В ОТО нет уже обратимого времени

[Someone]

pc20b писал(а):

систему координат (карту) можно построить всегда лишь в бесконечно малой окрестности точки

А что такое "бесконечно малая окрестность точки"? Нельзя ли сформулировать точное определение? А то я, как тополог, знаю только окрестности (не бесконечно малые).

pc20b писал(а):

В окрестности точки особенностей может не быть, но сама по себе метрика может формироваться особенностями (сингулярностями, в которых инварианты кривизны имеют особенности).

А какое нам дело до особенностей, которые находятся где-то далеко-далеко (не в нашей окрестности)?

pc20b писал(а):

... слабо асимптотически простое многообразие $M_4$ называется стационарным ...

Ну, существует такой смысл термина "стационарный". Существует и другой. Какое отношение этот или другой смысл термина "стационарный" имеет к обратимости времени?

pc20b писал(а):

то, чем Вы ограничиваетесь - "глобальное координатное время $x^0$"

Напомните пожалуйста, где утверждалось, что $x^0$ - глобальное координатное время?

Да, тут уже epros ответил, так что повторять его вопросы не буду.

[pc20b]

Someone,
По случаю Вашей материализации на нашей гиперповерхности одновременности, мы тут сбегали на уголок, поэтому пока ограничимся таким предложением по определению $\infty $- малой окрестности : таковой можно считать такую окрестность т.$x$, т.е мн-во $(-x-\varepsilon,x)U(-x,-x+\varepsilon )U(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$, в которой можно "безболезненно", спросив её разрешения, либо занулить её, афинную связность, либо попросить её быть интегрируемой, в том смысле, что перенос любого понравившегося ей вектора вдоль петли, проведенной вокруг точки, возвращает его, вектор, в себя.

[photon]

[mod="photon"]pc20b, используйте знак $A\cup B$, иначе приходится догадываться, что Вы подразумевали

$A\cup B$

[/mod]

[Someone]

pc20b писал(а):

По случаю Вашей материализации на нашей гиперповерхности одновременности, мы тут сбегали на уголок, поэтому пока ограничимся таким предложением по определению - малой окрестности

За пивом, что ли, бегали?

pc20b писал(а):

таковой можно считать такую окрестность т.$x$, т.е мн-во $(-x-\varepsilon,x)U(-x,-x+\varepsilon )U(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$

Бред Вы написали, явно перепили. Не надо было "на уголок" бегать. Ничего не пойму. Причём здесь объединение этих трёх интервалов? Заметьте, что $\varepsilon$-окрестностью точки $x$ (на числовой прямой) называется интервал $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ (предполагается, что $\varepsilon>0$). При этом этот интервал не является "бесконечно малым", несмотря на наличие буквы $\varepsilon$. А Ваша "окрестность", кроме этого интервала, содержит ещё какие-то интервалы.

От Вас требуется определение: "бесконечно малой окрестностью точки $x$ называется ...".

[photon]

pc20b писал(а):

$(-x-\varepsilon,x)U(-x,-x+\varepsilon )U(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$, в

Я не ошибусь, если скажу следующее

$\left(-x-\varepsilon,x\right)\cup\left(-x,-x+\varepsilon \right)\cup\left(x-\varepsilon,x+\varepsilon\right)=\left(-x-\varepsilon, x+\varepsilon\right)$?

[pc20b]

Someone

Цитата:

За пивом, что ли, бегали?

Нет, за флагманом.
photon

Цитата:

используйте знак $A\cup B$, иначе приходится догадываться

Извините.
Разрешите предложить два определения $\infty $ - малой окрестности.

1) Бесконечно малой окрестностью точки $x_0$ называется любое множество, содержащее бесконечно малый открытый шар с центром $x_0$.

