Единственный собственный вектор

[kalbasa]

Здравствуйте. Необходимо написать матрицу линейного оператора, имеющего только 1 собственный вектор.

Так как ни разу не сталкивался с таким, решил, что скорее всего такое невозможно. Попробуем доказать от противного.

Пусть существует такая матрица. Тогда у нее имеется единственное (возможно кратное) собственное значение, т. к. двум и более различным собственным значениям соответствует как минимум два и более различных собственных векторов. В этом случае характеристический многочлен равен $(a - \lambda)^n$, где $n$ - размерность матрицы. По идее такое возможно только если матрица треугольная с одинаковыми элементами $a$ на главной диагонали. Нам также нужно, чтобы в каждом столбце матрицы был хотя бы один элемент, кроме диагонального, не равный нулю, иначе количество собственных векторов будет бесконечно (диагональные элементы станут нулями при вычислении собственных векторов). Но такого быть не может, так как матрица треугольная и найдется столбец, такой что один его элемент диагональный, а остальные нули. Получили противоречие.

Вопрос, как доказать, что, если характеристический многочлен равен $(a - \lambda)^n$, то матрица должна быть треугольная (верхний-правый или нижний-левый треугольник)? Ну или, если я в чем-то не прав в рассуждениях, поправьте.

[ИСН]

Ниасилил, много букв. Сколько собственных векторов у матрицы $\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}$?

[ewert]

kalbasa в сообщении #732501 писал(а):

как доказать, что, если характеристический многочлен равен $(a - \lambda)^n$, то матрица должна быть треугольная (верхний-правый или нижний-левый треугольник)?

Никак.

[bot]

kalbasa в сообщении #732501 писал(а):

Необходимо написать матрицу линейного оператора, имеющего только 1 собственный вектор

Если кто-то утверждает, что собственный вектор единственный, значит он что-то скрывает.

[g______d]

$$ \left(\begin{matrix} 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 1&0& 0 \end{matrix}\right) $$

Единственный с точностью до...

[Nemiroff]

kalbasa в сообщении #732501 писал(а):

В этом случае характеристический многочлен равен $(a - \lambda)^n$, где $n$ - размерность матрицы.

Даже это уже неправда.

[g______d]

bot в сообщении #732512 писал(а):

Если кто-то утверждает, что собственный вектор единственный, значит он что-то скрывает.

Например что основное поле $\mathbb F_2$?

[Nemiroff]

(Оффтоп)

bot в сообщении #732512 писал(а):

Если кто-то утверждает, что собственный вектор единственный, значит он что-то скрывает.

А может, нулевой нужно?

[g______d]

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #732517 писал(а):

А может, нулевой нужно?

Вряд ли. Обычно в определениях это оговаривается.

[Otta]

kalbasa в сообщении #732501 писал(а):

Необходимо написать матрицу линейного оператора, имеющего только 1 собственный вектор.

Ну, положим, Вы его нашли. Тот самый, единственный.
Возьмите любой коллинеарный к нему. Ясно, что он тоже собственный, соответствующий тому же собственному значению.

И что же теперь делать?

-- 04.06.2013, 20:22 --

g______d в сообщении #732516 писал(а):

bot в сообщении #732512 писал(а):

Если кто-то утверждает, что собственный вектор единственный, значит он что-то скрывает.

Например что основное поле $\mathbb F_2$?

Разве что.

[ewert]

Otta в сообщении #732528 писал(а):

g______d в сообщении #732516 писал(а):

bot в сообщении #732512 писал(а):

Если кто-то утверждает, что собственный вектор единственный, значит он что-то скрывает.

Например что основное поле $\mathbb F_2$?

Разве что.

Нет,

g______d в сообщении #732514 писал(а):

Единственный с точностью до...

Но подобных оговорок обычно никто не делает -- в любом варианте формулировка получится слишком неуклюжей или не слишком корректной.

[Otta]

ewert в сообщении #732530 писал(а):

Нет,

Рази? Я не очень ориентируюсь в обозначениях, имела в виду кольцо вычетов по модулю 2. Которое обычно $\mathbb Z_2$. A $\mathbb F_2$ это кто?

[ewert]

Otta в сообщении #732535 писал(а):

имела в виду кольцо вычетов по модулю 2. Которое обычно $\mathbb Z_2$.

Зачем? Естественно, в условии подразумевался "единственный с точностью до постоянного множителя".

[Otta]

ewert в сообщении #732537 писал(а):

Зачем? Естественно, в условии подразумевался "единственный с точностью до постоянного множителя".

Ясно. Правда, я привыкла, что в таких случаях пишут о размерности соотв. подпространства, ну да мало ли к чему я привыкла.

Тогда вообще никаких проблем.

[Xaositect]

Otta в сообщении #732535 писал(а):

Я не очень ориентируюсь в обозначениях, имела в виду кольцо вычетов по модулю 2. Которое обычно $\mathbb Z_2$. A $\mathbb F_2$ это кто?

А это оно же, только поле. Также известно под кличками $GF(2)$ и $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$