Структура вещества в ЧД

[KVV]

VladTK в сообщении #707425 писал(а):

Не я доказал - это Голдберг доказал в 1958 году: Goldberg J. N. (1958), Phys. Rev, 111, 315.

Согласен. Будем пользоваться псевдотензором ЛЛ с $A=1/2$. Во всяком случае для тех расчетов, которые проводил именно я, это неважно, ибо везде было $g=-1$.

VladTK в сообщении #707425 писал(а):

В ОТО строго доказано, что разные псевдотензоры совершенно равноправны.

Равноправны в том плане, что дивергенция любого из них в сумме с ТЭИ дает нуль. Но не всякий псевдотензор позволит сформулировать закон сохранения момента импульса. Так что в общем то не совсем они равноправны.

VladTK в сообщении #707425 писал(а):

Если метод псевдотензоров корректно работает в ОТО, то на любом решении уравнений Эйнштейна мы получим какой-то осмысленный результат для "энергетики".

Вовсе нет, не на любом. В общем случае в ОТО лишь выполняется уравнение $\partial_{k}(\sqrt{-g}\ (T^{ik}+t^{ik}))=0$, которому соответствует интеграл $\int\partial_{k}(\sqrt{-g}\ (T^{ik}+t^{ik}))\ d\Omega=\oint\sqrt{-g}\ (T^{ik}+t^{ik})\ dS_k=0$. Вот и все. Но сохранение интеграла $P^i=1/c\int\sqrt{-g}\ (T^{ik}+t^{ik})\ dS_k$, соответствующее привычным понятиям энергии и импульса, отсюда в общем случае еще никак не следует. Сохраняться он будет при условии замкнутости системы, которое соответствует тому, что исчезает интеграл $\oint\sqrt{-g}\ (T^{ik}+t^{ik})\ dS_k$ по боковой стенке 3-цилиндра, как это разъяснено здесь. Собственно, в СТО та же ситуация с интегралами, разница только в том, что для гравитационного поля в соответствии с ПЭ бессмысленно искать энергию в конечном объеме.

-- 21.04.2013, 21:32 --

schekn в сообщении #708174 писал(а):

Так что же доказывается в конце пар. 105 ЛЛ-2 (формула (105.21)? Все уходят от ответа..

Показывается, что одна и та же величина $m$ определяет и гравитационное поле, и энергию системы.

[Munin]

schekn в сообщении #713622 писал(а):

В ОТО само гр. поле весьма условная вещь. Уравнения движения вещества следуют из уравнения гравитационного поля. Пространство-время искривлено согласно уравнениям Эйнштейна и пробное тело движется по геодезической (как движется не пробное тело, а имеющее размер, я не знаю). Также мне непонятен сам механизм искривления того, что называется пространство-время. Далее мы можем забыть, что есть нечто ( ТЭИ), которое вызвало это искривление. А разве уравнение движения заряда следует из уравнений Максвелла?

По-моему, тут недопонимание такого рода. Если мы знаем искривление пространства-времени во всём пространстве-времени (в 4-мерной области), то тогда да, мы имеем некую "сцену", на которой движется вещество по заданным уравнениям движения. Но это то же самое, как если бы мы в электродинамике знали заранее целиком функции $\mathbf{E,H}(x,y,z,t),$ и рассчитывали бы в них движение зарядов, как во внешнем поле. Но бывает и самосогласованная задача: заданы начальные условия на поле и на заряды, и дальше заряды движутся, и при этом сами создают собственное поле, добавляющееся ко внешнему, и влияющее на заряды же. Вот точно такая же самосогласованная задача может быть поставлена и на систему гравитационное поле + вещество. Такая задача обсуждается в каждом учебнике по ОТО (ЛЛ-2 § 95, Вайнберг § 7.5, МТУ гл. 21). И тогда искривление пространства-времени приобретает все свойства физического поля: оно влияет на заряды, оно само подвержено влиянию со стороны зарядов, и оно не может быть проинтегрировано - имеет собственные степени свободы, например, волны.