2) Бесконечно малой окрестностью точки $x_0=(x_0^1,...,x_0^n)$ $n$- мерного метрического топологического пространства $\mathbf{\mathcal{M}}$ называется любое множество в $\mathbf{\mathcal{M}}$, которое содержит открытое множество, содержащее $x_0$, в каждой точке $x$ которого метрика $ds^2$ пространства $\mathbf{\mathcal{M}}$ и метрика $ds_0^2$ касательного псевдоевклидова пространства $\mathbf{\mathcal{E}}$ разнятся на бесконечно малые второго порядка относительно $\rho (x_0,x)=\sqrt {(x^1-x_0^1)^2+...+(x^n-x_0^n)^2}\to 0$.`

Добавлено спустя 1 час 30 минут 38 секунд:

epros

Цитата:

Примерчик приведите. А то непонятно, о чём Вы. "Какие-то симметрии" в каком-то смысле есть всегда.

Пожалуйста. Полюбившаяся Вам метрика Шварцшильда покрывает одной картой всё пространство-время, за исключением точек, в которых $\theta =0, \theta =\pi $, - исключительно благодаря симметрии

$$\frac {\partial }{\partial \varphi }=0, \frac {\partial }{\partial \theta }=0$$

.

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
Истинное время - это

$$ds=\sqrt {g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$$

. Видите, оно зависит от всех дифференциалов координат $dx^{\mu }$, а не только от $dx^0$.

Это дифференциал времени по часам наблюдателя, движущегося вдоль вектора $dx^i$.

Это дифференциал собственного времени по часам любого наблюдателя, движущегося в направлении любого вектора.

Цитата:

Так я не понял, Вы всё-таки хотите покрыть координатной сеткой всё многообразие? Т.е. конечная область, скажем, на миллион световых лет в каждую сторону Вас не устроит?

Наверно, устроит.

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
"Реальный" это какой?

Это такой, который может иметь смысл для ответа хоть на какие-то физические вопросы, хотя бы в перспективе. Например, я пока не вижу особого физического смысла в ответе на вопрос "что лежит за сингулярностью", ибо механизма, позволяющего наблюдателю её пройти, даже теоретически не предсказывается.

Вот у нас и возник "реальный физический интерес" в попытке ответить на вопросы :

- В чем причина неэквивалентности двух направлений времени, отличающихся знаком? Необратимости времени?
- В чем причина квантовых явлений, в том числе - квантованности (дискретности) пространства-времени?
- В чем причина наличия у элементарных частиц электрического заряда? Массы покоя?

Оказывается, что прояснить причину данных явлений, которые постулируются в термодинамике, квантовой механике и квантовой электродинамике, физике элементарных частиц, соответственно, можно попытаться в рамках ОТО. Поводом для этого является общее свойство кривого пространства, качественно отличающее его от плоского, - его "неголономность". Невозможность связать все его точки в единое целое. В нем в общем случае рушатся многие привычные представления о времени, пространстве и т.д.

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
О группе Ли с времениподобным вектором Киллинга.

Причём тут векторы Киллинга? У нас задача не построить глобальную изометрию, а построить СО и посмотреть, как на ней отразится инверсия времени.

А о каком "времени" идет речь? О $dx^0$? - так это не время. О $x^0$, как, скажем, о мировом времени в системах отсчета, в которых метрика от него не зависит (что возможно только для некоторых частных 4-миров с как раз глобальной изометрией, т.е. при наличии времениподобного вектора Киллинга? - так они нас не интересуют. О $d\tau =\sqrt {g_{00}}dx^0$- времени по часам покоящегося наблюдателя в данной системе отсчета? - так оно будет таким только в тех областях пространства-времени, в которых $g_{00}(x^{\mu })>0$, что выполняется не для всякого гравитационного поля и не в любой системе отсчета.

Об этом и шла речь выше :

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
В областях, где жэнольноль меняет знак при сохранении сигнатуры, это не выполняется.

Вы о чём? Уж не о горизонте ли событий чёрной дыры? Так постройте СО таким образом, чтобы она гладко и без изменения знака $g_{0 0}$ проходила через него.

