Равномерная <--> абсолютная сходимость

[Otta]

Номер не знаю, матан давно читала. Так придумала. А может, вспомнился.

Ваш комплексный ряд в исходном виде, не при $ n=2$, а по степеням сопряженного z на компакте, вообще говоря, идет лесом по тем же причинам. Я думаю, Вы увидите, как. В качестве базы вполне сойдет тот же ряд в в виде $\sum_{k=0}^{+\infty} (1-z)(-\bar z)^k$. Компакт - да хоть тот же отрезок вещественной прямой $[0,1]$. Не хочется отрезков - можно должным образом его несколько расширить, в пределах, скажем, правой половины единичного круга, но так, чтобы граница компакта выходила на границу этого круга только при $z=1$. Должно получиться.

Вот, может и пригодится.

[Alexey Rodionov]

Цитата:

Да, если что, пример можно взять такой. Рассмотрим на $[0;1]$ последовательность функций $f_n(x)=nx$ при $0\le x\le 1/n$ и $f(x)=1$ при $1/n<x\le 1$.

Приятный пример. Спасибо. Даже подумалось, что так многие ряды уравномерить можно.

[Alexey Rodionov]

Цитата:

Ваш комплексный ряд в исходном виде, не при $ n=2$, а по степеням сопряженного z на компакте, вообще говоря, идет лесом по тем же причинам. Я думаю, Вы увидите, как.

Увидел, как.

Больному гораздо хуже.
Не ряд идет лесом по причинам, а лес (из улитки на склоне) идет рядом со мной, по причине моей и его дремучести.

g_____d и Otta еще раз большое спасибо за примеры. Они чудесны и они мне желанны, но не нужны.

А нужно мне знать, оказывается, вот что:

Есть абсолютно и равномерно (на всяком компакте, вложенном в область) сходящийся в области комплексной плоскости функциональный ряд, члены которого непрерывны.

Вообще: может ли ряд из абсолютных величин сходиться не равномерно?
В частности: если члены ряда суть произведения функций аналитических в области на степени сопряженной переменной.

Так что оба вопроса вновь открыты.

Приношу мои искренние извинения.

[SpBTimes]

Alexey Rodionov в сообщении #723057 писал(а):

может ли ряд из абсолютных величин сходиться не равномерно?

Нет. Если ряд из непрерывных функций сходится к непрерывной же функции, то сходимость равномерная

Alexey Rodionov в сообщении #723057 писал(а):

В частности:

Это типа $a_n(z) = f_n(z) \cdot (\overline{z})^n$?

[Otta]

Alexey Rodionov в сообщении #723057 писал(а):

Вообще: может ли ряд из абсолютных величин сходиться не равномерно?

Неравномерно где, в области? Область - открытая связная или еще какие-то условия?

[Alexey Rodionov]

Цитата:

Нет. Если ряд из непрерывных функций сходится к непрерывной же функции, то сходимость равномерная

Дини и Вейерштрасс волнуются.

Если же Вы говорите о ряде из абсолютных величин, то непрерывность его суммы не очевидна.

Цитата:

Это типа $a_n(z) = f_n(z) \cdot (\overline{z})^n$?

Да.

-- 13.05.2013, 00:26 --

Цитата:

Неравномерно где, в области?

Да. Развернуто будет так: Может ли ряд из абсолютных величин сходиться не равномерно на каком-то компакте вложенном в область?

Область - открытая связная. Можно на односвязной размяться.

-- 13.05.2013, 01:14 --

Цитата:

На компакте - очевидна. Непрерывность свойство локальное, попробуйте доказать непрерывность суммы ряда из модулей в каждой точке. Или в некоторой ее малой окрестности.

Мне нравятся Ваши очи.

Не рассказывайте пока всего остального.
Попробую пораскинуть тем, что осталось.

Все же, наверное, не так общо. Вы это убедительно доказали собственным примером.

Может быть эдак: Если ряд с положительными непрерывными членами сходится в области, то на каждом вложенном компакте он сходится равномерно?

[Otta]

(Оффтоп)

Думала, быстро получится. Фигвам. Значит, завтра.

Алексей, прошу прощения, не заметила, что Вы отвечаете и удалила.

[Alexey Rodionov]

Цитата:

Алексей, прошу прощения, не заметила, что Вы отвечаете и удалила.

Что Вы удалили? Не пугайте. Мое все цело.

[Otta]

Alexey Rodionov в сообщении #723088 писал(а):

Цитата:

Алексей, прошу прощения, не заметила, что Вы отвечаете и удалила.

Что Вы удалили? Не пугайте. Мое все цело.

Это ничего не значит. Вас могли удалить целиком.

Ну ладно. А по делу, чем Вам не нравится этот ряд из моего примера?
Ряд из неотрицат. слагаемых. Сходится в каждой точке отрезка [0,1]. Но не будет сходиться равномерно ни на одном компакте (вложенном), содержащем точку 1.

Если нужно, чтобы исходная большая область непременно была открытой, то даже не думая, можно придумать пример на базе этого ряда. Вот как. Продолжить каждое слагаемое периодически с периодом 1 на всю прямую, сумма будет понятно какой и тоже 1-периодической. Разрыв 1 рода в каждой целой точке у суммы со всеми вытекающими. А?

[Alexey Rodionov]

Цитата:

Ну ладно. А по делу, чем Вам не нравится этот ряд из моего примера?

Как это, мне не нравится? Мне очень даже нравится. И варианты возможны.

А вот это

Цитата:

На компакте - очевидна. Непрерывность свойство локальное, попробуйте доказать непрерывность суммы ряда из модулей в каждой точке.

О чем было?

[Otta]

(Оффтоп)

Вы хотите об этом поговорить? (с)

[Alexey Rodionov]

(Оффтоп)

Не поговорить, а пока послушать. Может, из него какой-нибудь принцип вырастет.

[Otta]

Да нет, вроде это к Вашему вопросу не относится. Есть теорема о непрерывности суммы ряда из непрерывных слагаемых. В ней требуется равномерная сходимость на множестве. Но часто этой равномерной сходимости на всем множестве нет. Ну и не страшно. Доказывают непрерывность в каждой точке, накрывая ее "маленьким" множеством, вложенным в исходное, но на котором есть равномерная сходимость. Получают непрерывность суммы на каждом малом множестве, то есть поточечную. А значит и на большом множестве. Стандартный прием. Дифференцируемость "с проблемами" так же обходят.

[Alexey Rodionov]

Цитата:

Да нет, вроде это к Вашему вопросу не относится.

Мне интересно, поскольку было сказано, что сумма ряда из абсолютных величин непрерывна на всяком компакте. Если Вы пошутили, так и хорошо, а если нет, то не грех и развить мысль.

Цитата:

Доказывают непрерывность в каждой точке, накрывая ее "маленьким" множеством, вложенным в исходное, но на котором есть равномерная сходимость.

По старой фене квазиравномерная сходимость называлось?

[Otta]

Alexey Rodionov в сообщении #723913 писал(а):

Мне интересно, поскольку было сказано, что сумма ряда из абсолютных величин непрерывна на всяком компакте.

Ну, знаете... Я до такой степени передумала, что не только удалила ответ, но и привела контрпример,... или он Вас чем-то не устраивает?