Тот самый, единственный.
Возьмите любой коллинеарный к нему. Ясно, что он тоже собственный, соответствующий тому же собственному значению.

И что же теперь делать?

-- 04.06.2013, 20:22 --

g______d в сообщении #732516 писал(а):
bot в сообщении #732512 писал(а):
Если кто-то утверждает, что собственный вектор единственный, значит он что-то скрывает.

Например что основное поле $\mathbb F_2$?

Разве что.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Otta в сообщении #732528 писал(а):
g______d в сообщении #732516 писал(а):
bot в сообщении #732512 писал(а):
Если кто-то утверждает, что собственный вектор единственный, значит он что-то скрывает.
Например что основное поле $\mathbb F_2$?
Разве что.

Нет,
g______d в сообщении #732514 писал(а):
Единственный с точностью до...

Но подобных оговорок обычно никто не делает -- в любом варианте формулировка получится слишком неуклюжей или не слишком корректной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:39 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
ewert в сообщении #732530 писал(а):
Нет,

Рази? Я не очень ориентируюсь в обозначениях, имела в виду кольцо вычетов по модулю 2. Которое обычно $\mathbb Z_2$. A $\mathbb F_2$ это кто?

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Otta в сообщении #732535 писал(а):
имела в виду кольцо вычетов по модулю 2. Которое обычно $\mathbb Z_2$.

Зачем? Естественно, в условии подразумевался "единственный с точностью до постоянного множителя".

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:50 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
ewert в сообщении #732537 писал(а):
Зачем? Естественно, в условии подразумевался "единственный с точностью до постоянного множителя".

:-) Ясно. Правда, я привыкла, что в таких случаях пишут о размерности соотв. подпространства, ну да мало ли к чему я привыкла. :cry:

Тогда вообще никаких проблем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Otta в сообщении #732535 писал(а):
Я не очень ориентируюсь в обозначениях, имела в виду кольцо вычетов по модулю 2. Которое обычно $\mathbb Z_2$. A $\mathbb F_2$ это кто?
А это оно же, только поле. Также известно под кличками $GF(2)$ и $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group