Предложу интуитивные соображения.
Легко доказать, что при

искомое выражение ограничено сверху

. Равенство достигается при

, что соответствует наибольшему перекосу значений переменных, поэтому ясно, что минимум достигается, когда значения переменных максимально сбалансированы, т.е.

. Действительно, любое отклонение от точки

приводит к меньшему значению искомого выражения (поскольку

- максимум, не считая перестановки). Искомое выражение инвариантно относительно перестановок переменных:

. Начнем уменьшать

и соответственно увеличивать

. Уменьшать можно до единицы, поскольку дальше переходим в одну из перестановок переменных. Пусть спустились до

, тогда

.Подставляя это в искомое выражение, получаем

. Если

, то

. Минимум указанного выражения достигается при

. Т.е. в точке

условный минимум.