Помогите определить тип, вид и уравнение кривой

[AntonBelsky]

Отрезок $AB$ - касателен к окружности $r$, точка $A$ лежит на окружности $R$;

Вопрос: какую кривую описывает точка $B$, по мере того, как точка $A$ обходит всю окружность $R$?

[arseniiv]

(1) Вы не дали расстояние между окружностями.
(2) И, видимо, забыли упомянуть неизменность длины отрезка $AB$ и эту длину. Если не задать закон изменения этой длины от положения $A$, точка $B$ может описывать кошмарное количество разных кривых.

[AntonBelsky]

arseniiv в сообщении #729003 писал(а):

(1) Вы не дали расстояние между окружностями.
(2) И, видимо, забыли упомянуть неизменность длины отрезка $AB$ и эту длину. Если не задать закон изменения этой длины от положения $A$, точка $B$ может описывать кошмарное количество разных кривых.

Согласен. Действительно, расстояние между центрами окружностей - $L$, длина отрезка $AB$ - неизменна; радиусы окружностей - неизменны, окружности неподвижны. Спасибо.

[arseniiv]

Заведём координаты. Пусть центр окружности, по которой ходит A, будет $(0, 0)$, а центр второй — $(L, 0)$. Пусть ещё $|AB| \equiv a$.

Давайте выпустим из $A = R(\cos\varphi,\sin\varphi)$ всевозможные прямые с параметрическими уравнениями $(x, y) = R(\cos\varphi,\sin\varphi) + t(a, b)$. Касательны второй окружности только те, которые пересекают её в одной точке. Значит, надо найти, при каких значениях параметра $t$ уравнения $(L, 0) + r(\cos\theta,\sin\theta) = R(\cos\varphi,\sin\varphi) + t(a, b)$ относительно $\theta$ имеют только одно решение. Этих значений будет два. Выбрав одно, вы определите, какую из двух прямых рассматривать.

Теперь надо найти B. Пересеките найденную прямую окружностью радиуса $a$. Получится опять два решения. Можно выбрать любое, т. к. они задают центрально-симметричные относительно A точки, и кривые, описываемые ими, тоже будут «одинаковые».

Итак, найдите координаты B, и будем с этими параметрическими уравнениями что-нибудь делать.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Перенёс в соответствующий раздел

AntonBelsky, формулы оформляйте $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике). В случае неоформления тема будет перемещена в Карантин.
Сейчас формулы поправил.

[AntonBelsky]

Deggial

Благодарю, стало в сто раз красивее.

[Null]

arseniiv в сообщении #729051 писал(а):

Теперь надо найти B. Пересеките найденную прямую окружностью радиуса $a$. Получится опять два решения. Можно выбрать любое, т. к. они задают центрально-симметричные относительно A точки, и кривые, описываемые ими, тоже будут «одинаковые».

Точка А переменная.

[AntonBelsky]

arseniiv

Благодарю за предложенный подход.

Однако, я был бы благодарен за любые идеи, на что похожа итоговая кривая - состоит ли она из сегментов эллипсов, например?

[arseniiv]

Null в сообщении #729103 писал(а):

Точка А переменная.

Ой, забыл.

Да, тогда придётся выбирать ту B, которое по ту же сторону от точки A, что и точка касания окружности.

Насчёт сегментов эллипсов — думаю, вряд ли эта кривая может состоять из конечного числа сегментов разных эллипсов. Всё-таки уравнение бы явно показало, что это такое вообще. Может, кто-то с геометрическим опытом сможет назвать тип/свойства по таким ограничениям.

[AntonBelsky]

Ок, люди с геометрическим опытом .. кмон эврибади !!

[Алексей К.]

AntonBelsky в сообщении #729109 писал(а):

Однако, я был бы благодарен за любые идеи, на что похожа итоговая кривая - состоит ли она из сегментов эллипсов, например?

Конечно, эта кривая не может состоять из "сегментов эллипсов". Можно предположить, заподозрить, поверить, что в каком-то частном случае это будет целиком эллипс, но, очевидно, никак не кривая, набранная из кусочков эллипсов. Почему "очевидно" --- у меня ума не хватает объяснить кратко. Ну типа аналитична она, всё страшно непрерывно, никаких "кусочков" быть не может.

Получил я какое-то весьма громоздкое уравнение $F_1(x,y;L,N)=0$ 6-й степени (два параметра --- расстояние между центрами $L$ и длина отрезка $N$ (поправка через некоторое время: про два радиуса я забыл); а переписывать его сюда я замучаюсь); искать в справочниках, нет ли какой-то известной кривой с готовым названием (а примерно так можно понять Ваш изначальный вопрос) --- как бы немыслимо. И мне кажется (не проверял пока), что ежели бы выбрать систему координат так, чтобы обе окружности касались оси абсцисс, одна снизу, другая сверху --- уравнение $F_2(x,y;L,N)=0$ было бы попроще. При этом, если бы кривую $F_1$ я бы, допустим, нашёл в справочнике, то кривую $F_2$ уже вряд ли нашёл бы (или наоборот): отличие всего лишь в повороте на некоторый угол может сделать уравнение неузнаваемым. (Сравните каноническое уравнение, например, эллипса, и какой-то кривой второго порядка из задачника, про которую надо доказать, что это тоже эллипис).

Ваша задача не похожа на учебную, и опыта у Вас для её решения совсем мало (об этом свидетельствует и Ваше предположение о "кусочках эллипса"). Можно попытаться порешать её здесь, при условии инициативы с Вашей стороны, с нашими наставлениями. В частности, уравнение касательной к заданной окружности, проходящей через заданную точку, потребуется от Вас. Думаю, это будет довольно долго. По дороге, например, поймём, нужно ли Вам неявное уравнение 6-й степени (что Вы с ним будете делать???), или достаточно параметрического, наследующего параметр той (правой) окружности, по которой точечка $A$ движется.

[_Ivana]

Я бы все таки ко всему вышеизложенному напомнил о возможности несложного моделирования и построения различных таких кривых в зависимости от исходных данных - для наглядности.

[AntonBelsky]

Алексей К.

Я не удивлен - ведь моя задача, реально, боевая :)

_Ivana

Простейшее моделирование показало что кривая очень напоминает те, что можно увидеть здесь:

http://www.demonstrations.wolfram.com/EllipticalDrive/

и здесь:

http://www.demonstrations.wolfram.com/P ... arLinkage/

В простейшем случае - кривая напоминает "полярный эллипс", т.е. окружность, деформированную вдоль другой окружности

[AntonBelsky]

Вот она

[_Ivana]

Раз "задача, реально, боевая", то что вам нужно дальше от этой кривой? Вид её вы уже видите. Хотите получить её аналитическое параметрическое уравнение - начинайте выводить как вам сказали выше, с уравнения касательной к окружности, проходящей через заданную точку. Хотите применять на практике - задайте её достаточным количеством точек с последующей гладкой аппроксимацией. А лучше сами скажите, что вам от нее надо, чтобы исключить лишние предположения.