Объясните, что такое производная, чтобы понял школьник

[Munin]

(Оффтоп)

Doil-byle в сообщении #713002 писал(а):

Не знаю, по-моему, такое определение функции как раз приносит выгоду, а неудобств в математике в связи с эти определением я не замечаю.

Кроме того, что вы начинаете говорить на другом языке, чем все окружающие: вы не можете понять, что написано в учебниках (или в крайнем случае, постоянно морщитесь), то, что вы говорите, не может понять никто, ни товарищи, ни экзаменаторы, и ещё вы всех достаёте своим занудством и никчёмными требованиями.

Впрочем, это всё относится к матанализу - довольно ранней (по ходу преподавания) части математики, и специфичной тем, что она больше нацелена на расчёты и использование в нематематических курсах. Разумеется, воспаряя куда-нибудь в области алгебры функций, принимать указанные обозначения может быть полезно и эффективно - и не создавать коммуникационных проблем. Что ещё раз доказывает бессмысленность поиска единого языка и единой нотации: в каждой области удобно что-то своё.

Doil-byle в сообщении #713002 писал(а):

Когда я не знал определения функции, выражения типа "множество всех функций, определённых на каком-то подмножестве числовой прямой, образует коммут. асс. кольцо с единицей относительно обычных операций сложения и умножения функций" были мне просто непонятны. Я начинал представлять себе кучу синусов, логарифмов и т.д. и не знал, что с этим делать.

А чё такого? Складывать и умножать, чего ещё с этим делать :-) Между прочим, неплохое подкольцо получится.

[Shtorm]

Capataz в сообщении #711925 писал(а):

Я думаю, что проблема непонимания производной возникает потому, что к ней приходят после изучения пределов, на которые часто ссылаются. Нахрена эти пределы в школе?

Так строгое определение производной как раз и даётся через предел. А всё то, что мы писали выше - это был геометрический и механический смысл производной. А то, что Вы писали там выше про уменьшение $dx$ - как раз и было по сути определение через предел, только грубое. А строгое даётся как положено - предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

[Munin]

Shtorm в сообщении #713039 писал(а):

Так строгое определение производной как раз и даётся через предел.

Это всё придумал Черчилль Коши и Вейерштрасс в восемнадцатом году девятнадцатом веку.
Фишка в том, что Ньютон такого определения не подразумевал, и Лейбниц тоже, и современная математика тоже без них позволяет обойтись. Впрочем, определение через предел сыграло свою положительную историческую роль, помогая формированию понятий.

[Capataz]

Shtorm в сообщении #712388 писал(а):

Пешеход вышел из пункта А и быстро пошёл в направлении пункта B, временами он срывался на бег, а временами останавливался, чтобы завязать шнурки, через час он пришёл в пункт В. Расстояние, между А и В 9 км ...ну и т.д.

Замечательная задача, но она слишком по-существу дела, простите. Впрочем, если Вы её даёте задолго до темы о производной, и вводите лишь понятие средней скорости, тогда это good. А вот если Вы вернулись к этой же задаче спустя пару месяцев, но за неделю до новой темы, чтобы они хоть что-то вспомнили, и между делом ввели поняние мгновенной скорости, тогда это уже very good! Почему между делом? Да потому, что у Вас нет много времени рассусоливать то что в данный момент не по теме, а учащиеся всё равно ни к чему не готовы . Но что-то в их голове обязательно останется. Первый вопрос, который бы возник у меня. Почему Вы называете скорость мгновенной, если он целых пару минут бежал? Другая пара минут - шёл. Как Вы увязываете мгновенье и пару минут? Это ж целых пять минут объяснять нужно, а у Вас их нет.
А теперь, как получить excellent. Я думаю, что из этой задачи можно развить целый трактат с теорией относительности и на каждом уроке выделять на него не более чем пару минут. Не говорите, что их нет. Вообще, у преподавателя обязательно должны быть хоть пять минут разговора с учениками не по теме, а лучше, если больше. Это Ваш творческий подход, дополнительный контакт с учащимися... Должна быть аранжировка. Просто потом, в теме, Вы рекуперируете своё время тем, что не будете столько времени вдалбивать то, что уже у них в голове на поверхности. Ваша сложность в том, что у вас, как я понял, не технический ВУЗ, но в этом и Ваш плюс - Вы даёте людям те знания, на которые они не расчитывают. Донесли - великолепно, нет - да и Бог с ним - не трагедия. Просто в течение курса нужно быть построже, а на экзамене - гораздо снисходительнее. Так, какой-нибудь художник всю жизнь будет с радостью вспоминать Вас, а не производные . (Хотел сказать, что они ему никчему, но тут же подумал, что градиент цвета замечательно привязывается к производной). У Вас самая лучшая профессия! И почему я не математик?

