Равномерная <--> абсолютная сходимость

[Alexey Rodionov]

Есть функциональный ряд, члены которого непрерывны (не обязательно аналитичны) на компакте в комплексной плоскости. На этом компакте ряд сходится равномерно.
Мало того, он там и абсолютно сходится.
Вообще: может ли ряд из абсолютных величин сходиться не равномерно?
В частности: если члены ряда суть произведения функций аналитических в области включающей компакт на степени сопряженной переменной.

[SpBTimes]

Alexey Rodionov в сообщении #720847 писал(а):

может ли ряд из абсолютных величин сходиться не равномерно?

Ну конечно.

[Alexey Rodionov]

Ну, спасибо.

[Alexey Rodionov]

Простите, ошибся.
Следует читать: "Ну, ограниченно".

[Otta]

Alexey Rodionov в сообщении #720847 писал(а):

Вообще: может ли ряд из абсолютных величин сходиться не равномерно?

Даже без учета специфики Вашей задачи - не может, если сумма ряда (из абсолютных величин) непрерывна на компакте. Следует из теоремы Дини.

[g______d]

Otta в сообщении #721638 писал(а):

не может, если сумма ряда (из абсолютных величин) непрерывна на компакте. Следует из теоремы Дини.

Собственно, это и есть критерий. По условию ряд из модулей обязательно к чему-то сходится. Если "что-то" непрерывно, то сходимость равномерная, а если нет, то нет. И то, и другое бывает.

[Otta]

g______d в сообщении #721641 писал(а):

Собственно, это и есть критерий. По условию ряд из модулей обязательно к чему-то сходится. Если "что-то" непрерывно, то сходимость равномерная, а если нет, то нет. И то, и другое бывает.

Да, конечно.

Меня, собссно, частный случай напоследок озадачил - не сражался ли топикстартер со своим рядом признаком Вейерштрасса? )) Тогда вообще все вопросы лишние.

Но, впрочем, ему, конечно, видней.

[Alexey Rodionov]

Цитата:

Собственно, это и есть критерий. По условию ряд из модулей обязательно к чему-то сходится. Если "что-то" непрерывно, то сходимость равномерная, а если нет, то нет. И то, и другое бывает.

То, безусловно, бывает и легко подтверждается примерами, а вот другое...
В общем случае существование другого кажется очевидным (очевидно = легко доказать?), а в частном даже и не кажется.

[Otta]

Alexey Rodionov в сообщении писал(а):

То, безусловно, бывает и легко подтверждается примерами, а вот другое...
В общем случае существование другого кажется очевидным (очевидно = легко доказать?), а в частном даже и не кажется.

Поэтому я и говорю, что наличие Вашего уточнения сильно озадачивает.
В общем случае: если Ваш ряд (произвольный) с непрерывными слагаемыми равномерно сходится на некотором множестве, не важно, компактного или нет, то его сумма непрерывна. Значит, если сумма не является непрерывной, то равномерной сходимости у Вашего ряда нет.
Поэтому это критерий. Другой вопрос, умеете ли Вы устанавливать непрерывность суммы ряда из модулей.

Ответ так и останется прежним: такое может быть, как может быть и другое.
Мб, Вам стоит конкретизировать задачу?

[Alexey Rodionov]

Цитата:

Ответ так и останется прежним: такое может быть, как может быть и другое.

Почему Вы так думаете?

Конкретизировать? Куда уж больше. Частный случай и так вылитый ряд Хартогса.

[Otta]

Alexey Rodionov в сообщении #720847 писал(а):

В частности: если члены ряда суть произведения функций аналитических в области включающей компакт на степени сопряженной переменной.

Что-то изменилось в мире, похоже. Если это ряд Хартогса, то для $C^n$ какой размерности? Я так понимаю, у Вас одномерный случай, т.е ряд Хартогса = ряду Лорана?
Откуда там степени сопряженной переменной?

Хорошо. Ряд Лорана. Или Тейлора. Без разницы. Если на границе компактного кольца (круга) ряд сходится в каждой точке, то в частности, он сходится абсолютно. И равномерно. На всей области. Это даже больше, чем Вы хотите, но для ряда несколько другого вида.