[VladTK]

KVV в сообщении #713762 писал(а):

...Будем пользоваться псевдотензором ЛЛ с $A=1/2$... Но не всякий псевдотензор позволит сформулировать закон сохранения момента импульса. Так что в общем то не совсем они равноправны...

Соответственно следует вопрос: почему мы должны пользоваться значением $A=1/2$? Чем оно выделено? Замечу, что все псевдотензоры Голдберга симметричны, а потому допускают формулировку закона сохранения момента импульса. Также прошу еще раз обратить ваше внимание на возражение Меллера против псевдотензора ЛЛ: псевдотензор ЛЛ обладает неверной степенью тензорной плотности. В параграфе 96 ЛЛ-2 (у меня 7-е изд. 1988 года) об этом вскользь упоминается в сноске на странице 367 про корень из определителя метрики на бесконечности.

KVV в сообщении #713762 писал(а):

...Во всяком случае для тех расчетов, которые проводил именно я, это неважно, ибо везде было $g=-1$.

Да, но это лишь специфический выбор системы координат.

KVV в сообщении #713762 писал(а):

Вовсе нет, не на любом. В общем случае в ОТО лишь выполняется уравнение $\partial_{k}(\sqrt{-g}\ (T^{ik}+t^{ik}))=0$, которому соответствует интеграл $\int\partial_{k}(\sqrt{-g}\ (T^{ik}+t^{ik}))\ d\Omega=\oint\sqrt{-g}\ (T^{ik}+t^{ik})\ dS_k=0$. Вот и все. Но сохранение интеграла $P^i=1/c\int\sqrt{-g}\ (T^{ik}+t^{ik})\ dS_k$, соответствующее привычным понятиям энергии и импульса, отсюда в общем случае еще никак не следует. Сохраняться он будет при условии замкнутости системы, которое соответствует тому, что исчезает интеграл $\oint\sqrt{-g}\ (T^{ik}+t^{ik})\ dS_k$ по боковой стенке 3-цилиндра, как это разъяснено здесь. Собственно, в СТО та же ситуация с интегралами, разница только в том, что для гравитационного поля в соответствии с ПЭ бессмысленно искать энергию в конечном объеме.

Так ведь интегральный 4-импульс по всему пространству пусть и важная, но все таки недостаточная для практических применений величина. Фактически, нас чаще интересует именно 4-импульс конечной области пространства. Поэтому давайте не подменять понятий. Сохраняется этот 4-импульс или нет - не суть важно. Главное чтобы он был корректно определен и изменялся при физических процессах известным образом. К сожалению в ОТО этого нет. Соответственно приходится становиться на точку зрения Munin-а: в ОТО понятия энергии-импульса в общем случае нет. А поэтому нет смысла говорить о сохранении или несохранении этой величины.

[schekn]

KVV в сообщении #713762 писал(а):

Показывается, что одна и та же величина определяет и гравитационное поле, и энергию системы.

У Ландау-Лифшица открытым текстом написано про равенство инертной и гравитирующей масс. И инертная масса , как видим, введена некорректно.

VladTK в сообщении #713864 писал(а):

Соответственно приходится становиться на точку зрения Munin-а: в ОТО понятия энергии-импульса в общем случае нет. А поэтому нет смысла говорить о сохранении или несохранении этой величины.

В то же время Munin, сылаясь на Петрова А.Н. говорит об ОТО как о полевой теории. В каком смыле она полевая , если понятие энергии бессмысленно?

[Munin]

schekn в сообщении #713904 писал(а):

В то же время Munin, сылаясь на Петрова А.Н. говорит об ОТО как о полевой теории. В каком смыле она полевая , если понятие энергии бессмысленно?

В сад! Идите в сад! И там в саду выясните, что такое теория поля, и что в ней вовсе не обязательно быть какому-то понятию энергии!

