Счет и числа.

[master]

Xaositect в сообщении #714261 писал(а):

А1. $1\in\mathbb{N}$.

если это генерация множества по одному элементу, где основание?
если это констатация принадлежности, откуда взялось множество?

[Xaositect]

master в сообщении #714472 писал(а):

если это констатация принадлежности, откуда взялось множество?

Оно есть.
В теории у нас есть символы $1$, $\mathbb{N}$, $+1$. Считается, что объекты, соотыветствующие этим символам, существуют, а аксиомы уже описывают соотношение этих объектов.

[master]

Xaositect в сообщении #714476 писал(а):

$1$

этот символ вполне понятен.

Xaositect в сообщении #714476 писал(а):

$\mathbb{N}$

а что значит этот символ?

[Xaositect]

master в сообщении #714486 писал(а):

а что значит этот символ?

Это множество (точнее, в терминологии Пеано - класс). О классах у Пеано написано, что $a\in b$ означает, что $a$ является $b$, и $b$ здесь - класс, аггрегация вещей.

[master]

Xaositect в сообщении #714488 писал(а):

Это множество

чего?

предъявите два элемента этого множества?

[Xaositect]

master в сообщении #714490 писал(а):

предъявите два элемента этого множества?

$1$, $1+1$.

[master]

Xaositect в сообщении #714494 писал(а):

$1$, $1+1$.

конструируете

предъявите два не конструируемых элемента

Xaositect в сообщении #714494 писал(а):

$1+1$.

можно было и 11

[Xaositect]

master в сообщении #714529 писал(а):

предъявите два не конструируемых элемента

Зачем? Есть множество, в принципе в нем вообще могут быть элементы, которых я никак не могу записать. Например, если бы я переформулировал аксиомы как-нибудь так: $\exists e (e\in\mathbb{N} \& E(e))$, $\forall x y (E(x) \& E(y)\to x = y)$, $\forall x (x\in\mathbb{N} \to \exists y (y\in\mathbb{N} \& S(x, y)))$, $\forall x y z (S(x, y)\& S(x, z)\to y = z)$, $\forall x y z (S(x, z)\& S(y, z)\to x = y)$, $\forall x y (E(x)\to \neg S(y, x))$, то я могу сказать, что в $\mathbb{N}$ есть два различных элемента (в смысле $\exists x y (x\in\mathbb{N}\&y\in\mathbb{N}\&\neg x = y)$), но записать их не смогу (не используя оператора $\iota$, а в моей теории его пока нет).

[epros]

master в сообщении #714529 писал(а):

предъявите два не конструируемых элемента

Интересно, что Вы имеете в виду?

«Натуральное число» — это понятие, т.е. в первую очередь (до того, как мы дали определение) — просто термин, слова, значений которых мы не знаем. А вот после того, как мы перечислили все их существенные свойства (что единица и все её последователи — натуральные числа и т.п.), мы уже начинаем понимать значение этих слов.

[master]

Xaositect в сообщении #714539 писал(а):

Зачем?

правильно не зачем, сие не к чему не приводит, ну если только в теорию поиграться. Так сказать вопрос к размышлению.

повторю ваш пост

Xaositect в сообщении #714494 писал(а):

$1$, $1+1$.

Вы выдали два числа , причем второе через некоторое действие получается из первого, но это уже множество, и оно им останется даже если у вас далее не будет элементов.
$\exists 1$

$1+1=11$

$1,11 \in\mathbb{N}$

epros в сообщении #714544 писал(а):

Интересно, что Вы имеете в виду?

ну например, кто нибудь дал Вам множество неизвестных предметов о природе которых вы не имеете представление, вот эти элементы будут не конструируемые, по крайне мере для вас.

epros в сообщении #714544 писал(а):

Натуральное число» — это понятие, т.е. в первую очередь (до того, как мы дали определение) — просто термин, слова, значений которых мы не знаем. А вот после того, как мы перечислили все их существенные свойства (что единица и все её последователи — натуральные числа и т.п.), мы уже начинаем понимать значение этих слов.

Но кто то ввел этот термин.

[epros]

master в сообщении #714569 писал(а):

ну например, кто нибудь дал Вам множество неизвестных предметов о природе которых вы не имеете представление, вот эти элементы будут не конструируемые, по крайне мере для вас.

