Формальный вопрос по топологии

[Brukvalub]

Bod писал(а):

Предположим, что некоторый невырожденный шар не содержит в себе невырожденного шара полностью свободного от точек замыкания нигде не плотного множества M.

Это значит, что в каждой проколотой шаровой окрестности каждой точки этого шара есть точка замыкания, и тогда замыкание целиком содержит этот шар. Последнее означает, что множество М не является нигде не плотным. Получено противоречие.

[Bod]

Если я вас правильно понял то тогда доказательство выглядит следующим образом:
Предположим, что некоторый невырожденный шар S не содержит в себе невырожденного шара полностью свободного от точек замыкания нигде не плотного множества M. Тогда в любой окрестности с не нулевым радиусом для каждой точки из S будет присутствовать хотя бы одна точка из [M]. Учитывая что [M] замкнуто то оно содержит все свои точки прикосновения, а следовательно оно содержит и центры этих окрестностей, но тогда S полностью принадлежит [M]. Последнее означает, что множество М не является нигде не плотным.

Если я ни чего не напутал, то тогда вопросов пока больше не имею.
Большое спасибо.

[Brukvalub]

Вы не напутали.

[Bod]

И в очередной раз я к вам за помощью
Имеется следующая лемма Гейне-Бореля: Из любого покрытия отрезка [a,b] числовой прямой интервалами можно выбрать конечное подпокрытие.
В связи с чем вопрос: предположим что мы расставляем n точек (включая точки a и b) на этом отрезке, причем так что бы разбить его на равные части. Каждая из расставленных точек будет служить центром некого интервала с радиусом равным длине отрезка. Очевидно что полученная система интервалов будет представлять собой покрытие отрезка [a,b] не зависимо от величины n. Теперь положим что n устремляется к бесконечности. Какое конечное подпокрытие отрезка [a,b] можно выбрать из полученного покрытия?
Заранее благодарен.

[Someone]

Bod писал(а):

... Каждая из расставленных точек будет служить центром некого интервала с радиусом равным длине отрезка. ...

Любой интервал, центр которого не совпадает с концом отрезка.

[Bod]

Someone писал(а):

Bod писал(а):

... Каждая из расставленных точек будет служить центром некого интервала с радиусом равным длине отрезка. ...

Любой интервал, центр которого не совпадает с концом отрезка.

Извините должно быть я не совсем корректно описал задачу (хотел сказать чуточку иное) - уточню: Каждая из расставленных точек будет служить центром некого интервала с радиусом равным длине отрезка (не отрезка [а,b] а отрезка полученного разбиением [a,b] на n+1 часть).

[Brukvalub]

Bod писал(а):

Теперь положим что n устремляется к бесконечности. Какое конечное подпокрытие отрезка [a,b] можно выбрать из полученного покрытия?

Такая процедура не приводит к появлению покрытия. Вы сначала сами попробуйте назвать элементы покрытия, получающегося "при

\[n \to \infty \]

", тогда и поймёте некорректность конструкции.

[Bod]

Получатся интервалы чья длина будет стремиться к нулю, но в тоже время исходя из постановки их объединение даст интервал целиком содержащий заданный отрезок [a,b]. Возможно я не совсем понял о чем вы говорите.

[Brukvalub]

Bod писал(а):

Получатся интервалы чья длина будет стремиться к нулю, но в тоже время исходя из постановки их объединение даст интервал целиком содержащий заданный отрезок [a,b]. Возможно я не совсем понял о чем вы говорите.

Brukvalub писал(а):

Вы сначала сами попробуйте назвать элементы покрытия, получающегося "при

\[n \to \infty \]

", тогда и поймёте некорректность конструкции.

Вы все-таки назовите хотя бы один элемент покрытия конкретно, а лучше опишите все его элементы.

[Bod]

Цитата:

Вы все-таки назовите хотя бы один элемент покрытия конкретно, а лучше опишите все его элементы.

Извините, но ни как не пойму что вы подразумеваете под словом "назовите".
В связи с такой постановкой возникает следующий вопрос если радиус некого интервала стремится к нулю, что происходит с самим интервалом? Будет ли он после этого интервалом?

[Brukvalub]

Bod писал(а):

Извините, но ни как не пойму что вы подразумеваете под словом "назовите".

Покрытие является непустым множеством интервалов. "Назвать" интервал для меня означает указать его концы. Например, интервал (0 ; 1). Его концы - точки 0 и 1.

Bod писал(а):

В связи с такой постановкой возникает следующий вопрос если радиус некого интервала стремится к нулю, что происходит с самим интервалом? Будет ли он после этого интервалом?

Вот Вы уже и сами начинаете понимать некорректность Вашей конструкции покрытия, к осмыслению которой (некорректности) я Вас подвожу своим вопросом "назовите интервал"

[Bod]

Цитата:

Вот Вы уже и сами начинаете понимать некорректность Вашей конструкции покрытия, к осмыслению которой (некорректности) я Вас подвожу своим вопросом "назовите интервал"

Именно из-за этих сомнений я и задал данный вопрос вообще. Что же будет представлять из себя данное множество, то есть интервал чей радиус устремить к нулю.

[Brukvalub]

Bod писал(а):

Именно из-за этих сомнений я и задал данный вопрос вообще. Что же будет представлять из себя данное множество, то есть интервал чей радиус устремить к нулю.

Сначала опишите процесс стремления радиуса к нулю в терминах операций над множествами (пересечение, объединение, разность множеств и т.п.), тогда и появится ясность.

[Bod]

Если я вас правильно понял: положим что стремиться к нулю будем следующим образом: будем каждый раз с обоих концов текущего интервала вычитать множества (полуинтервалы) такой длины (1/2 от радиуса) что в результате длина текущего интервала будет сокращаться вдвое. Хотя честно говоря пока не очень понимаю как это поможет.

[Brukvalub]

Вы рассматриваете интервалы как объекты наивной теории множеств, и пытаетесь применить к ним операцию предельного перехода, которая в такой теории множеств не определена. Поэтому я предлагаю Вам записать эту операцию в терминах той теории, которой Вы пользуетесь. А уж как Вы это проделаете - дело Ваше. Главное - определить операцию предельного перехода для интервалов корректно.