Верно ли что ни ряд, ни компакт Вам неизвестны, задача носит общий характер?

[Alexey Rodionov]

Что-то изменилось в мире, похоже.

Вижу, что-то неладно в мире
Хорошо бы заняться им...

На пример так:

В рассматриваемом ряде заменяем степени сопряженной переменной z на степени независимой комплексной переменной $z_1$ . Члены нового ряда определены в $C^2$. Известным образом расширяем множество сходимости. Вот он и вылился. Ряд Хартогса.

задача носит общий характер?

Пожалуй. Но здесь не место обсуждать ее целиком.

Мне бы пример попроще. Гелбаума с Омстедом, Фихтенгольца, Ляшко, Незнайка на Луне, журналы Знание-Сила и Мурзилка уже скурил. Не легчает.

Deggial: красный цвет зарезервирован для модераторов. Цитаты следует оформлять тегом quote. Можете также пользоваться кнопкой

[g______d]

Да, если что, пример можно взять такой. Рассмотрим на $[0;1]$ последовательность функций $f_n(x)=nx$ при $0\le x\le 1/n$ и $f(x)=1$ при $1/n<x\le 1$. Ясно что эта последовательность сходится к функции, равной 1 везде, кроме нуля.

Теперь составим из них ряд. Пусть $g_1=f_1$, $g_{n}=f_{n}-f_{n-1}$ при $n\ge 2$. Этот ряд состоит из неотрицательных функций и сходится к той же разрывной функции (как следствие, неравномерно). Теперь каждую $g_n$ заменим $2n$ одинаковыми слагаемыми, равными $\frac{g_n}{2n}$. Такой ряд по-прежнему будет сходиться неравномерно к той же функции.

Наконец, у всех слагаемых с четными номерами поменяем знаки. Новый ряд станет равномерно сходящимся, т. к. общий член (имеющий вид $\pm \frac{ g_n}{2n}$) будет стремиться к нулю равномерно, и все частичные суммы будут равны либо нулю, либо последнему члену.

[Otta]

Попроще.

На отрезке $[0,1]$ рассмотрим ряд из неотрицательных слагаемых $\sum_{n=0}^{\infty}(1-t)t^n$. Легко убедиться, что он сходится, и его сумма везде, кроме точки 1, равна 1. При $t=1$ сумма равна нулю. Отсюда, да и непосредственно, легко увидеть, что ряд сходится неравномерно. Хотя ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(1-t)t^n$ - равномерно сходящийся на том же множестве.

Но это касается вещественной ситуации. В ситуации, когда у Вас ряд Хартогса по двум независимым переменным будет несколько другая картинка. Потому что разложение в ряд по одной из них обеспечит Вам (раз компакт) аналитичность по ней, а аналитичность по второй у Вас есть, значит, аналитична сумма ряда будет по совокупности переменных, что на компакте должно дать ситуацию один в один с описанной Выше одномерной ситуацией для ряда Тейлора.

(Оффтоп)

Цитата:

Вижу, что-то неладно в мире
Хорошо бы заняться им...

Займитесь. Докурите Фихтенгольца для начала. Журнала "Мурзилка", я подозреваю, Вы в глаза не видели.
А если серьезно, Алексей, Вы задаете вопросы в такой манере, будто отвечающий должен быть счастлив от одной возможности видеть Ваши посты. А он чего-то несчастлив. Кому ж приятно, когда за его счет пытаются самоутверждаться. Люди приходят не за этим, а получить новые знания и освежить старые.
Или Вам на самом деле не нужны ответы и обсуждение?

Но меня смущает, что переменные не являются независимыми... впрочем, может, напрасно. Надо будет обдумать на свежую голову... если только ответ не отшибет последнюю охоту. ))

Спокойной ночи.

[Alexey Rodionov]

Цитата:

На отрезке $[0,1]$ рассмотрим ряд из неотрицательных слагаемых $\sum_{n=0}^{\infty}(1-t)t^n$.

Хм... Демидович, № 2785. Видел, но не узнал. Первая тема, стало быть, закрыта.
БОЛЬШОЕ спасибо. Подсказкой для второй тоже послужит. Выразить $t$ через комплексную переменную, перегруппировать и посмотреть, что будет.