Цитата:

... При таких обстоятельствах всякие постепенные подходы, просто нереализуемы.

Реализуемы!
Главное, не навязывайте. Спросили, и тут же сами ответили. Курочка по зёрнышку клюёт.

-- 20.04.2013, 12:17 --

Shtorm в сообщении #713039 писал(а):

Так строгое определение производной как раз и даётся через предел.

В ВУЗе может быть это правильно, а в школе.. я сомневаюсь. Производная - это широта понятий и повседневность, а пределы последовательностей - это глубина понимания сути. Легче предел привязать к дифференцированию, чем производную к пределу. ИМХО.

-- 20.04.2013, 12:31 --

Shtorm в сообщении #712376 писал(а):

Выразительная речь помогает некоторым студентам проснуться - как в прямом, так и в переносном смысле Правда это не всегда и не со всеми.

Только если она неожиданно возникает.
Я бы тут добавил, что иногда нужно даже большой линейкой по столу так врезать, чтобы все, аж, подпрыгнули! Обязательно нужно иметь что-то нестандартное, привлекающее внимание и отвлекающее от отвлеканий.

[Aritaborian]

Munin в сообщении #713061 писал(а):

современная математика тоже без них позволяет обойтись.

Можете привести определение производной, не использующее понятие предела?

[Shtorm]

Capataz в сообщении #713137 писал(а):

Замечательная задача, но она слишком по-существу дела, простите. Впрочем, если Вы её даёте задолго до темы о производной, и вводите лишь понятие средней скорости, тогда это good.

Прежде всего напомню, что я в школе не работаю. А задачки эти именно школьные и я имел ввиду, конечно, что эти задачки даются задолго до производной. Даже, если не ошибаюсь, в другом классе (более младшем).

Цитата:

Первый вопрос, который бы возник у меня. Почему Вы называете скорость мгновенной, если он целых пару минут бежал? Другая пара минут - шёл. Как Вы увязываете мгновенье и пару минут? Это ж целых пять минут объяснять нужно, а у Вас их нет.

Хороший вопрос. Как видите в предлагаемой мной задачке "мгновенная скорость" не используется в расчётах, а служит лишь для качественного понимания процесса. Просто при решении задачи нужно сказать школьникам: "Вы видели, что как бы скорость не менялась в процессе, пешеход все равно дошёл за час и расстояние как было 9 км - так и осталось. Делим...получаем среднюю скорость....Заметьте, что скорость пешехода могла при этом меняться не резко: типа встал- побежал, а плавно, постепенно". А потом уже в более старшем классе, после введения понятия функция - можно снова вернуться к подобным задачам и уже ввести функциональную зависимость скорости от времени на участке пути от A до В.