Совершенно правильно : в определенных случаях удается построить систему отсчета, в которой какая-то область 4-пространства-времени (ПВ) "проходится" конгруенцией мировых линий наблюдателей без изменения знака метрических коэффициентов. Это как правило - сопутствующие движущейся материи системы отсчета, либо "свободно" падающие в вакууме наблюдатели (как в случае решения Шварцшильда, Рейсснера - Нордстрема).

Но важно и другое : существуют системы отсчета (например, наша : мы же с Вами не можем пока "упасть" на, к примеру, электрон), в которых информация об удаленных областях ПВ поставляется, скажем, потоками света, излученного или отраженного какими-то объектами. Вот в них-то, в силу кривизны ПВ, могут возникать весьма любопытные эффекты, как раз и "представляющие физический интерес" : ПВ становится дискретным : может состоять из ячеек, периодически недоступных для проникновения световых (а значит, любых) сигналов. В них время течет по-разному, более того, "временем" называются разные объекты.

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
Цитата:
Четырёхмерие не бывает стационарным или нестационарным. Стационарной или нестационарной может быть СО. О какой группе Вы говорите, непонятно.

Нет, как раз наоборот :слабо асимптотически простое многообразие $M_4$ называется стационарным, если в $M_4$ действует однопараметрическая группа, причем траектории группы являются времениподобными ... (Сибгатуллин, 84, с.87)

Вы явно о чём-то другом. Термин "стационарность" означает независимость от времени. Время для четырёхмерного континуума в целом не определено, оно определено только для СО.

Наличие такой группы в данном ПВ и означает, что в нем существуют СО, в которых метрика не зависит от т.н. мирового времени. В противном случае таких СО не найдется.

Добавлено спустя 50 минут 4 секунды:

Someone

Цитата:

А что такое "бесконечно малая окрестность точки"? Нельзя ли сформулировать точное определение? А то я, как тополог, знаю только окрестности (не бесконечно малые).

Да, ни в одном учебнике пока определение $\infty $- малой окрестности не нашлось. Но и имеющиеся определения тоже нельзя считать исчерпывающими и самоочевидными, ввиду их постулированности.

Конечно, может это не так, но представляется, что понятие $\infty $-й малости должно быть как-то существенным при введении касательных к многообразию пространств в точке, а также при интегрировании в произвольных кривых пространствах.

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
В окрестности точки особенностей может не быть, но сама по себе метрика может формироваться особенностями (сингулярностями, в которых инварианты кривизны имеют особенности).

А какое нам дело до особенностей, которые находятся где-то далеко-далеко (не в нашей окрестности)?

Далеко далеко где кочуют туманы ... Дело, очевидно, в том, что в силу специфики этих особенностей, метрика в данной области, хоть и не имеющей их, может обладать специфическими свойствами. Например, знакопеременностью метрических коэффициентов. При этом и роль "времени" будут брать на себя разные координаты (так что инвариантность при отображении $x^0\to - x^0$ будет отсутствовать).

Цитата:

Ну, существует такой смысл термина "стационарный". Существует и другой. Какое отношение этот или другой смысл термина "стационарный" имеет к обратимости времени?

Например, если стационарность связана с вращением (неустранимым), то изменение знака у временной координаты повлечет изменение в знаке угловой скорости вращения. Т.е. система изменится.
И лишь если стационарность превращается в статичность, то такая инверсия времени ни к чему не приводит (Ландау Лившиц, 67, с.319 ).

Цитата:

Напомните пожалуйста, где утверждалось, что $x^0$ - глобальное координатное время?

Нигде, наверно. Но ведь это подразумевается : то, что $x^0$ - координатное время при условии $g_{00}>0$, - это по определению. С другой стороны, $x^0$ - координатное время (глобальная координата, которая существует всегда) в касательном псевдоевклидовом пространстве к данной точке псевдориманова 4-пространства. И его можно соотнести с любыми значениями $x^0$ в самом кривом пространстве (а не в бесконечно малом интервале $ds$), лишь если оно глобально.

