Формальный вопрос по топологии

[Bod]

Ну вычитание полуинтервалов вроде бы операция вполне корректная в данном случае, но такая постановка в общем то не приносит в рассмотрение ни чего нового, по крайней мере я не вижу что бы она что либо приносила. Иных же вариантов я пока не вижу.

[Brukvalub]

Bod писал(а):

Ну вычитание полуинтервалов вроде бы операция вполне корректная в данном случае, но такая постановка в общем то не приносит в рассмотрение ни чего нового, по крайней мере я не вижу что бы она что либо приносила. Иных же вариантов я пока не вижу.

А никаких вариантов и не нужно. Просто Вы не предложили никакой конструкции покрытия, то что Вы пытались построить, примерно соответствует поиску самого маленького положительного числа. Как нет такого числа, так нет и придуманного Вами покрытия.

[Bod]

Я примерно понял в чем суть, то есть, если так можно сказать, процесс стремления это процесс движения, то есть не статичный режим, таким образом и само покрытие будет все время меняться, но для рассмотрения леммы Гейне-Бореля в некоторый момент все же придется остановится и рассмотреть конкретное покрытие, а тогда радиусы будут иметь вполне конкретную величину. Извиняюсь если говорю немного некорректными фразами. Предельный же переход не определен и что будет с интервалом чей радиус стремиться к 0 все же не совсем ясно.

[Bod]

Есть ещё один вопрос, точнее просьба о совете - как доказать что эти две формулировки эквивалентны (нужно не само доказательство а просто указать направление для рассуждений):
1) Любая точка и не содержащее её множество имеют непересекающиеся окрестности.
2) Любая окрестность U произвольной точки содержит меньшую окрестность той же точки входящую в U вместе со своим замыканием.

[Brukvalub]

Bod писал(а):

1) Любая точка и не содержащее её множество имеют непересекающиеся окрестности.

А что такое окрестность множества?

[Bod]

Ну в общем случае топологических пространств это одно из множеств системы полностью содержащее рассматриваемое множество.

[AlexDem]

Bod писал(а):

Предельный же переход не определен и что будет с интервалом чей радиус стремиться к 0 все же не совсем ясно.

Возникла некоторая аналогия с рациональными числами - в пределе можем получить иррациональный радиус, значит интервал перестанет быть открытым множеством и станет множеством замкнутым, например - точкой?

Bod писал(а):

как доказать что эти две формулировки эквивалентны (нужно не само доказательство а просто указать направление для рассуждений):
1) Любая точка и не содержащее её множество имеют непересекающиеся окрестности.
2) Любая окрестность U произвольной точки содержит меньшую окрестность той же точки входящую в U вместе со своим замыканием.

По-моему, они не эквивалентны. Например, в правой топологии (см. Гликлих "О понятиях топологического пространства и непрерывного отображения") с окрестностями любой точки $b$ вида $(c, \infty)$, где $c < b$ второе утверждение вроде как верно (по крайней мере, в сравнении с естественной топологией отличий нет), а первое - точно нет, поскольку вообще все окрестности пересекаются.

[Brukvalub]

Bod писал(а):

Есть ещё один вопрос, точнее просьба о совете - как доказать что эти две формулировки эквивалентны (нужно не само доказательство а просто указать направление для рассуждений):
1) Любая точка и не содержащее её множество имеют непересекающиеся окрестности.

Brukvalub писал(а):

Bod писал(а):
1) Любая точка и не содержащее её множество имеют непересекающиеся окрестности.
А что такое окрестность множества?

Bod писал(а):

Ну в общем случае топологических пространств это одно из множеств системы содержащее рассматриваемую точку, построенной по соответствующим правилам. Что то я пока ещё не уловил намека. Smile

Мне кажется, что прежде, чем задать вопрос, нужно представлять себе хотя бы на уровне определений все используемые в вопросе объекты

[Bod]

Brukvalub писал(а):

Bod писал(а):

Есть ещё один вопрос, точнее просьба о совете - как доказать что эти две формулировки эквивалентны (нужно не само доказательство а просто указать направление для рассуждений):
1) Любая точка и не содержащее её множество имеют непересекающиеся окрестности.