-- Сб апр 20, 2013 18:57:56 --

Capataz в сообщении #713137 писал(а):

А теперь, как получить excellent. Я думаю, что из этой задачи можно развить целый трактат с теорией относительности и на каждом уроке выделять на него не более чем пару минут. Не говорите, что их нет. Вообще, у преподавателя обязательно должны быть хоть пять минут разговора с учениками не по теме, а лучше, если больше. Это Ваш творческий подход, дополнительный контакт с учащимися... Должна быть аранжировка. Просто потом, в теме, Вы рекуперируете своё время тем, что не будете столько времени вдалбивать то, что уже у них в голове на поверхности.

Да, несомненно, это хороший подход. Но только сами знаете в школе какая проблема. Натаскивание на ЕГЭ (за счёт времени урока). И постоянно идёт критика в адрес министров образования по поводу системы школьного образования в плане основных, не основных предметов, платных, бесплатных. Я не знаю как с этим дело обстоит в точности сейчас. Пусть знающие люди здесь напишут.

Цитата:

Ваша сложность в том, что у вас, как я понял, не технический ВУЗ, но в этом и Ваш плюс - Вы даёте людям те знания, на которые они не расчитывают. Донесли - великолепно, нет - да и Бог с ним - не трагедия. Просто в течение курса нужно быть построже, а на экзамене - гораздо снисходительнее. ..

(Оффтоп)

Вуз у меня технический, просто кроме технических специальностей набирают и менеджеров (выгодно в плане финансов). Касательно Вашего представления, что можно донести знания, а можно и не донести - это не совсем так. Или совсем не так. Думаю вынесем это в отдельную тему.

Цитата:

Так, какой-нибудь художник всю жизнь будет с радостью вспоминать Вас, а не производные . (Хотел сказать, что они ему никчему, но тут же подумал, что градиент цвета замечательно привязывается к производной). У Вас самая лучшая профессия! И почему я не математик?

Надо здесь сказать большое спасибо Munin-у за придуманный пример с градиентом цвета.

Цитата:

Я бы тут добавил, что иногда нужно даже большой линейкой по столу так врезать, чтобы все, аж, подпрыгнули! Обязательно нужно иметь что-то нестандартное, привлекающее внимание и отвлекающее от отвлеканий.

За использование ударов линейкой - могут обвинить в непедагогических методах.

-- Сб апр 20, 2013 18:59:03 --

Aritaborian в сообщении #713222 писал(а):

Munin в сообщении #713061 писал(а):

современная математика тоже без них позволяет обойтись.

Можете привести определение производной, не использующее понятие предела?

Присоединяюсь к вопросу.

[nikvic]

Лучшая иллюстрация, пожалуй, авто. Там есть одометр, часы и спидометр.
Если ещё и компас добавить

[arseniiv]

И GPS.

-- Сб апр 20, 2013 23:45:41 --

По крайней мере, хоть что-то будет связано с компасом. Иначе его нельзя было бы никак использовать (или можно, отмечая место флагом и возвращаясь к нему).

[nikvic]

arseniiv в сообщении #713289 писал(а):

И GPS.

GPS я откинул. Большинство не умеет рисовать трек на карте (как умеет Ози), профиль скорости...

[arseniiv]

Да хотя бы чтобы было текущее положение, ведь это интеграл от вектора скорости.

-- Сб апр 20, 2013 23:53:36 --

Ну плюс прошлое, конечно.

-- Сб апр 20, 2013 23:57:47 --

(2 Doil-byle.)

Doil-byle в сообщении #713002 писал(а):

Не знаю, по-моему, такое определение функции как раз приносит выгоду, а неудобств в математике в связи с эти определением я не замечаю.

Там же не определение, а кусок системы обозначений.

[Capataz]

Shtorm в сообщении #713223 писал(а):

Aritaborian в сообщении #713222 писал(а):

Munin в сообщении #713061 писал(а):

современная математика тоже без них позволяет обойтись.

Можете привести определение производной, не использующее понятие предела?

Присоединяюсь к вопросу.

