Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых

[vicvolf]

Продолжение

3. Гипотеза Лежандра
Для всякого натурального N между $N^2$ и $(N+1)^2$ находится простое число.

Доказательство
Из вероятностной модели Крамера-Грэнвилля (17) следует, что для $p_n>3$ выполняется:
$p_{n+1}-p_n<1,229 \cdot \ln^2(p_n).$(18)
Для $p_n>640$ на основании (18) выполняется неравенство:
$p_{n+1}-p_n<1,229 \cdot \ln^2(p_n)<2\sqrt{p_n}+1.$(19)
Поэтому при $p_n>N^2>640$ $(N=26,p_n=677)$ на основании (19) получаем:
$p_{n+1}-p_n<2N+1=(N+1)^2-N^2.$(20)
Таким образом, доказано (20), что исходя из вероятностной модели Крамера-Грэнвилля при $p_n\geq 677$ расстояние между соседними простыми числами меньше разности квадратов двух соседних натуральных чисел.
Для меньших значений N выполнение гипотезы Лежандра можно проверить по таблицам.

Продолжение следует.

[Ms-dos4]

1)Это давно известно(c другими оценками, и используется там одна из формулировок гипотезы Крамера $\[{p_{n + 1}} - {p_n} = O({\ln ^2}{p_n})\]$, а не гипотезы Крамера-Грэнвилля) Вот только доказать гипотезу Крамера ни в одной из форм не удалось.
2)Вы неверно записали гипотезу Крамера-Грэнвилля. Она формулируется так:
$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup \frac{{{p_{n + 1}} - {p_n}}}{{{{\ln }^2}{p_n}}} = c\]$
где
$\[c \ge 2{e^{ - \gamma }}\]$
Точного равенства этой константе никто не доказал, поэтому нельзя утверждать о правильности ваших количественных оценок.
P.S.Вообще говоря не хорошо это - доказывать что-то на основе недоказанных гипотез.

[vicvolf]

Ms-dos4 в сообщении #720559 писал(а):

Вообще говоря не хорошо это - доказывать что-то на основе недоказанных гипотез.

Читайте тему сначала, а не последнее сообщение, тогда многое станет ясно.

[vicvolf]

Продолжение

Целью данной работы не являлось доказательство указанных гипотез. Эти гипотезы были с успехом доказаны их авторами с использованием формул теории вероятности, при предположении, что вероятность натурального числа х быть простым равна $1/\ln(x)$. Например, Крамер с использованием теории вероятности, при данном предположении доказал, что его гипотеза справедлива с вероятностью 1.
Поэтому целью данной работы было доказательство правомочности использования формул теории вероятности при доказательстве этих гипотез и предположения, что вероятность события, что натуральное число х является простым числом равна $1/\ln(x)$. Это было сделано при доказательстве свойств 1-4 и следствия 2 в первых сообщениях темы.
Вариант доказательства гипотезы Харди-Литлвуда приведен, чтобы показать, как свойства 1-4 и следствие 2 используются при ее доказательстве.
Доказательство гипотезы Лежандра дано, чтобы показать, как из доказательства гипотезы Крамера-Грэнвилля следует доказательство других гипотез о простых числах. И здесь не так важно, с какого номера простого числа она доказана. Важно, что это простое число небольшое и для меньших значений простых чисел гипотеза легко проверяется по таблицам.

Большое спасибо за терпение Буду благодарен за замечания и предложения. Готов ответить на вопросы.

[Someone]

vicvolf в сообщении #720715 писал(а):

Например, Крамер с использованием теории вероятности, при данном предположении доказал, что его гипотеза справедлива с вероятностью 1.

"Справедлива с вероятностью 1", к сожалению, совсем не то же самое, что "справедлива".

[vicvolf]

Someone в сообщении #720721 писал(а):

"Справедлива с вероятностью 1", к сожалению, совсем не то же самое, что "справедлива".

Конечно, ведь он доказывал в пределах своей вероятностной модели. Но, если вероятностная модель Крамера справедлива, то справедлива и гипотеза.

[Someone]

vicvolf в сообщении #720733 писал(а):

Но, если вероятностная модель Крамера справедлива, то справедлива и гипотеза.

Нет.

[vicvolf]

Someone в сообщении #720748 писал(а):

vicvolf в сообщении #720733 писал(а):

Но, если вероятностная модель Крамера справедлива, то справедлива и гипотеза.

Нет.

Я не совсем точно выразился. Гипотеза Крамера: справедлива с вероятностью 1 - это означает, что она справедлива почти наверное.

[Someone]

vicvolf в сообщении #720787 писал(а):

Гипотеза Крамера: справедлива с вероятностью 1 - это означает, что она справедлива почти наверное.

Но это не означает, что гипотеза справедлива.

[tolstopuz]

http://chromotopy.org/?p=117

Если интересно, здесь пример счетно-аддитивной меры, которую можно ввести на натуральных числах, и нетривиальное доказательство, опирающееся на эту меру. Обратите внимание, какие именно теоремы, в общем случае неверные для асимптотической плотности, позволила использовать счетно-аддитивная мера. Не попадитесь в будущем в эту ловушку.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #720874 писал(а):

http://chromotopy.org/?p=117
Если интересно, здесь пример счетно-аддитивной меры, которую можно ввести на натуральных числах, и нетривиальное доказательство, опирающееся на эту меру. Обратите внимание, какие именно теоремы, в общем случае неверные для асимптотической плотности, позволила использовать счетно-аддитивная мера. Не попадитесь в будущем в эту ловушку.