[epros]

pc20b писал(а):

Пожалуйста. Полюбившаяся Вам метрика Шварцшильда покрывает одной картой всё пространство-время, за исключением точек, в которых $\theta =0, \theta =\pi $, - исключительно благодаря симметрии

$$\frac {\partial }{\partial \varphi }=0, \frac {\partial }{\partial \theta }=0$$

.

Чего? Так где необратимость времени?

pc20b писал(а):

- В чем причина неэквивалентности двух направлений времени, отличающихся знаком? Необратимости времени?

В ОТО время обратимо.
Необратимо время в термодинамике.

pc20b писал(а):

- В чем причина квантовых явлений, в том числе - квантованности (дискретности) пространства-времени?

Это не вопрос ОТО.

pc20b писал(а):

- В чем причина наличия у элементарных частиц электрического заряда? Массы покоя?

Это не вопрос ОТО.

pc20b писал(а):

А о каком "времени" идет речь?

По-моему, я уже написал, как выполнить операцию инверсии времени в любой СО.

pc20b писал(а):

Но важно и другое : существуют системы отсчета (например, наша : мы же с Вами не можем пока "упасть" на, к примеру, электрон), в которых информация об удаленных областях ПВ поставляется, скажем, потоками света, излученного или отраженного какими-то объектами. Вот в них-то, в силу кривизны ПВ, могут возникать весьма любопытные эффекты, как раз и "представляющие физический интерес" : ПВ становится дискретным : может состоять из ячеек, периодически недоступных для проникновения световых (а значит, любых) сигналов. В них время течет по-разному, более того, "временем" называются разные объекты.

Чего? Что нам помешает выполнить инверсию времени для "нашей" СО? (Хотя я и не знаю, какую СО Вы имеете в виду под "нашей").

pc20b писал(а):

Наличие такой группы в данном ПВ и означает, что в нем существуют СО, в которых метрика не зависит от т.н. мирового времени. В противном случае таких СО не найдется.

И что? На кой нам стационарная СО? Я же сказал: выполнить инверсию времени можно для любой СО.

pc20b писал(а):

Например, если стационарность связана с вращением (неустранимым), то изменение знака у временной координаты повлечет изменение в знаке угловой скорости вращения. Т.е. система изменится.
И лишь если стационарность превращается в статичность, то такая инверсия времени ни к чему не приводит (Ландау Лившиц, 67, с.319 ).

Ну, изменится знак угловой скорости, и что? Эта метрика перестанет быть решением уравнений ОТО?

[Someone]

pc20b писал(а):

Someone

Цитата:

За пивом, что ли, бегали?

Нет, за флагманом.

Это что-то особо крепкое? Судя по придуманным Вами определениям, до сих пор в себя не пришли.

pc20b писал(а):

Разрешите предложить два определения $\infty $ - малой окрестности.

1) Бесконечно малой окрестностью точки $x_0$ называется любое множество, содержащее бесконечно малый открытый шар с центром $x_0$.

Что такое шар - знаю. Что такое бесконечно малый шар - не знаю. Более того, окрестности точки часто определяются как (открытые) шары с центром в рассматриваемой точке.
Например, в случае числовой прямой $\varepsilon$-шар с центром $x_0$ - это интервал $(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)$. Он ни в каком смысле не является бесконечно малым.

pc20b писал(а):

2) Бесконечно малой окрестностью точки $x_0=(x_0^1,...,x_0^n)$ $n$- мерного метрического топологического пространства $\mathbf{\mathcal{M}}$ называется любое множество в $\mathbf{\mathcal{M}}$, которое содержит открытое множество, содержащее $x_0$, в каждой точке $x$ которого метрика $ds^2$ пространства $\mathbf{\mathcal{M}}$ и метрика $ds_0^2$ касательного псевдоевклидова пространства $\mathbf{\mathcal{E}}$ разнятся на бесконечно малые первого порядка относительно $\rho (x_0,x)=\sqrt {(x^1-x_0^1)^2+...+(x^n-x_0^n)^2}\to 0$.

