Нестандартные задачи

[arqady]

Батороев писал(а):

Сравнить углы наклона каждой из линий с углом наклона контрольной линии
можно по выражениям:

$ 6(c-1)+1-a^2 $
$ 1-6(1-a)-b^2 $
$ 1-6(1-b)-c^2 $

Это как? Откуда взялись эти выражения?
Вы рассказываете много интересных вещей, господин Батороев. Мне очень любопытно, поверьте, читать то, что вы пишете.
Но мне гораздо интереснее было бы обсуждать доказательство моего неравенства.

[Батороев]

arqady писал(а):

Батороев писал(а):

Сравнить углы наклона каждой из линий с углом наклона контрольной линии
можно по выражениям:

$ 6(c-1)+1-a^2 $
$ 1-6(1-a)-b^2 $
$ 1-6(1-b)-c^2 $

Это как? Откуда взялись эти выражения?

Чтобы стало понятней, я все подправил в предыдущем сообщении.

[Скорцонер]

Согласно неравенству между средними $\frac {a }{b^2 + 5} + \cdots \geqslant 3 (\frac{a}{b^2 + 5} \times \cdots)^{1/3}.$ Справа стоит симметричная функция переменных $a,b,c$. Взяв логарифм и используя для нахождения условного минимума правой части неопределенный множитель Лагранжа, легко показать, что минимум достигается при равных значениях переменных. При этом неравенство переходит в равенство, и, следовательно, абсолютный минимум левой части также достигается при равных значениях переменных.

[arqady]

Скорцонер писал(а):

Согласно неравенству между средними $\frac {a }{b^2 + 5} + \cdots \geqslant 3 (\frac{a}{b^2 + 5} \times \cdots)^{1/3}.$ Справа стоит симметричная функция переменных $a,b,c$. Взяв логарифм и используя для нахождения условного минимума правой части неопределенный множитель Лагранжа, легко показать, что минимум достигается при равных значениях переменных. При этом неравенство переходит в равенство, и, следовательно, абсолютный минимум левой части также достигается при равных значениях переменных.

Но неравенство $ 3 (\frac{a}{b^2 + 5} \times \cdots)^{1/3}\geq\frac{1}{2}$ уже неверно. Проверьте a=b=1.5 и c=0.

[Скорцонер]

Да, у меня явный недосмотр. Так просто это неравенство не раскалывается.

[sergey1]

Перенесем все влево и будем считать левую часть получившегося неравенства функцией f(а),где b и c параметры.Еще потребуем, чтобы а было большим из чисел а,b,c. Тогда достаточвно проверить, что
1. f(1)>=0
2. f'(a)>=0
Второе из неравенств доказывается просто (с учетом максимальности а), а первое проще исходного.

[juna]

Предложу интуитивные соображения.
Легко доказать, что при $a+b+c=3$ искомое выражение ограничено сверху $\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}\leqslant \frac{3}{5}$. Равенство достигается при $(a,b,c)=(3,0,0)$, что соответствует наибольшему перекосу значений переменных, поэтому ясно, что минимум достигается, когда значения переменных максимально сбалансированы, т.е. $a=b=c=1$. Действительно, любое отклонение от точки $(3,0,0)$ приводит к меньшему значению искомого выражения (поскольку $(3,0,0)$ - максимум, не считая перестановки). Искомое выражение инвариантно относительно перестановок переменных: $f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b); f(a,c,b)=f(b,a,c)=f(c,b,a)$. Начнем уменьшать $a=3$ и соответственно увеличивать $b,c$. Уменьшать можно до единицы, поскольку дальше переходим в одну из перестановок переменных. Пусть спустились до $a=1$, тогда $b+c=2$.Подставляя это в искомое выражение, получаем $\frac{1}{(2-c)^2+5}+\frac{2-c}{c^2+5}+\frac{c}{6}$. Если $b>c$, то $f(a,b,c)<f(a,c,b)$. Минимум указанного выражения достигается при $c=1$. Т.е. в точке $(1,1,1)$ условный минимум.

[arqady]

sergey1 писал(а):

Тогда достаточвно проверить, что
1. f(1)>=0
2. f'(a)>=0
Второе из неравенств доказывается просто (с учетом максимальности а),

А какую функцию вы дифференцируете и как? Напомню, что имеется условие a+b+c=3.

sergey1 писал(а):

а первое проще исходного.

