произведение случайных велечин

[mat_dno]

всё-таки,я правильно понял,в ваших формулах вместо $x,y$ должны быть $\xi,\varepsilon$?


хотя нет,тут же случайная величина принимает значение $x$ или $y$

-- 22.05.2013, 17:25 --

кажется понятно.я щас попробую выстроить логическую цепочку,поправте меня,если я где-то ошибусь

[svv]

Еще раз скажу, что стараются различать случайные величины и их значения.
Вот так пишет преподаватель теории вероятностей:

--mS-- в сообщении #726774 писал(а):

$$f_{\xi, \varepsilon}(x,y)=f_\xi(x)\cdot f_{\varepsilon | \xi} (y | x),$$

А вот так написали бы мы, дай нам волю:

$$f(\xi, \varepsilon)=f(\xi)\cdot f(\varepsilon | \xi)$$

Здесь "юзерам" понятно, о чём речь, но математик возмущён: одним символом $f$ обозначены три различные функции!

Аккуратные обозначения часто оправдывают себя даже в "юзерской" практике:

$$f_{X, Y}(x, -y)=f_{X,Y}(x, y)$$

[mat_dno]

$KOV[\xi,\varepsilon]=M[\xi-M(\xi)(\varepsilon-M(\varepsilon))]=M[\xi\varepsilon]; f_\xi\varepsilon=f_\xi(x)\cdot f_\varepsilon|_\xi(y|x)$,где $f_\varepsilon|_\xi$-плотность нормального распределения с параметрами 0 и $\sigma_\varepsilon$(в общем виде).вот тут такой вопрос: это условная вероятность при фиксированном $x$ с значением $y$. а что значит запись:$f_{{\xi|\varepsilon}}$? из этого получаем,что общая плотность есть чётная функция от $y$,тогда
M[\xi\varepsilon]=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\xi\varepsilon f(\xi,\varepsilon)d\xi d\varepsilon=0$$ т.к. функция под интегралом есть нечётная функция от y(вот тут хотелось бы уточнить,функция стала нечётной из за доп. множителя?)

-- 22.05.2013, 18:04 --

извиняюсь за обозначения, в свете вашего последнего сообщения..

[svv]

mat_dno, я тоже извиняюсь, но у Вас закритический "коэффициент размножения ошибок". Скажем, я прошу Вас исправить две ошибки, но при каждом исправлении Вы делаете ещё две ошибки, и их уже четыре, и так далее. Это напоминает цепную реакцию; процесс разбора выходит из-под контроля.

Вот, смотрите, одно только Ваше сообщение, а сколько будет замечаний (и это я совсем не вредничаю!).

mat_dno писал(а):

$KOV[\xi,\varepsilon]=M[\xi-M(\xi)(\varepsilon-M(\varepsilon))]=M[\xi\varepsilon];

Лично я о ковариации ничего не говорил. В моём варианте всё доказательство изложено в этом сообщении, и там нет ничего о ковариации. Я понимаю, что Вам трудно оттого, что советчиков много, и у каждого своя policy.

Далее, сама формула для ковариации написана с ошибками. Во-первых, пропущены скобки. Во-вторых, почему это приравнено к $M[\xi\varepsilon]$?

(Оффтоп)

В третьих, не KOV, а cov.

mat_dno писал(а):

$f_\xi\varepsilon=f_\xi(x)\cdot f_\varepsilon|_\xi(y|x)$

Здесь совсем нет никакого смысла. Если в левой части будет $f_{\xi, \varepsilon}(x,y)$, тогда будет правильно.

mat_dno писал(а):

вот тут такой вопрос: это условная вероятность при фиксированном $x$ с значением $y$

Нет, $f_\varepsilon|_\xi(y|x)$ -- это не вероятность, а плотность вероятности. Это плотность вероятности случайной величины $\varepsilon$ в точке $y$ при условии, что случайная величина $\xi$ равна $x$.

mat_dno писал(а):

а что значит запись:$f_{{\xi|\varepsilon}}$?

А это была бы плотность вероятности $\xi$ при фиксированном $\varepsilon$, но такую величину мы не рассматриваем, она нам не нужна.

mat_dno писал(а):

из этого получаем,что общая плотность есть чётная функция от $y$

Нет, не из четности $f_{\xi|\varepsilon}$, а из четности $f_\varepsilon|_\xi(y|x)$ по аргументу $y$.

mat_dno писал(а):

M[\xi\varepsilon]=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\xi\varepsilon f(\xi,\varepsilon)d\xi d\varepsilon=0$$ т.к. функция под интегралом есть нечётная функция от y(вот тут хотелось бы уточнить,функция стала нечётной из за доп. множителя?)

Да, конкретно из-за множителя $y$ (у Вас он обозначен $\varepsilon$). Вот, смотрите:
$f_{\xi, \varepsilon}(x,y)$ четная по $y$,
$y$ нечетная,
произведение четной и нечетной функций (по одному и тому же аргументу) будет нечетной функцией по этому аргументу.

