Сжатие контура "бегущей нити".

[dovlato]

romka_pomka в сообщении #718215 писал(а):

имел ввиду то же решение, ошибся в вычислении момента импульса (просто на размерность смотрел: $M\sim vr \sim v \sqrt{S}$ - бежал, торопился и споткнулся)

Я так и понял.

-- Ср май 01, 2013 19:57:52 --

Кстати, ещё вопрос - существует ли вообще установившийся режим качения мягкого кольца. Даже если оно вначале имеет форму, близкую к окружности, но далее теоретически оно будет всё более уплощаться, одновременно ускоряясь. В общем, нет у меня ответа.

[anik]

Изолированная, вращающаяся упругая нить, замкнутая в кольцо, может иметь две устойчивых формы: окружность и эллипс, оси которого не вращаются.

[nikvic]

(Оффтоп)

anik
Брысь.

[dovlato]

Самопроизвольно - т.е. без воздействия внешних сил - контур сложной формы с бегущей нитью вряд ли сможет превратиться, скажем, в окружность. К этому выводу прямо подталкивают законы сохранения. Ведь момент импульса не меняется; следовательно, при гипотетическом превращении контура в окружность, т.е. в фигуру с бо` льшим моментом инерции, энергия вращения уменьшится. Единственно, куда она могла бы уйти - это на разгон радиальных скоростей. Да, но в состоянии равновесия какие-то дополнительные радиальные силы отсутствуют. И не очень понятно, откуда они могут взяться.

[romka_pomka]

Почему нить не может колебаться относительно "положения равновесия" - контура "окружность"? И радиальные скорости сыты, и законы сохранения целы.

[dovlato]

romka_pomka в сообщении #719019 писал(а):

Почему нить не может колебаться относительно "положения равновесия" - контура "окружность"? И радиальные скорости сыты, и законы сохранения целы.

Колебания не только возможны, но, подозреваю, в реальном контуре присутстсвуют всегда.

[romka_pomka]

dovlato в сообщении #719031 писал(а):

Колебания не только возможны, но, подозреваю, в реальном контуре присутствуют всегда.

Правильно понимаю, что вопрос в том, как математически показать колебания?

А эта задача с турбулентностью не связана? Там тоже что-то "вихревое" и не очень устойчивое.

[dovlato]

Да, математической модели нет. Нет дифф. уравнения, описывающего эволюцию. Покуда что простор для фантазий.

[nikvic]

dovlato в сообщении #719046 писал(а):

математической модели нет

Скорей всего, есть. Здесь была тема про хлыст, и там в ссылке были картинки численного эксперимента.

[romka_pomka]

nikvic в сообщении #719053 писал(а):

Здесь была тема про хлыст, и там в ссылке были картинки численного эксперимента.

Ткните пожалуйста меня носом в эту тему и в ссылки.

[nikvic]

_http://math.arizona.edu/~goriely/Papers/2002-PRL(whip).pdf

topic60748.html - тема.

[lucien]

dovlato в сообщении #718137 писал(а):

Так как, в соответствии с условием задачи, $\vec{M}=\mathrm{const}$,

Во-первых, из условия неоткуда не следует, что $\vec{M}=\mathrm{const}$. Во-вторых, предположение, что $\vec{M}=\mathrm{const}$ и $\frac{dE}{dt}\neq0$ не согласуется с условием нерастяжимости нити, которое означает, что касательное ускорение в любой момент времени одинаково вдоль нити $\Rightarrow$ $\vec{M}\neq\mathrm{const}$. Нормальная компонента силы может быть произвольной, но она работы не совершает. И в третьих, мы можем рассмотреть силу, которая лишь ускоряет контур вдоль себя, т.е. меняет энергию контура не изменяя при этом его форму.

(Оффтоп)

Пусть к нити приложена лишь касательная к контуру сила $\vec{f}=f\vec{\tau}$ ($f$ -- сила на единицу длины). Уравнение движения участка $dl=Rd\varphi$:

$$ \rho dl\vec{a}=Td\varphi\vec{n}+fdl\vec{\tau} $$

$$ \vec{a}=\vec{a}_n+\vec{a}_\tau\,,\quad \vec{a}_n=\frac{v^2}{R}\,\vec{n}. $$

$$ \Rightarrow\quad \vec{a}_\tau=\frac{f}{\rho}=\mathrm{const}\quad\Rightarrow\quad f=\mathrm{const}. $$

$$ \frac{d\vec{M}}{dt}=\vec{K}=f\oint[\vec{r}\times d\vec{l}]=2f\vec{S}\,,\quad \frac{dE}{dt}=lvf. $$

Это означает, что задача не имеет решения (энергия контура не связана однозначно с его площадью).

[dovlato]

Посмотрите, именно поэтому я 30 апреля дополнил условие требованием, чтобы момент внешних сил был равен нулю( это достаточное, но не необходимое условие). Относительно связи нерастяжимости нити с Е и М - это нечто для меня загадочное. Представьте себе первоначально круговой контур с бегущей нитью, а вы его сверху и снизу начинаете медленно сжимать пальчиками. Так, чтобы центр оставался точно посредине между ними. Постепенно будут образовываться две окружности поменьше. Момент импульса нити очевидно не изменится; а так как сам собой контур деформироваться не хочет - то вам придётся совершать работу. Остаётся предположить, что она пойдёт на разгон нити.

[lucien]

dovlato в сообщении #723606 писал(а):

Момент нити не изменится; а так как сам собой контур деформироваться не хочет - то вам придётся совершать работу

Еще раз повторюсь: или момент меняется или работа не совершается. Я привела вам вполне конкретные аргументы. Если у вас есть что на это ответить не рукомахательно -- просим.

(Оффтоп)

Дополнение к условию, сделанное вами 30го я не заметила, но суть от этого не меняется.

[dovlato]

Ваше, мадам, размахивание руками, разумеется, гораздо изящнее моего. Но не более доказательно. Потому как продольное ускорение нерастяжимой нити вовсе не влечёт за собой автоматическое изменение момента импульса. Ибо оный зависит не только от скорости нити, но и от формы контура - точнее, как у меня показано, он пропорционален площади контура (!). Которая как раз и уменьшается.