Литература:
Физическая Энциклопедия, статьи "Поля физические", "Нётер теорема", "Гамильтонов формализм"
Медведев "Начала теоретической физики"

[KVV]

VladTK в сообщении #713864 писал(а):

Соответственно следует вопрос: почему мы должны пользоваться значением $A=1/2$?

Ну так для того, чтобы вес плотности был единицей, а не двойкой, нужно брать $A=1/2$, а не $A=1$, как в ЛЛ2.

Кстати, а что за эффект Бауэра, о котором вы упоминали?

VladTK в сообщении #713864 писал(а):

Да, но это лишь специфический выбор системы координат.

Так и есть.

VladTK в сообщении #713864 писал(а):

Так ведь интегральный 4-импульс по всему пространству пусть и важная, но все таки недостаточная для практических применений величина. Фактически, нас чаще интересует именно 4-импульс конечной области пространства. Поэтому давайте не подменять понятий. Сохраняется этот 4-импульс или нет - не суть важно. Главное чтобы он был корректно определен и изменялся при физических процессах известным образом. К сожалению в ОТО этого нет. Соответственно приходится становиться на точку зрения Munin-а: в ОТО понятия энергии-импульса в общем случае нет. А поэтому нет смысла говорить о сохранении или несохранении этой величины.

Для замкнутых систем имеет смысл. В общем случае не имеет смысла, как в СТО, и в классике. Сформулируйте, например, в СТО понятие энергии-импульса для бесконечного ящика с равномерно распределенной плотностью вещества.

-- 22.04.2013, 10:53 --

schekn в сообщении #713904 писал(а):

У Ландау-Лифшица открытым текстом написано про равенство инертной и гравитирующей масс. И инертная масса , как видим, введена некорректно.

Мне остается только процитировать себя еще раз:

KVV в сообщении #713762 писал(а):

Показывается, что одна и та же величина $m$ определяет и гравитационное поле, и энергию системы.

[VladTK]

KVV в сообщении #713962 писал(а):

VladTK в сообщении #713864 писал(а):

Соответственно следует вопрос: почему мы должны пользоваться значением $A=1/2$?

Ну так для того, чтобы вес плотности был единицей, а не двойкой, нужно брать $A=1/2$, а не $A=1$, как в ЛЛ2...

Пардон, не заметил что вы поменяли степень. Допустим что какое-то обоснование своего псевдотензора вы привели. Но вряд ли сторонники других псевдотензоров с вами согласятся

KVV в сообщении #713962 писал(а):

...Кстати, а что за эффект Бауэра, о котором вы упоминали?

Это эффект, который посчитал schekn в сообщении http://dxdy.ru/post713551.html#p713551 Н.В. Мицкевич в монографии "Физические поля в общей теории относительности" в параграфе 3.8 "Проблема гравитационной энергии" пишет:

Цитата:

...Псевдотензор Эйнштейна сразу же подвергся критике. В 1918 году Бауэр нашел, что в пустом плоском мире в декартовых координатах как плотность, так и интегральная величина энергии, вычисленные с помощью этого псевдотензора, равны нулю, но при переходе к сферической системе (неподвижной относительно предыдущей) плотность энергии становится отличной от нуля, а ее интегральное значение - бесконечным! Появилось сомнение в правомерности понятия локализации гравитационной энергии. Этот беспрецедентный случай вызвал острую полемику. Эйнштейн признал, что его псевдотензор пригоден лишь в случае замкнутых (островных) систем, причем необходимо, чтобы на бесконечности координаты становились истинно декартовыми...

KVV в сообщении #713962 писал(а):

Для замкнутых систем имеет смысл. В общем случае не имеет смысла, как в СТО, и в классике. Сформулируйте, например, в СТО понятие энергии-импульса для бесконечного ящика с равномерно распределенной плотностью вещества.