Brukvalub писал(а):

Bod писал(а):
1) Любая точка и не содержащее её множество имеют непересекающиеся окрестности.
А что такое окрестность множества?

Bod писал(а):

Ну в общем случае топологических пространств это одно из множеств системы содержащее рассматриваемую точку, построенной по соответствующим правилам. Что то я пока ещё не уловил намека. Smile

Мне кажется, что прежде, чем задать вопрос, нужно представлять себе хотя бы на уровне определений все используемые в вопросе объекты

Прошу прощения, я несколько не правильно ответил на ваш вопрос - поспешил и не правильно его прочитал .
Более корректно следующее определение: окрестностью множества M называется всякое открытое множество полностью содержащее в себе M.

[Brukvalub]

Bod писал(а):

Есть ещё один вопрос, точнее просьба о совете - как доказать что эти две формулировки эквивалентны (нужно не само доказательство а просто указать направление для рассуждений):
1) Любая точка и не содержащее её множество имеют непересекающиеся окрестности.
2) Любая окрестность U произвольной точки содержит меньшую окрестность той же точки входящую в U вместе со своим замыканием.

Тогда возникает следующий вопрос: в каком топологическом пространстве все происходит? ( то есть, какая отделимость предполагается?)

[Bod]

Прошу прощения второй раз - что то видимо я сегодня совсем не в духе коль совершаю такое количество оплошностей.
Речь как раз и идет о третей аксиоме отделимости:
1) Любая точка и не содержащее её замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.
и её эквивалентной форме:
2) Любая окрестность U произвольной точки содержит меньшую окрестность той же точки входящую в U вместе со своим замыканием.

[AlexDem]

AlexDem писал(а):

По-моему, они не эквивалентны.

Был неправ... Это оба - условия регулярного пространства, которое, в общем, не обязано быть $T_1$ пространством (что и представлял собой мой пример). В точности такие же условия приведены в Келли "Общая топология", с.154.

Похожее доказательство есть в Энгелькинг "Общая топология", с.71, но я пока не совсем с ним разобрался (в частности - используется ли в нём аксиома $T_1$), и, например, непонятно следующее утверждение далее:

Цитата:

Ясно, что всякое регулярное [подразумевается $T_1$] пространство $X$ является хаусдорфовым. Именно для справедливости этого утверждения мы предположили (кроме возможности отделять точки от замкнутых множеств), что $X$ является $T_1$-пространством. Антидискретное пространство обладает требуемым свойством отделимости, однако не является $T_1$-пространством.

Как в антидискретном пространстве могут найтись непересекающиеся открытые множества, если в его топологии их только два - пустое и всё $X$?..

[Bod]

AlexDem писал(а):

AlexDem писал(а):

По-моему, они не эквивалентны.

Был неправ... Это оба - условия регулярного пространства, которое, в общем, не обязано быть $T_1$ пространством (что и представлял собой мой пример).

Регулярные пространства это пространства одновременно удовлетворяющие двум аксиомам отделимости T1 и T3.

[AlexDem]

Bod писал(а):

Регулярные пространства это пространства одновременно удовлетворяющие двум аксиомам отделимости T1 и T3.

Немного не так:

Келли, с.154 писал(а):

Регулярное пространство, одновременно являющееся $T_1$-пространством, называется $T_3$-пространством.

Энгелькинг, с.71 писал(а):

Топологическое пространство $X$ называется $T_3$-пространством или регулярным пространством$^{1)}$, если $X$ есть $T_1$-пространство и для любого $x \in X$ и каждого замкнутого множества $F \subset X$, такого, что $x \notin F$, существуют открытые множества $U_1$, $U_2$, такие, что $x \in U_1$, $F \subset U_2$ и $U_1 \cap U_2 = \emptyset$.