Ну, а интеграл от нечетной функции по симметричной относительно нуля области равен нулю.

mat_dno писал(а):

извиняюсь за обозначения, в свете вашего последнего сообщения..

О путанице $\xi$ и $x$, а также $\varepsilon$ и $y$ я уж и не говорю. У Вас более серьезная неприятность: путаница между $\xi$ и $\varepsilon$.

[mat_dno]

спасибо,я постораюсь усвоить это.Единственно, что до сих пор мне не ясно как определили чётность условной плотности и почему из этого вытекает такой интеграл?

-- 23.05.2013, 16:53 --

разрешите ещё 1 вопрос: как посчитать 3-й момент для данных распределений и при той же зависимости($\sigma_\varepsilon=f(\xi)$?

[svv]

mat_dno писал(а):

как определили чётность условной плотности

$$f_\varepsilon|_\xi(y|x)=\frac{1}{\sigma(x)\sqrt{2\pi}} e^{ -\dfrac{y^2}{2\sigma^2(x)} }$$

Это плотность нормального распределения с параметрами $0, \sigma^2(x)$, где $x$ -- значение с.в. $\xi$.
Вы должны видеть, что при смене $y$ на $-y$ значение выражения не изменится, так как $(-y)^2=y^2$.
Такая функция называется чётной по $y$.
И ещё заметьте, что это только потому, что мат.ожидание нормального распределения равно нулю по условию. Если бы вместо $y^2$ было $(y-a)^2$, то функция не была бы ни чётной, ни нечётной.

Дальше, раз эта функция чётная, то и плотность совместного распределения

$$f_{\xi, \varepsilon}(x,y)=f_\xi(x)\cdot f_{\varepsilon | \xi} (y | x),$$

тоже чётная по $y$, так как отличается от предыдущей только множителем $f_\xi(x)$, не зависящим от $y$.

Теперь, имея эту плотность, мы можем найти мат.ожидание произведения $\xi\varepsilon$.

$$\mathbb E(\xi\varepsilon)=\int\limits_{x=-\infty}^{+\infty}\int\limits_{y=-\infty}^{+\infty} xy \;f_{\xi, \varepsilon}(x,y)\; dy dx$$

Вот только тут, под интегралом, и появляется функция $xy \;f_{\xi, \varepsilon}(x,y)$, которая нечётна по $y$. Она нечётна, так как равна произведению нечётной $xy$ на чётную $f_{\xi, \varepsilon}(x,y)$.

В силу нечетности подынтегральной функции по $y$ и симметричности области интегрирования по $y$ относительно $y=0$ этот интеграл равен нулю.

(Подробнее)

Обозначим $g(x, y)=xy \;f_{\xi, \varepsilon}(x,y)$. Мы установили, что $g(x, -y)=-g(x, y)$.
Докажем, что $I=\int\limits_{x=-\infty}^{+\infty}\int\limits_{y=-\infty}^{+\infty} g(x, y) dy dx=0$.
Сделаем замену $y=-z$:

$$I=\int\limits_{x=-\infty}^{+\infty}\int\limits_{z=+\infty}^{-\infty} g(x, -z)\; (-dz) dx=\int\limits_{x=-\infty}^{+\infty}\int\limits_{z=-\infty}^{+\infty} g(x, -z)\;dz dx=-\int\limits_{x=-\infty}^{+\infty}\int\limits_{z=-\infty}^{+\infty} g(x, z)\;dz dx=-I$$

Итак, $I=-I$, откуда $I=0$.

[mat_dno]

кажется всё просто,но сам бы не догадался,спасибо. Озадачусь моментом

[svv]

Я там ещё немного добавил в конце, в оффтопе ("Подробнее").

[mat_dno]

всё подробно,как я люблю Быть может,вы ещё и с моментом подскажите, как составить уравнение момента(третьего) для таких распределений и зав-ти?

[svv]

А третий момент какой случайной величины? Тут их много. Уточните у постановщика задачи.

mat_dno в сообщении #727483 писал(а):

всё подробно,как я люблю

В принципе, дидактически правильнее подход ИСН -- так, отвечая на несложные вопросы, через недельку сами до всего добираетесь. Но тут от обеих сторон требуется бычье здоровье и вагон времени.

[mat_dno]

с.в. суммы $A_i=\xi+\varepsilon$. распределения и то,что $\sigma_\varepsilon=f(\xi)$ сохраняется.Мне кажется я придумал:
$\int_{-\infty}^{\infty} x^2\cdot (\exp^{-(lnx-\mu)^2/2(\sigma(x))^2)/\sigma(x)\sqrt{2\pi}} dx$$. Только не знаю к какому эмпирическому моменту приравнять

[Null]

$\xi=\log[\mu;\sigma_\xi]$ как такое возможно? распределение случайной величины зависит от нее самой?

[mat_dno]

то что я предложил ерунда,я осознал.
Если я вас правильно понял,то $\xi$ и $\varepsilon$ у $\sigma$ написаны чтобы было понятно,что они относятся к с.в. $\xi,\varepsilon$ соответственно