Объясните, что такое производная, чтобы понял школьник

[Capataz]

Shtorm в сообщении #711687 писал(а):

На мой взгляд, чтобы правильно формировать представление школьников о производной, нужно сразу же говорить не просто "скорость", а "мгновенную скорость".

А вот я бы подумал, нужно ли сразу упоминать про мгновенную скорость. Это нам понятен термин "мгновенная", а школьникам это нужно разъяснять дополнительно, что приведёт к усложнению материала. Хотя упомянуть наверное не мешает чтобы потом для них это уже было не ново. Всё таки производная это в первую очередь скорость, а мгновенность определяется участком $dx$. Пусть кто хочет тот думает, что это средняя скорость на $dx$, а потом вдруг всех их резко напугать, что когда $dx$ стремится к нулю, т.е. к какому-то мгновенью, то оказывается это определяется мгновенная скорость. Главное тогда не забыть донести это до школьников. Впрочем, вполне возможно, что Вы правы.

[Munin]

Слово "скорость" дети воспринимают как мгновенную скорость, пока их не отучивают от этого, деля $s$ на $t.$ Быструю машину от медленной вам кто угодно отличит. Часто даже объяснят, что такое спидометр.

[Capataz]

Я думаю, что проблема непонимания производной возникает потому, что к ней приходят после изучения пределов, на которые часто ссылаются. Нахрена эти пределы в школе? Вот где идёт забивание мозгов. Лучше бы это время посвятили комбинаторике и вероятности как факультативный материал - людям нравится лотерею высчитывать - тут живой интерес, и мозги напрягаются всесторонне. Но это уже другая тема.

[Shtorm]

Munin в сообщении #711919 писал(а):

Слово "скорость" дети воспринимают как мгновенную скорость, пока их не отучивают от этого, деля $s$ на $t.$ ......

Так делением $s$ на $t$ школьники начинают заниматься раньше чем находить производные. Такому делению их учат в задачах типа: из пункта A выехал велосипедист...... , а из пункта B вышел пешеход.....
Поэтому понятие о средней скорости у школьников формируется раньше чем понятие о мгновенной скорости.

[Munin]

Shtorm в сообщении #712163 писал(а):

Так делением $s$ на $t$ школьники начинают заниматься раньше чем находить производные.

Верно. А обсуждением проезжающих машин - раньше, чем делением. Какие ещё банальности скажете?

[Shtorm]

Munin в сообщении #712249 писал(а):

А обсуждением проезжающих машин - раньше, чем делением

То есть это Вы к тому, что понятие мгновенной скорости у них раньше формируется? Тогда не согласен. Математический понятийный аппарат у школьников формируется именно в процессе решения задач, а не из-за наблюдения за машинами или иными объектами повседневной жизни. Вот если бы в тех задачках "пункт А, пункт В..." было бы использовано понятие мгновенная скорость, хотя бы качественное, тогда было бы все по-другому. Но и так не страшно, если, я ещё раз повторяю, вводить понятие мгновенной скорости при объяснении механического смысла производной.

[longstreet]

Интересно, а есть (научная) теория обучения/научения школьников?

[nikvic]

Shtorm в сообщении #711687 писал(а):

На мой взгляд, чтобы правильно формировать представление школьников о производной, нужно сразу же говорить не просто "скорость", а "мгновенную скорость".

Всякие уточняющие прилагательные обычно скрыты в контексте - путевая, средняя, векторная и т.п. Иногда нужно их "проявлять", но язык усложняется.
И не нужно забывать, что скорость используется для какой угодно величины, меняющейся во времени. скорость изменения Т, скорость расхода денег...
По-моему, естественный путь здесь - через среднюю скорость, понятие, освоенное на многих задачах. Тогда мгновенная - средняя для ооочень маленьких промежутков. И может развиться интуиция, соответствующая изложению анализа с актуальными бесконечно малыми числами.