Бред. Ваше условие "... разнятся на бесконечно малые ..." не накладывает абсолютно никаких ограничений на окрестность: если это условие выполняется в одной окрестности $x_0$, то оно выполняется и в любой другой окрестности той же точки.

Я Вам когда-то рекомендовал повторить курс математического анализа. Вижу, что Вы моему совету не последовали.

[pc20b]

epros

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
Пожалуйста. Полюбившаяся Вам метрика Шварцшильда покрывает одной картой всё пространство-время, за исключением точек, в которых $\theta =0, \theta =\pi $, - исключительно благодаря симметрии

$$\frac {\partial }{\partial \varphi }=0, \frac {\partial }{\partial \theta }=0$$

.

Чего? Так где необратимость времени?

Вы не поняли, извините. Метрика Шварцшильда в координатах кривизн ($x^0=t, x^1=r,x^2=\theta ,x^3=\varphi $) выглядит так :

(1)

$$ds^2=(1-\frac {r_g}{r})dt^2-\frac {dr^2}{(1-\frac {r_g}{r})}d\sigma ^2$$

,

$$d\sigma^2=d\theta ^2+sin^2\theta d\varphi ^2$$

.

$r_g = const$ - гравитационный радиус. Как раз тут, в этой метрике Шварцшильда, никакой необратимости времени, казалось бы, нет - именно потому, что она получена благодаря наличию симметрий в ПВ (изометрий), эти симметрии глобальны, поэтому и время - глобально. Более того, эта метрика (1) статична, поэтому изменение знака у времени (инверсия $t\to -t$) оставляет это ПВ Шварцшильда неизменным. И, казалось бы, Ваш тезис об обратимости времени в ОТО, работает, по крайней мере на таких симметрических геометриях.

Но - даже здесь, ввиду кривизны ПВ, даже вдали от истинной сингулярности $r=0$, есть нюансы. Давайте исследуем их подробно, т.к. они показательны. В этом решении в данной системе отсчета координата $x^0=t$ имеет смысл времени (а $x^1=r$ - пространственной координаты) только в том случае, если метрический коэффициент

$$g_{00}=(1-\frac {r_g}{r})>0$$

- положителен (следовательно, метрический коэффициент $g_{11}<0$ - отрицателен), т.е. при

а) $r>r_g$.

В этом куске мира Шварцшильда метрика не зависит от времени, поэтому инверсия времени $t\to -t$ метрику, а с ней и гравитационное поле, не меняет. Т.е. , можно сказать, время обратимо в том смысле, что его инверсия ничего не меняет.

В области

б) $r<r_g$

ситуация качественно меняется : метрический коэффициент $g_{00}$ становится отрицательным :

$$g_{00}=(1-\frac {r_g}{r})<0$$

. Из метрики (1), переписанной в виде :

$$ds^2=-(\frac {r_g}{r}-1)dt^2+\frac {dr^2}{(\frac {r_g}{r}-1)}-r^2d\sigma ^2$$

, -


следует, что теперь роль времени играет та координата, метрической коэффициент перед которой, при неизменной сигнатуре, положителен, т.е. в этой области ПВ координаты $t$ и $r$ меняются местами. Следовательно, мы должны произвести такие отображения :

$x^0=t\to x^{\tilde {1}}=\tilde {r}$, $g_{00}\to g_{\tilde {1}\tilde {1}}$,

$x^1=r\to x^{\tilde {0}}=\tilde {t}$, $g_{11}\to g_{\tilde {0}\tilde {0}}$.

В этой области ПВ имеем уже другую метрику :

(2)

$$ds^2=\frac {d\tilde {t}^2}{(\frac {r_g}{\tilde {t}}-1)}-(\frac {r_g}{\tilde {t}}-1)d\tilde {r}^2-\tilde {t}^2d\sigma ^2$$

.

Здесь уже ПВ совершенно другое : оно однородно в пространстве, но нестатично во времени и существует конечное время на интервале $0<\tilde {t}<r_g$.

