Равномерная <--> абсолютная сходимость

[Alexey Rodionov]

Цитата:

Я до такой степени передумала, что не только удалила ответ, но и привела контрпример

Всем устраивает. Отличный пример. Вот Вам за такой пример.

Но, может быть, и мысль была не совсем пустая. Перегнать ее еще раз, отфильтровать, в дубовой бочке выдержать, на смородиновых почках настоять - кто знает, вдруг она массами овладеет или Герцена разбудит.

[Otta]

Alexey Rodionov в сообщении #723960 писал(а):

Но, может быть, и мысль была не совсем пустая.

Может, и не пустая. Трудно сказать, не зная, чего Вы от нее хотели.
Во всяком случае, можно утверждать, что если ряд сходится (поточечно) на некотором множестве, то его сумма непрерывна на всюду плотном в нем.
Следует из теоремы Осгуда-Гобсона о множестве точек равномерной сходимости как раз.
Так что если нужен непременно компакт, то хорош только тот компакт, который содержится в этом самом всюду плотном.

[Otta]

Otta в сообщении #724034 писал(а):

если ряд сходится (поточечно) на некотором множестве, то его сумма непрерывна на всюду плотном в нем.

Ряд из непрерывных слагаемых имелся в виду.

[Otta]

Alexey Rodionov в сообщении #723913 писал(а):

По старой фене квазиравномерная сходимость называлось?

Не. Было такое понятие, как точки равномерной сходимости. В современных учебниках оно не встречается... мне, во всяком случае, не встречалось.

[Alexey Rodionov]

Пойду в пустыню удалюся денька на два-три. Погрызу частный случай и вернусь.

[Alexey Rodionov]

Пустыня просветляет.

Моя новая вера такова:

Если $f_n(z)$ голоморфны в области $D$ и в ней (на всяком вложенном компакте) равномерно сходится ряд с общим членом $a_n(z) = f_n(z) \cdot (\overline{z})^n$, то в той же области равномерно сходится ряд из абсолютных величин $a_n(z)$.
Между прочим, ряд из $a_n(z)$ можно почленно дифференцировать.
Если это кому-то интересно, пишите [e-mail].