Честно говоря, я не имею представления, что Вы имеете в виду под «природой» предметов. Xaositect привёл Вам пример такой формализации арифметики, в которой никакое число нельзя записать через константы (а константа — это имя собственное). Но оказывается, что Вы под «конструированием» понимали вовсе не запись через константы? А что тогда?

master в сообщении #714569 писал(а):

Но кто то ввел этот термин.

Вам нужны ФИО и домашний адрес? Ну, ввели сначала термин «число», потом стали понимать, что числа бывают разные и стали некоторые называть «натуральными». Вам непременно нужно знать кто и при каких обстоятельствах? А без этого понять значение термина «натуральное число» никак не получится?

[jurij]

Xaositect в сообщении #714261 писал(а):

Поскольку вы все-таки не математик, я сформулирую аксиомы из исходного текста Пеано и пояснения...

Отлично! Очень просто и доступно. Тем не менее, есть вопрос.

Xaositect в сообщении #714261 писал(а):

A5. .Это техническая аксиома для понятия равенства. Она говорит, что если два объекта равны(подчеркнуто мной), и один из них - натуральное число, то и другой - тоже натуральное число. Это утверждение очевидно, но в формальной теории мы всегда должны все эти мелочи записывать.

На мой взгляд это вовсе не очевидное утверждение. У Вас один доллар, у меня один евро. Ну или наоборот, неважно. Эти объекты равны между собой - это минимальные денежные единицы. В обменном пункте с этим утверждением не согласятся. Не согласятся потому, что у них другое представление о равенстве. Потому утверждение "...если два объекта равны, и один из них - натуральное число, то и другой - тоже натуральное число." неочевидно, поскольку содержит неопределенное понятие равенство.

epros в сообщении #714425 писал(а):

Нет, это следует понимать так, что случайный разброс показаний нескольких таких часов между собой не превышает указанную величину.

То есть, если Ваши и мои часы "врут" одинаково, то значит они идут очень точно (?).

[Xaositect]

jurij в сообщении #714701 писал(а):

На мой взгляд это вовсе не очевидное утверждение. У Вас один доллар, у меня один евро. Ну или наоборот, неважно. Эти объекты равны между собой - это минимальные денежные единицы. В обменном пункте с этим утверждением не согласятся. Не согласятся потому, что у них другое представление о равенстве. Потому утверждение "...если два объекта равны, и один из них - натуральное число, то и другой - тоже натуральное число." неочевидно, поскольку содержит неопределенное понятие равенство.

Да, равенство изначально неопределенное понятие, его свойства утверждаются аксиомами А2-А5 и А7 таким образом, чтобы отражать смысл "два объекта равны тогда и только тогда, когда мы никаким образом не можем их отличить".

[Sonic86]

jurij в сообщении #714701 писал(а):

Потому утверждение "...если два объекта равны, и один из них - натуральное число, то и другой - тоже натуральное число." неочевидно, поскольку содержит неопределенное понятие равенство.

Sonic86 в сообщении #714240 писал(а):

Пусть мы хотим определить термин $T_1$. Пусть мы определили $T_1$, но через пустое пустое множество терминов определить $T_1$ нельзя, значит определили $T_1$ через некий термин $T_2$. Но тогда $T_2$ тоже должен быть определен. Значит надо определить $T_2$. Пусть мы определили $T_2$, но через пустое пустое множество терминов определить $T_2$ нельзя, значит определили $T_2$ через некий термин $T_3$. Но тогда $T_3$ тоже должен быть определен. Значит надо определить $T_3$. Пусть мы определили $T_3$, но через пустое пустое множество терминов определить $T_3$ нельзя, значит определили $T_3$ через некий термин $T_4$. Но тогда $T_4$ тоже должен быть определен. Значит....
Т.е. это как бы не вопрос. Т.е. он если и решается частично, то не так.

Повторяетесь.

А насчет

jurij в сообщении #714253 писал(а):

Sonic86 писал(а):

Т.е. это как бы не вопрос.

Этот порочный круг легко разрывается практикой.

Ничего подобного, там та же проблема, либо пишите подробнее, ибо непонятно, что имеется ввиду.

[jurij]

Xaositect в сообщении #714707 писал(а):

"два объекта равны тогда и только тогда, когда мы никаким образом не можем их отличить".

Нереально жесткое условие.