В этой области инверсия времени $\tilde {t}\to -\tilde {t}$, в отличие от метрики (1), даёт совершенно другой результат : метрика (2), оставаясь решением уравнений ОТО, меняется :

$$ds^2=-\frac {d\tilde {t}^2}{(\frac {r_g}{\tilde {t}}+1)}+(\frac {r_g}{\tilde {t}}+1)d\tilde {r}^2-\tilde {t}^2d\sigma ^2$$

.

Более того, она меняется так, что, ввиду того, что метрический коэффициент

$$g_{\tilde {0}\tilde {0}}$$

становится отрицательным, опять время $\tilde {t}$ должно при этом превратиться в радиальную координату, а радиальная координата - стать временной :

$\tilde {t}\to \hat {r}$, $g_{\tilde {0}\tilde {0}}\to g_{\hat {1}\hat {1}}$,

$\tilde {r}\to \hat {t}$, $g_{\tilde {1}\tilde {1}}\to g_{\hat {0}\hat {0}}$,

при этом метрика вновь становится статичной, но соответствует совершенно другой геометрии :

(3)

$$ds^2=(\frac {r_g}{\hat {r}}+1)d\hat {t}^2-\frac {d\hat {r}^2}{(\frac {r_g}{\hat {r}}+1)}-\hat {r}^2d\sigma ^2$$

.

Она описывает ограниченную область пространства

$0<\hat {r}<r_g$.

Для описания мира Шварцшильда можно перейти в другие системы отсчета, не в координатах кривизн. Среди них существуют системы отсчета (Леметра, например), "свободно падающие", которые покрывают всё пространство-время вплоть до сингулярности - точечного источника поля. В них мир Шварцшильда будет выглядеть по-другому, при этом существует, из-за глобальной симметричности данного ПВ, единое координатное время. Но и в этих системах отсчета, ввиду неотрицательности квадрата интервала для причинно связанных событий, движение будет необратимо во времени : после пересечения "сферы Шварцшильда" все движения будут направлены в сторону сингулярности $r=0$. А обратный "вылет" был бы возможен только при движении со скоростью, большей скорости света, да ещё и в прошлое (Филькенштейн, 58; Зельдович Новиков, 71).

Т.о., какой отсюда можно сделать качественный вывод? Вид наблюдаемой реальности в ОТО зависит от кривизны ПВ, т.е. от гравитационного поля, создаваемого какой-то материей, и зависит от системы отсчета - как движутся по отношению к ПВ семейство наблюдателей с произвольно идущими часами, которые только в частных случаях могут быть синхронизованы друг с другом.

В произвольном случае неоднородного нестационарного пространства-времени, ввиду его неголономности, никакого единого времени, а следовательно, и его "обратимости", нет (т.е. либо независимости состояния системы от направления хода времени (статики), либо трансформации всех движений материи в "противоположные" (как в кино при прокрутке пленки в обратную сторону)).

(Мы постараемся прокомментировать попозже и остальные Ваши лаконичные утверждения.)

Добавлено спустя 44 минуты 54 секунды:

Someone

Цитата:

Это что-то особо крепкое? Судя по придуманным Вами определениям, до сих пор в себя не пришли.

Не очень, всего 40С. Понимаете, конечно понятна изначальная абсурдность этой попытки, в рамках общепринятой аксиоматики, но хотелось бы ещё подумать. Мотив бытовой : т.к. пространство кривое, то покрытие его плоскими кусочками карт, касающимися в каких-то точках $\mathbf{\mathcal{M}}$, тем точнее, чем меньше их окрестности. Скажем, в физике существует понятие "физически бесконечно малой величины" (некорректное, естественно).
Повторять придется не только курс математического анализа, но и теорию множеств, в нем присутствующую. За критику большое спасибо.

[epros]

pc20b писал(а):

В этой области инверсия времени $\tilde {t}\to -\tilde {t}$, в отличие от метрики (1), даёт совершенно другой результат : метрика (2), оставаясь решением уравнений ОТО, меняется :

$$ds^2=-\frac {d\tilde {t}^2}{(\frac {r_g}{\tilde {t}}+1)}+(\frac {r_g}{\tilde {t}}+1)d\tilde {r}^2-\tilde {t}^2d\sigma ^2$$

.