В ОТО само понятие "замкнутая система" является весьма условным. Тут уже вступает в дело космология ОТО.

Что же касается бесконечного ящика в СТО то вы очевидно имеете ввиду расходимость полной энергии-импульса такой системы? Но как это влияет на само определение энергии-импульса? Никак. В СТО это понятие является точно определенным для любого конечного объема. Ну а для всего пространства как повезет.

[myhand]

Munin в сообщении #713850 писал(а):

По-моему, тут недопонимание такого рода.

Недопонимание тут - другого рода. К сожалению, оно на вашей совести.

Собственно, вам попытались указать на тот факт, что в электродинамике уравнения движения частиц и уравнения поля - независимы. В том смысле, что в электродинамике уравнения поля ничего не говорят о том, как должны двигаться "заряды", т.е. особенности поля. В ОТО, напротив, уравнения движения таких особенностей (уравнения геодезических) - не независимы от уравнений поля $G_{ij}=0$, они следуют из них.

Впрочем, schekn приплел к этому и постановку задачи Коши (для которой, действительно, принципиальной разницы - нет). Трудно понять в итоге, что его смущает. Вероятно, каша в голове...

[kirillD]

myhand в сообщении #714034 писал(а):

Собственно, вам попытались указать на тот факт, что в электродинамике уравнения движения частиц и уравнения поля - независимы. В том смысле, что в электродинамике уравнения поля ничего не говорят о том, как должны двигаться "заряды", т.е. особенности поля. В ОТО, напротив, уравнения движения таких особенностей (уравнения геодезических) - не независимы от уравнений поля , они следуют из них.

Очень существенное замечание. Очень.

[Munin]

myhand в сообщении #714034 писал(а):

Собственно, вам попытались указать на тот факт, что в электродинамике уравнения движения частиц и уравнения поля - независимы.

Я не заметил, что именно на него. И уж тем более он не на моей совести.

kirillD в сообщении #714053 писал(а):

Очень существенное замечание. Очень.

Да, но оно следующее по порядку, чем сам вопрос, а как ставить задачу Коши, и достаточно подробно освещено в там, где куда я дал ссылки.

[SergeyGubanov]

KVV в сообщении #713762 писал(а):

В общем случае в ОТО лишь выполняется уравнение $\partial_{k}(\sqrt{-g}\ (T^{ik}+t^{ik}))=0$, которому соответствует интеграл $\int\partial_{k}(\sqrt{-g}\ (T^{ik}+t^{ik}))\ d\Omega=\oint\sqrt{-g}\ (T^{ik}+t^{ik})\ dS_k=0$.

Это альтернативная лжематематика. В обыкновенной математике свободный тензорный индекс $i$ под знаком интегрирования недопустим. В обыкновенной математике "сохраняться" может только векторный "ток" $\nabla_{k} J^{k} = 0$:

$$0 = \int\limits_{\Omega} \partial_{k} \left( \sqrt{-g} J^{k} \right) d_4 x = \oint\limits_{\partial \Omega} J^{k} \sqrt{-g} \, dS_{k} \eqno(1)$$

Чтобы из тензора энергии импульса (или из тензора Эйнштейна) получить вектор "тока" $J^{\mu}$ его нужно свернуть по одному индексу с каким-то другим вектором $\xi_{\nu}$:

$$J^{\mu} = T^{\mu \nu} \xi_{\nu} \eqno(2)$$

Если $\xi_{\nu}$ - вектор Киллинга, то "ток" $J^{\mu}$ сохраняется. Если $\xi_{\mu}$ времениподобный вектор, то это выражает в ОТО закон сохранения энергии в системе отсчёта в которой нулевой реперный вектор $e^{(0)}_{\mu} = \xi_{\mu}$.

KVV в сообщении #713762 писал(а):

Собственно, в СТО та же ситуация с интегралами, разница только в том, что для гравитационного поля в соответствии с ПЭ бессмысленно искать энергию в конечном объеме.