Спасибо! Очень интересно, обязательно посмотрю. Это еще раз подтверждает правильность выбора конечной аддитивности меры в данном случае.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #720907 писал(а):

tolstopuz в сообщении #720874 писал(а):

http://chromotopy.org/?p=117
Если интересно, здесь пример счетно-аддитивной меры, которую можно ввести на натуральных числах, и нетривиальное доказательство, опирающееся на эту меру. Обратите внимание, какие именно теоремы, в общем случае неверные для асимптотической плотности, позволила использовать счетно-аддитивная мера. Не попадитесь в будущем в эту ловушку.

Спасибо! Очень интересно, обязательно посмотрю. Это еще раз подтверждает правильность выбора конечной аддитивности меры в данном случае.

Только давайте я еще раз поясню суть моих претензий к вашим утверждениям, потому что у вас все время что-то путается.

1. Асимптотическая плотность последовательности является конечно-аддитивной мерой на бесконечном множестве натуральных чисел и не является счетно-аддитивной. Когда вы приписываете к этому утверждению слова "является вероятностной мерой на конечном пространстве событий", получается бессмыслица. Когда вы пишете "правильность выбора конечной аддитивности меры", получается банальность, потому что никакого выбора у вас нет. Пространство событий для этой меры, очевидно, бесконечно - вернитесь к определению асимптотической плотности в вашем первом сообщении и внимательно посмотрите на лежащую на боку восьмерку. Свойство 3 (счетная аддитивность) для асимптотической плотности неверно и ссылаться на него, как вы делали выше, некорректно.

2. Плотность последовательности на конечном интервале является вероятностной мерой на конечном пространстве событий. При этом никогда нельзя подменять конечный интервал всем натуральным рядом, в том числе используя заклинание "достаточно большой". Если вам надо перейти к бесконечному интервалу, придется делать явный предельный переход. Если бы мера была счетно-аддитивной, можно было бы воспользоваться теоремами, где эти предельные переходы уже сделаны за вас, но, к сожалению, не судьба. И скорее всего в ключевом месте этот переход будет просто невозможен, иначе все было бы слишком просто :)

[AV_77]

tolstopuz в сообщении #720926 писал(а):

И скорее всего в ключевом месте этот переход будет просто невозможен, иначе все было бы слишком просто

И мы снова возвращаемся к вопросу о существовании предела.

[vicvolf]

Someone в сообщении #720849 писал(а):

vicvolf в сообщении #720787 писал(а):

Гипотеза Крамера: справедлива с вероятностью 1 - это означает, что она справедлива почти наверное.

Но это не означает, что гипотеза справедлива.

Здесь не все просто, надо полумать и обсудить.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #720926 писал(а):

vicvolf в сообщении #720907 писал(а):

tolstopuz в сообщении #720874 писал(а):

http://chromotopy.org/?p=117
Если интересно, здесь пример счетно-аддитивной меры, которую можно ввести на натуральных числах, и нетривиальное доказательство, опирающееся на эту меру. Обратите внимание, какие именно теоремы, в общем случае неверные для асимптотической плотности, позволила использовать счетно-аддитивная мера. Не попадитесь в будущем в эту ловушку.

Спасибо! Очень интересно, обязательно посмотрю. Это еще раз подтверждает правильность выбора конечной аддитивности меры в данном случае.

Только давайте я еще раз поясню суть моих претензий к вашим утверждениям, потому что у вас все время что-то путается.

1. Асимптотическая плотность последовательности является конечно-аддитивной мерой на бесконечном множестве натуральных чисел и не является счетно-аддитивной. Когда вы приписываете к этому утверждению слова "является вероятностной мерой на конечном пространстве событий", получается бессмыслица. Когда вы пишете "правильность выбора конечной аддитивности меры", получается банальность, потому что никакого выбора у вас нет. Пространство событий для этой меры, очевидно, бесконечно - вернитесь к определению асимптотической плотности в вашем первом сообщении и внимательно посмотрите на лежащую на боку восьмерку. Свойство 3 (счетная аддитивность) для асимптотической плотности неверно и ссылаться на него, как вы делали выше, некорректно.

2. Плотность последовательности на конечном интервале является вероятностной мерой на конечном пространстве событий. При этом никогда нельзя подменять конечный интервал всем натуральным рядом, в том числе используя заклинание "достаточно большой". Если вам надо перейти к бесконечному интервалу, придется делать явный предельный переход. Если бы мера была счетно-аддитивной, можно было бы воспользоваться теоремами, где эти предельные переходы уже сделаны за вас, но, к сожалению, не судьба. И скорее всего в ключевом месте этот переход будет просто невозможен, иначе все было бы слишком просто :)

Я же писал, что отказался от варианта 1. Рассматриваю конечное пространство с обычной плотностью, поэтому вопрос о существовании предела отпадает. Первые сообщения в ближайшее время исправлю.