Применение дифференциала к решению задачи

[Ktina]

Найти наименьшее натуральное $n$, для которого

$$0<\sqrt[4]{n}-\lfloor\sqrt[4]{n}\rfloor < 0.00001$$

Если воспользоваться дифференциалом, можно увидеть, что линейная часть приращения функции $x^4$ равна $4x^3$, то есть

$$\sqrt[4]{1^4+1}\approx 1+\frac{1}{4\cdot 1^3};\quad \sqrt[4]{2^4+1}\approx 2+\frac{1}{4\cdot 2^3};\quad \sqrt[4]{3^4+1}\approx 3+\frac{1}{4\cdot 3^3};\quad\dots$$

Таким образом, число $30^4+1=810001$ точно должно удовлетворять условию задачи.
А вот число $29^4+1=707282$ под вопросом.

Я думаю, что ответ будет либо 810001, либо 707282.

Пожалуйста, помогите решить.

-- 19.04.2013, 13:55 --

Пардон, снимаю вопрос, он был тупым.
Тут дифференциал вообще не нужен, всё школьными методами решается, достаточно раскрыть скобки в выражении $(x+y)^4$

-- 19.04.2013, 13:57 --

Ответ таки оказался 810001.

[nikvic]

Для 29 ещё раз проделать этот финт, не связывая его с дифференциалом
Фактически Вы сделали только один шаг на пути рекуррентного вычисления целого корня.

[Ktina]

nikvic в сообщении #712733 писал(а):

Фактически Вы сделали только один шаг на пути рекуррентного вычисления целого корня.

А разве корень тут целый?

[nikvic]

Целый корень - штука, обратная целой степени