2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 17:34 
Здравствуйте. Необходимо написать матрицу линейного оператора, имеющего только 1 собственный вектор.

Так как ни разу не сталкивался с таким, решил, что скорее всего такое невозможно. Попробуем доказать от противного.

Пусть существует такая матрица. Тогда у нее имеется единственное (возможно кратное) собственное значение, т. к. двум и более различным собственным значениям соответствует как минимум два и более различных собственных векторов. В этом случае характеристический многочлен равен $(a - \lambda)^n$, где $n$ - размерность матрицы. По идее такое возможно только если матрица треугольная с одинаковыми элементами $a$ на главной диагонали. Нам также нужно, чтобы в каждом столбце матрицы был хотя бы один элемент, кроме диагонального, не равный нулю, иначе количество собственных векторов будет бесконечно (диагональные элементы станут нулями при вычислении собственных векторов). Но такого быть не может, так как матрица треугольная и найдется столбец, такой что один его элемент диагональный, а остальные нули. Получили противоречие.

Вопрос, как доказать, что, если характеристический многочлен равен $(a - \lambda)^n$, то матрица должна быть треугольная (верхний-правый или нижний-левый треугольник)? Ну или, если я в чем-то не прав в рассуждениях, поправьте.

 
 
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 17:37 
Аватара пользователя
Ниасилил, много букв. Сколько собственных векторов у матрицы $\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}$?

 
 
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 17:41 
kalbasa в сообщении #732501 писал(а):
как доказать, что, если характеристический многочлен равен $(a - \lambda)^n$, то матрица должна быть треугольная (верхний-правый или нижний-левый треугольник)?

Никак.

 
 
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:00 
Аватара пользователя
kalbasa в сообщении #732501 писал(а):
Необходимо написать матрицу линейного оператора, имеющего только 1 собственный вектор

Если кто-то утверждает, что собственный вектор единственный, значит он что-то скрывает.

 
 
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:02 
Аватара пользователя
$$
\left(\begin{matrix} 0& 0& 0\\
0& 0& 1\\
1&0& 0
\end{matrix}\right)
$$

Единственный с точностью до...

 
 
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:03 
kalbasa в сообщении #732501 писал(а):
В этом случае характеристический многочлен равен $(a - \lambda)^n$, где $n$ - размерность матрицы.

Даже это уже неправда.

 
 
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:04 
Аватара пользователя
bot в сообщении #732512 писал(а):
Если кто-то утверждает, что собственный вектор единственный, значит он что-то скрывает.


Например что основное поле $\mathbb F_2$?

 
 
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:04 

(Оффтоп)

bot в сообщении #732512 писал(а):
Если кто-то утверждает, что собственный вектор единственный, значит он что-то скрывает.

А может, нулевой нужно? :shock:

 
 
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:06 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #732517 писал(а):
А может, нулевой нужно? :shock:


Вряд ли. Обычно в определениях это оговаривается.

 
 
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:21 
kalbasa в сообщении #732501 писал(а):
Необходимо написать матрицу линейного оператора, имеющего только 1 собственный вектор.

Ну, положим, Вы его нашли. Тот самый, единственный.
Возьмите любой коллинеарный к нему. Ясно, что он тоже собственный, соответствующий тому же собственному значению.

И что же теперь делать?

-- 04.06.2013, 20:22 --

g______d в сообщении #732516 писал(а):
bot в сообщении #732512 писал(а):
Если кто-то утверждает, что собственный вектор единственный, значит он что-то скрывает.

Например что основное поле $\mathbb F_2$?

Разве что.

 
 
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:29 
Otta в сообщении #732528 писал(а):
g______d в сообщении #732516 писал(а):
bot в сообщении #732512 писал(а):
Если кто-то утверждает, что собственный вектор единственный, значит он что-то скрывает.
Например что основное поле $\mathbb F_2$?
Разве что.

Нет,
g______d в сообщении #732514 писал(а):
Единственный с точностью до...

Но подобных оговорок обычно никто не делает -- в любом варианте формулировка получится слишком неуклюжей или не слишком корректной.

 
 
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:39 
ewert в сообщении #732530 писал(а):
Нет,

Рази? Я не очень ориентируюсь в обозначениях, имела в виду кольцо вычетов по модулю 2. Которое обычно $\mathbb Z_2$. A $\mathbb F_2$ это кто?

 
 
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:42 
Otta в сообщении #732535 писал(а):
имела в виду кольцо вычетов по модулю 2. Которое обычно $\mathbb Z_2$.

Зачем? Естественно, в условии подразумевался "единственный с точностью до постоянного множителя".

 
 
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:50 
ewert в сообщении #732537 писал(а):
Зачем? Естественно, в условии подразумевался "единственный с точностью до постоянного множителя".

:-) Ясно. Правда, я привыкла, что в таких случаях пишут о размерности соотв. подпространства, ну да мало ли к чему я привыкла. :cry:

Тогда вообще никаких проблем.

 
 
 
 Re: Единственный собственный вектор
Сообщение04.06.2013, 18:54 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #732535 писал(а):
Я не очень ориентируюсь в обозначениях, имела в виду кольцо вычетов по модулю 2. Которое обычно $\mathbb Z_2$. A $\mathbb F_2$ это кто?
А это оно же, только поле. Также известно под кличками $GF(2)$ и $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

 
 
 [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group