Вы не правильно понимаете принцип эквивалентности. Плотность энергии гравитационного поля определяемая тензором Эйнштейна $- \frac{c^4}{8 \pi k} G_{\mu \nu}$ прекраснейшим образом определена для конечного объёма. Взять хотя бы Эйнштейна де Ситтера в синхронной системе:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( h t \right)^{4/3} \left( dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2 \right) \eqno(3)$$

$$\varepsilon^{\rm (grav)} = - \frac{c^2}{6 \pi k t^2} \eqno(4)$$

$$dE^{\rm (grav)} = - \frac{c^2 h^2}{6 \pi k} r^2 \sin(\theta) \, dr \, d\theta \, d\varphi \eqno(5)$$

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #714251 писал(а):

Плотность энергии гравитационного поля определяемая тензором Эйнштейна $- \frac{c^4}{8 \pi k} G_{\mu \nu}$ прекраснейшим образом определена для конечного объёма.

Дык, это же $-T_{\mu\nu}$. Ещё бы ему не быть "прекраснейшим образом определённым". Только никакого закона сохранения это не даёт, кроме тривиального $0=0$.

(Оффтоп)

SergeyGubanov в сообщении #714251 писал(а):

Это альтернативная лжематематика.

Вор кричит: "Держи вора!"

[schekn]

myhand в сообщении #714034 писал(а):

Впрочем, schekn приплел к этому и постановку задачи Коши (для которой, действительно, принципиальной разницы - нет). Трудно понять в итоге, что его смущает. Вероятно, каша в голове...

Каша не только в моей голове , но и в учебниках известных ученых, которые под час противоречат друг другу. Про постановку задачи Коши у меня действительно есть вопросы, но как-нибудь в отдельной теме.

-- 22.04.2013, 22:55 --

VladTK в сообщении #713997 писал(а):

Это эффект, который посчитал schekn в сообщении post713551.html#p713551

Караул! У меня не совпадает ответ , вычисленный для того же случая : плотность нулевой компоненты псевдотензора для Минковского в сферических координатах по второй формуле ЛЛ-2 (96.9).



Вроде остаются только слагаемые в (96.9): 1,3,6.

$16{\pi}k(-g)t^{00}/c^4=(\sqrt{-g}g^{00}),_m(\sqrt{-g}g^{mm}),_m+$


$+ (1/2)g^{00}g_{mm}((\sqrt{-g}g^{mm}),_m)^2+$


$+g_{00}g^{mm}((\sqrt{-g}g^{00}),_m)^2$

$m=1,2$

Иногда его удобнее использовать, поскольку через символы Кристоффеля получается длинющее выражения в 10-15 строк и Maxima выпадает в осадок.
Может кто поможет?

[Munin]

schekn в сообщении #714289 писал(а):

Каша не только в моей голове , но и в учебниках известных ученых, которые под час противоречат друг другу.

Вам неоднократно говорили, как с этим разбираться: не смотреть на предварительные формулировки, а смотреть на окончательные. Но вы игнорируете добрые советы.

[VladTK]

Someone в сообщении #714265 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #714251 писал(а):

Это альтернативная лжематематика.

Вор кричит: "Держи вора!"

Someone, я не понимаю почему Вы считаете "SergeyGubanov" "вором"? Он же задал интересный вопрос. Возможно Вы знаете ответ и я бы с удовольствием его послушал.

Итак. У нас есть интеграл

$$ \int \partial_k \left ( \sqrt{-g} (T^{ik}+t^{ik}) \right ) d \Omega $$

Подинтегральное выражение является "вектороподобным" - относительно линейных преобразований координат оно ведет себя как вектор. Интеграл представляет собой предел интегральных сумм. Каждое слагаемое в сумме является подобным "вектороподобным" объектом, определенным в разных точках пространства-времени. Скажите как правильно складывать эти объекты? Они ведь соотнесены к разным векторным базисам.