[Munin]

Shtorm в сообщении #712254 писал(а):

То есть это Вы к тому, что понятие мгновенной скорости у них раньше формируется? Тогда не согласен. Математический понятийный аппарат у школьников формируется именно в процессе решения задач, а не из-за наблюдения за машинами или иными объектами повседневной жизни.

Это вы просто неправильно назвали понятие мгновенной скорости математическим - вот и получили иллюзию, что дети его не знают. Поговорите с детьми - развеете иллюзию.

В процессе решения задач понятийный аппарат в данном случае сначала ломают, а потом создают заново, из обломков, и уже новый гордо называют "математическим". Но смысла в этом разрушении нет, кроме гордости методистов. Можно было бы гладко перейти от готовых интуитивных понятий к строгим.

[Shtorm]

nikvic в сообщении #712260 писал(а):

естественный путь здесь - через среднюю скорость, понятие, освоенное на многих задачах.

Так вот это понятие, освоенное на вышеприведённых задачах, как раз таки можно (нужно) противопоставить понятию "мгновенная скорость" - при объяснении механического смысла производной, чтобы не было вот подобного:

ult1m в сообщении #705717 писал(а):

...и зачем мне тогда нужна производная? если провести параллель с "км/ч", то если скорость 2км/ч, я знаю, что через 1 час я буду на 2 км дальше. Но что мне дает производная 2x, если расстояние будет изменяться по функции ? По функции через 3 часа я буду в 9 км, по производной - в 6 км.

[Munin]

Вот ведь энтузиасты-домомучители...

[Sonic86]

Shtorm в сообщении #712254 писал(а):

Тогда не согласен. Математический понятийный аппарат у школьников формируется именно в процессе решения задач, а не из-за наблюдения за машинами или иными объектами повседневной жизни.

Да ничего подобного. Скорость - она на $\mathbb{R}$ определена, а $\mathbb{R}$ - штука сложная, несчетная. А уже потом на ней скорости можно определить. Матанализ - он Вам в подкорку зашит, в зрительный анализатор, вместе с аналитической геометрией. Именно поэтому их легко учить. Легче чем понять, что такое функция распределения, например - каждое понятие графически иллюстрированно. Т

[Shtorm]

Munin в сообщении #712261 писал(а):

Можно было бы гладко перейти от готовых интуитивных понятий к строгим.

С этим я согласен. И для этого нужны соответствующие задачи типа "пункт А и пункт В" и в которых бы одновременно использовались и средняя, и мгновенная скорости.

-- Чт апр 18, 2013 17:54:52 --

Sonic86 в сообщении #712268 писал(а):

Матанализ - он Вам в подкорку зашит, в зрительный анализатор, вместе с аналитической геометрией. Именно поэтому их легко учить.

Я Вам приведу разговор, часто происходящий на занятии между мной и моими студентами:
Я: "Что может быть проще нахождения производной???!!! Берём с начала производную по промежуточному аргументу, затем берём производную от промежуточного аргумента, по x. Перемножаем. Ничего сложного!!!"
Студенты: "Это Вам легко так говорить, Вы всю жизнь математикой заниматесь".

Вот и я Вам, Sonic86, так скажу - легко Вам говорить, Вы всю жизнь математикой занимаетесь Матанализ - далеко не у всех в подкорке

[nikvic]

Shtorm в сообщении #712263 писал(а):

Так вот это понятие, освоенное на вышеприведённых задачах, как раз таки можно (нужно) противопоставить понятию "мгновенная скорость" - при объяснении механического смысла производной,

Не думаю, что есть польза в противопоставлении Ньютона с дифференциалом и Лейбница с производной. Кому-то окажется комфортнее "понимать" один вариант, кому-то - другой.

И проверяется это сразу - при дифференцировании "сложной функции".

[Shtorm]

nikvic, слово "противопоставлять" я имел ввиду в смысле - "различать". Чтобы не было как у того человека по вышеприведённой ссылке.