Ну вот и докажите.

Добавлено спустя 28 минут 47 секунд:

Артамонов Ю.Н. писал(а):

... поэтому ясно, что минимум достигается, когда значения переменных максимально сбалансированы, т.е. $a=b=c=1$.

Действительно, любое отклонение от точки $(3,0,0)$ приводит к меньшему значению искомого выражения (поскольку $(3,0,0)$ - максимум, не считая перестановки). Искомое выражение инвариантно относительно перестановок переменных: $f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b); f(a,c,b)=f(b,a,c)=f(c,b,a)$. Начнем уменьшать $a=3$ и соответственно увеличивать $b,c$. Уменьшать можно до единицы, поскольку дальше переходим в одну из перестановок переменных. Пусть спустились до $a=1$, тогда $b+c=2$...

Почему спускаясь до a=1 не возникнет ситуация, при которой выражение в левой части неравенства станет меньше $\frac{1}{2}$ затем снова больше $\frac{1}{2}$ ну и дальше ... уже неважно что. Почему нет?

[Pyphagor]

Фразы типа "максимально сбалансированы", "наименьшее отклонение" - не вызывают особого доверия.

[sergey1]

2 arcady
Пишу подробнее.

Пусть $f(a)=\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}- \frac{1}{2}$ и $a>=b>=c$, тогда
$f'(a)= \frac{1}{b^2+5}-\frac{2ac}{(a^2+5)^2}= \frac{(a^2+5)^2-2ac(b^2+5)}{(a^2+5)^2(b^2+5)} $ .
$f'(a)>=0$ - очевидно, в числителе неотрицательное число (a - максимальное!), поэтому функция f(a) неубывающая.
Осталось проверить, что при наименьшем возможном а функция неотрицательна, т.е. осталось проверить неравенство f(1)>=0. С учетом того, что $b+c=2$ это неравенство примет вид: $\frac{1}{b^2+5}+\frac{b}{9-4b+b^2}+\frac{2-b}{6}-\frac{1}{2}>=0$ (то же неравенство, что и у Артамонова Ю.Н.)

[arqady]

sergey1 писал(а):

Пусть $f(a)=\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}- \frac{1}{2}$ и $a>=b>=c$, тогда
$f'(a)= \frac{1}{b^2+5}-\frac{2ac}{(a^2+5)^2}= \frac{(a^2+5)^2-2ac(b^2+5)}{(a^2+5)^2(b^2+5)} $ .

Это неверно потому, что b и c являются функцией от a. Ведь a+b+c=3.

[juna]

Из неравенства между средним арифметическим и гармоническим следует, что
$\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}\geqslant \frac{9}{\frac{b^2+5}{a}+\frac{c^2+5}{b}+\frac{a^2+5}{c}}$(1).
Равенство достигается при $\frac{a}{b^2+5}=\frac{b}{c^2+5}=\frac{c}{a^2+5}$(2).
Если переменные $a,b,c$ удовлетворяют условию $a+b+c=3$, то при выполнении (2) левая часть будет достигать минимума, а правая максимума из возможных значений (это можно доказать для среднего арифметического и гармонического). Условие (2) выполняется при $a=b=c=1$.

[arqady]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Из неравенства между средним арифметическим и гармоническим следует, что
$\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}\geqslant \frac{9}{\frac{b^2+5}{a}+\frac{c^2+5}{b}+\frac{a^2+5}{c}}$(1).

Но ведь $\frac{9}{\frac{b^2+5}{a}+\frac{c^2+5}{b}+\frac{a^2+5}{c}}\geq\frac{1}{2}$ уже неверно!

[juna]

Я говорил немного о другом - для правой части - $\frac1 2$ - максимум возможного, и соответственно для левой - минимум возможного. У среднего арифметического и гармонического для искомых ограничений области возможных значений не пересекаются кроме как на границе.
Но это нужно доказывать.

[arqady]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Я говорил немного о другом - для правой части - $\frac1 2$ - максимум возможного, и соответственно для левой - минимум возможного.

Почему? Для правой части это - неинтересно ( хотя и верно ).
А для левой - в этом, собственно, вся задача!