найти все целые положительные решения

[inky]

$y^3 = x^3 + 9 x^2 + 17$ Надо найти все целые решения.
Я решил так: сначала доказал что $y$ всегда будет нечетным. Взял случай когда и $x$ и $y$ нечетные и предположил что разница между ними 2, то есть $y=x+2$ , и подставил в формулу: $(y-x)(y^2+xy+x^2)=9x^2+17$. Получилось квадратное уравнение где 2 корня: $x_{1}=1, x_{2}=3$. В этом случае получается 2 решения: $(1, 3)$ и $(3, 5)$.
Но как доказать что тут разница не может быть больше двух? Для четного $x$ у меня решений не получилось.

[Shadow]

Заклинание: Между соседними кубами!

[ИСН]

Так-таки не получилось? А куда делось $x=-6$?

[Shadow]

(Оффтоп)

Была недавно тема, что отрицательные числа не существуют, потом ее спрятали. К счастью ТС, в этой теме тоже не существуют.

[inky]

нужны только целые ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ решения, поэтому (-6, 5) не входит. Так как доказать что разница будет не больше двух?.. я не догнал что там между соседними кубами

[Shadow]

inky в сообщении #721462 писал(а):

нужны только целые ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ решения

А жаль

inky в сообщении #721462 писал(а):

я не догнал что там между соседними кубами

$x^3+9x^2+17 < (x+3)^3$ Согласны? Ну, с учетом тупого ограничения.

[ИСН]

Тьфу ты, не посмотрел на заголовок, а в тексте нету. Ну, тогда всё гораздо проще. Предположили, что разность равна 2? - теперь предположите всё остальное. 1 может? 3 может? Меньше может? Больше может?

[inky]

Shadow спасибо, теперь всё доказывается