Более того, она меняется так, что, ввиду того, что метрический коэффициент

$$g_{\tilde {0}\tilde {0}}$$

становится отрицательным

Во-первых, метрический коэффициент $g_{0 0}$ не отрицательный, потому что после инверсии времени $-r_g < \tilde{t} < 0$.

Во-вторых, раз Вы сами пишете: "... оставаясь решением уравнений ОТО ...", то о чём спич? При инвертировании времени метрика остаётся решением ОТО, хотя это уже не чёрная дыра, а белая дыра. Какие проблемы? Теория инвариантна относительно времени (это не значит, что каждое конкретное решение должно быть инвариантно).

[pc20b]

epros

Цитата:

Во-первых, метрический коэффициент $g_{0 0}$ не отрицательный, потому что после инверсии времени $\tilde{t} < 0$.
Во-вторых, раз Вы сами пишете: "... оставаясь решением уравнений ОТО ...", то о чём спич?

Цитата:

Какие проблемы? Теория инвариантна относительно времени (это не значит, что каждое конкретное решение должно быть инвариантно).

Большая просьба, ещё раз просмотреть изложенную для Вас логику с преобразованиями метрики Ш.

[epros]

pc20b писал(а):

Большая просьба, ещё раз просмотреть изложенную для Вас логику с преобразованиями метрики Ш.

Что ещё-то?

К тому, что выше процитированного мной куска, у меня претензий нет. Вы просто построили некую специфическую СО под радиусом Шварцшильда: ось $\tilde{t}$ - единственная, направление которой лежит внутри светового конуса, т.е. с понятием координатного времени всё нормально. Вы выбрали координаты так, что $\tilde{t} \in (0, r_{g})$. При инверсии времении мы получаем $\tilde{t} \in (-r_{g}, 0)$. Компонента метрики $g_{0 0}$ положительная (как до, так и после инверсии).

[tolstopuz]

pc20b писал(а):

Мотив бытовой : т.к. пространство кривое, то покрытие его плоскими кусочками карт, касающимися в каких-то точках $\mathbf{\mathcal{M}}$, тем точнее, чем меньше их окрестности.

Ну надо же. Вы столько времени рассказывали про умные вещи, и вдруг выясняется, что вы вообще не знаете, что такое многообразие.

[pc20b]

tolstopuz

Цитата:

вы вообще не знаете, что такое многообразие.

Это так. Скажите, пожалуйста, любая открытая окрестность, содержащая данную точку хаусдорфова n - мерного многообразия, может быть взаимно однозначно отображена на открытую односвязную область евклидова пространства той же размерности?

Добавлено спустя 1 час 30 минут 43 секунды:

epros
В Вашем письме от Чт Июл 12, 2007 12:00:22 содержится ряд требующих комментария утверждений :

Цитата:

В ОТО время обратимо.
Необратимо время в термодинамике.

Докажите, пожалуйста, хотя бы первое. С учетом того, что даже в исходной локальной формулировке в ОТО понятие времени отсутствует.

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
- В чем причина квантовых явлений, в том числе - квантованности (дискретности) пространства-времени?

Это не вопрос ОТО.

Тоже, извините, слишком декларативное заявление. С желательным обоснованием. Как раз наоборот, квантовые модели не объясняют природу квантовых явлений. Изначальная идея Эйнштейна как раз и была в том, чтобы с помощью непрерывного нелинейного гравитационного поля объяснить дискретные свойства пространства-времени.

Для этого в ОТО достаточно потенциальных возможностей. В этом направлении удалось получить по крайней мере два результата (см. тему "ОТО - единая геометризующая теория поля" в данном разделе форума). Во-первых, удалось показать, что в определенных метриках в несопутствующих системах отсчета пространство-время разбивается на множество дискретных областей (R- и T- областей Новикова), в которых временная и одна из пространственных координат меняются местами, граница которых непроницаема для световых геодезических.