Я могу! Я могу! Легко! В этом и заключается великая сила дилетантов. Мы себе можем позволить то, что профессионалы не могут. Итак.
Производной функции называется отношение бесконечно малого приращения функции к бесконечно малому приращению аргумента. И фсё!!!
Уважаемые учёные! Вспомните название обсуждаемой темы. Спуститесь поближе к нам, смертным. Ведь это не высшая математика, всё должно быть элементарно. Не цепляйтесь здесь друг к другу по мелочам, побольше допущений. Я бы даже слово "приращение" заменил не знаю на что.

Цитата:

Касательно Вашего представления, что можно донести знания, а можно и не донести - это не совсем так. Или совсем не так.

Конечно, конечно знания нужно доносить. Обязательно! Я ж фигурально выразился, так сказать, взывая к снисхождению. Грош цена преподавателю, который машет рукой на неуспевающих. С такими учащимися и проявляется его дар и призвание.

[Aritaborian]

Capataz в сообщении #713305 писал(а):

Производной функции называется отношение бесконечно малого приращения функции к бесконечно малому приращению аргумента.

Это разве что у Робинсона в его нестандартном анализе. Но мы не об этом.

[Xaositect]

Aritaborian в сообщении #713310 писал(а):

Это разве что у Робинсона в его нестандартном анализе. Но мы не об этом.

А почему, собственно, нет? Конструкцию действительных чисел нематематикам все равно не читают, кто мешает так же аксиоматически, без всяких ультрафильтров, ввести объекты нестандартного анализа?

[ewert]

Capataz в сообщении #713305 писал(а):

В этом и заключается великая сила делитантов. Мы себе можем позволить то, что профессионалы не могут. Итак.
Производной функции называется отношение бесконечно малого приращения функции к бесконечно малому приращению аргумента. И фсё!!!

Ну я только напомню, что делитантов не бывает. Ну разве что в среде делитантов. Но это так, к слову.

По существу же. Разумеется, все насчёт бесконечно малых приращений в курсе, и я даже согласен, что начиная с детсада. И, разумеется, в школьном курсе физики ровно на этом языке только и следует скорости обсуждать. Беда в том, что математика (если, конечно, это не пиджин-математика) -- имеет свою собственную логику. Поэтому в школьном курсе математики (я имею в виду стандартную школу) изложение производных окажется по необходимости ублюдочным, в строго математическом смысле.

Ну тут уж ничего не поделать, придётся физикам отдуваться. Остаётся лишь надеяться, что учителя как физики, так и математики сумеют грамотно распределить между соой материал.

-- Сб апр 20, 2013 23:04:23 --

Xaositect в сообщении #713316 писал(а):

Конструкцию действительных чисел нематематикам все равно не читают, кто мешает так же аксиоматически, без всяких ультрафильтров, ввести объекты нестандартного анализа?

То, что они неконструктивны. Бессмысленно говорить об абстрактных бесконечностях, когда в любых практических приложениях они вполне конкретны -- и только своей конкретностью и интересны.

Да, кстати, а действительные числа нематематикам как раз читают. На очень вульгарном уровне, но вполне достаточном для приложений. Для нематематиков вещественные числа -- это в точности бесконечные десятичные дроби. И эта конструкция, с одной стороны, потенциально вполне подкрепляема сугубо математическим формализмом; с другой же -- в ней вполне просвечивают потребности практических вычислений.

[Capataz]

ewert в сообщении #713318 писал(а):

Поэтому в школьном курсе математики (я имею в виду стандартную школу) изложение производных окажется по необходимости ублюдочным, в строго математическом смысле.

По Вашему получается, что оно и сейчас ублюдочно. Уж коль в ВУЗах возвращаются к изучению производных и интегралов, значит в школе всё было упрощено. Или я не так понял?

(Оффтоп)

ewert в сообщении #713318 писал(а):

Ну я только напомню, что делитантов не бывает. Ну разве что в среде делитантов. Но это так, к слову.

Ну вот, расслабиться не даёте. Я так с Вами профессионалом стану. Пойду делать работу над ошибками.