$^{1)}$ Следует предупредить читателей, что некоторые авторы не включают в определение регулярных, вполне регулярных и нормальных пространств условие, что $X$ есть $T_1$-пространство.

То есть пространство $T_3$ и регулярно, и удовлетворяет $T_1$. Но условий 1) и 2) регулярного пространства, которые Вы приводили выше, недостаточно для того, чтобы $T_1$ выполнялась автоматически.

---
По поводу того, что я писал выше - ошибся. В разобранном состоянии что-то из-за перемены обстановки, надо будет перечитать всё поподробнее...

Конечно, не всякое подмножество, не являющееся открытым - замкнуто (например, полуинтервалы в $R$ ни открыты, ни замкнуты. Хотя есть примеры и таких пространств - связное двоеточие). Поэтому единственное замкнутое множество, что мы можем взять в антидискретной топологии - это пустое множество, при этом оба условия 1) и 2) будут соблюдены, т.к. оба её множества открыто-замкнуты.

То же касается и примера правой топологии - она отличается от естественной, поскольку $[c, \infty)$ не является замкнутым множеством. В ней замыканием, по всей видимости, будет всё пространство $(-\infty, +\infty)$ целиком, потому что иных замкнутых множеств, содержащих в себе открытые, там нет.

То же касается и примера с предельным переходом (хотя в отделимом пространстве всякое конечное множество - замкнуто). Вообще говоря, мы могли бы определить топологию $\mathcal{Q}$ наоборот - системой замкнутых множеств (в $R$ - отрезков), но в этом случае нельзя было бы строить бесконечные объединения множеств, оставаясь в рамках $\mathcal{Q}$ (зато бесконечные пересечения - можно, тогда все множества $\{x\}$ можно было бы получить таким образом).

[Bod]

Цитата:

Регулярное пространство, одновременно являющееся T1 -пространством, называется T3 -пространством.

Данная мною формулировка взята из книги Колмогорова - Элементы теории функций и функционального анализа:

Цитата:

Пространства удовлетворяющие обеим аксиомам T1 и T3 называются регулярными.

В то же время в книге Куратовского "Топология" дается определение схожее с вашим, что меня несколько удивляет - и какая из формулировок является общепринятой?

Цитата:

Но условий 1) и 2) регулярного пространства, которые Вы приводили выше, недостаточно для того, чтобы выполнялась автоматически.

Конечно не достаточно, это необходимые и достаточные условия что бы пространство было T3, речи о регулярности пока не идет (я пока сужу с точки зрения Колмогорова).

Не могли бы проверить доказательство эквивалентности этих формулировок:
1) Любая точка и не содержащее её замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.
2) Любая окрестность U произвольной точки содержит меньшую окрестность той же точки входящую в U вместе со своим замыканием.
Доказательство:
Предположим, соблюдается первое условие. Возьмем произвольную окрестность S произвольной точки x пространства. Дополнение M этой окрестности является множеством замкнутым, а следовательно должна существовать окрестность S1 той же точки, чье замыкание полностью содержится в S (замыкание должно содержаться в S что бы дополнение к нему будучи открытым множеством являлось окрестностью M и в то же время не пересекалось с S1).
С другой стороны, предположим что выполняется условие 2, докажем что из него следует условие 1: Возьмем произвольную точку пространства x и произвольное замкнутое множество M не содержащее эту точку. Дополнением к M является открытое множество, представляющее собой окрестность S точки x. А следовательно в S содержится окрестность S1 вместе со своим замыканием (из второго условия). А из этого следует что дополнение к замыканию S1, является открытым множеством, содержащим M, то есть являющегося окрестностью M не пересекающейся с окрестностью S1 точки x.
То есть из второго условия следует выполнение первого, а из первого второе, следовательно, они эквивалентны.