Действие для таких областей,

$$S=\frac{e^2}{c}\xi $$

, где $\xi $ - безразмерный формфактор, зависящий от геометрии пространства-времени, в случае $\xi =\frac {1}{137}$ становится равным постоянной Планка $\hbar $. Т.е. данная фундаментальная константа - квант действия - является продуктом ОТО ( с учетом того, что и другая фундаментальная константа - электрический заряд электрона $e$ - тоже продукт ОТО (см. ниже))

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
- В чем причина наличия у элементарных частиц электрического заряда? Массы покоя?

Это не вопрос ОТО.

Да, хотя бы потому, что ОТО на него уже ответила :

- электрический заряд $e$ - это первый интеграл уравнений Эйнштейна - Максвелла, геометрически представляет собой горловину (bottleneck) в пространстве-времени с радиусом гауссовой кривизны, равным классическому, $r_h=\frac{e^2}{m_0c^2}$, где $m_0$ - масса покоя элементарной частицы, которая соединяет внутренний нестационарный мир элементарной частицы (вселенную), заполненный незаряженным веществом (пылью), с внешним вакуумным миром. В центральной симметрии - миром Рейсснера - Нордстрема. Например, внутри электрона - вселенная полной массой в 1000 масс солнца. Это - точное решение уравнений ОТО;

- масса покоя $m_0$ - это ещё один первый интеграл уравнений Эйнштейна - Максвелла, равен полной гравитационной массе (энергии) внутреннего мира на горловине. Она намного меньше массы внутреннего мира из-за "гравитационного дефекта массы" - уменьшения энергии системы вследствие фокусирующего (притягивающего) характера гравитационного поля из-за кривизны пространства-времени.

Как электрический заряд $e$, так и масса покоя $m_0$ (а на самом деле и любая физическая характеристика материи - вещества, электромагнитного поля и т.д.) выражаются через кривизну пространства-времени, причем, измеренную в любой его точке
(http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=6820&postdays=0&postorder=asc&start=45) :

$$e=\frac{c^2}{\sqrt k}(_0 K_r^{(2)-1}(_0 K^{(4)}-K^{(4)})^{1/2})$$

,

$$m_0=\frac{c^2}{2k}(_0 K_r^{(2)-{3/2}}(_0 K^{(4)}-K^{(4)}+_0 K_r^{(4)}))$$

.


Здесь $c$, $k$ - скорость света и гравитационная постоянная, связывающие геометрию с физикой (их можно положить равными, скажем, единице и измерять все величины в сантиметрах);
$_\alpha K_\beta ^{(a)}$ - кривизна 2-поверхности, образованной координатными линиями ${x^\mu,x^\nu}$, перпендикулярной координатам ${x^\alpha,x^\beta}$ ($\alpha\neq \beta\neq \mu\neq \nu)$, в пространстве $a$-измерений; $(\mu,\nu = 0,1,2,3)$ ;
$_\alpha K^{(a)}$ - кривизна 3-гиперповерхности, ортогональной координате $x^\alpha$;
$ K^{(4)}$ - скалярная кривизна 4-пространства-времени (гауссова, или внутренняя, кривизна).

Т.о., "объединение гравитации и электромагнетизма" уже содержится в ОТО, электромагнитное поле полностью геометризуется, т.е. является (как, очевидно, и все остальные поля) определенным состоянием гравитационного поля, т.е. проявлением кривизны пространства-времени.

А Вы говорите - "не вопрос ОТО" ...

[tolstopuz]

pc20b писал(а):

Скажите, пожалуйста, любая открытая окрестность, содержащая данную точку хаусдорфова n - мерного многообразия, может быть взаимно однозначно отображена на открытую односвязную область евклидова пространства той же размерности?

Какая-нибудь - да. Любая - не всегда. Возьмите двумерную сферу или тор и посмотрите сами.