Количество целых точек на границе кривой [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемый друзья!

Возник следующий вопрос:
Рассмотрим кривую $r=a\sin 3\varphi$ при $\varphi \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$, т.е. мы рассматриваем лепесток трехлепестковой розы, находящийся в первом квадранте. Также проведем прямую $y=\tg \varphi_1 x$ проходящую через лепесток причем $\varphi_1\in \left(0; \frac{\pi}{6}\right)$.
Меня интересует следующий вопрос: существуют ли целые точки (если существуют можно ли дать асимтотическую оценку на их количество) на кривой $r=a\sin 3\varphi$ при $\varphi \in\left[0; \varphi_1\right]$, т.е. может ли $(x,y)$ быть целой, где $x=a\sin3 \varphi\cos \varphi$ и $y=a\sin3 \varphi\sin \varphi$ при $\varphi \in\left[0; \varphi_1\right]$
Моя попытка решения: Пусть

$$\begin{cases} x=a\sin3 \varphi\cos \varphi=M \\ y=a\sin3 \varphi\sin \varphi=N \end{cases}$$

где $M,N \in\mathbb{N}$. Отсюда нетрудно получить еще два условия:

$$\begin{cases} \tg \varphi=\frac{N}{M} \\ a^2\sin^2 3\varphi=M^2+N^2 \end{cases}$$

Проводя нетрудные арифметические преобразования мы приходим к такому диофантовому уравнения с параметром:

$$a^2N^2(N^2-3M^2)^2=(N^2+M^2)^4$$

Что можно сказать о существовании (если существуют, то об асимтотике решений в зависимости от $a$) решений такого уравнения?

[provincialka]

Из обеих частей уравнения можно извлечь корень: $aN|N^2-3M^2|=(N^2+M^2)^2$

Возникает вопрос: что является неизвестными, а что - заданными параметрами? Если неизвестными являются все три переменные, получаем:

$$a=\frac{(N^2+M^2)^}{N|N^2-3M^2|}$$

, откуда легко находим серии решений. Ведь про целочисленность $a$ ничего не сказано.

Другое дело, если $a$ считать константой, заданным параметром, тем более - целым числом.

[Whitaker]

provincialka
В данной задачке параметр $a>0$ фиксируется и ищутся целочисленные решения данного уравнения. В зависимости от $a$ нужно найти асимптотику числа решений.

[ИСН]

Асимптотика - не совсем уместный термин. Для начала надо бы понять, бывает ли когда-нибудь на кривой 3 (4, 6, больше 10) целых точек одновременно.

-- Пт, 2013-04-19, 01:30 --

Ну, три - это легко. При $a=4$ имеем точки $(0,-4)$ и $(\pm2,2)$.

-- Пт, 2013-04-19, 01:32 --

Бывает и больше. А на 50 вообще какой-то паноптикум.

[Whitaker]

ИСН
Да действительно, при $a=4$ на кривой аж 3 целых точек, а именно $(0,-4)$ и $(\pm 2, 2)$

P.S. А что нам дает?

[ИСН]

Что нам даёт что? Моё предыдущее сообщение даёт знание, что 3 точки одновременно - бывает. Но вообще-то это Вам виднее, куда дальше копать.

[Whitaker]

Меня интересует ведь "нижняя ветвь" кривой, т.е. $r=a\sin 3\varphi,$ где $\varphi \in [0, \varphi_1]$, а $\varphi_1\in \left(0, \frac{\pi}{6}\right)$
ИСН
пока не знаю, что тут делать и в каком направлении идти

[provincialka]

С самого начала рассматривалась только 1 четверть, да и то не вся. Откуда же минусы? При $a=4$ одно решение в 1 четверти и ни одного - в заданной области.

Как насчет $a$ - можно брать рациональные значения? Или только целые?

-- 19.04.2013, 00:52 --

ИСН в сообщении #712556 писал(а):

Асимптотика - не совсем уместный термин. Для начала надо бы понять, бывает ли когда-нибудь на кривой 3 (4, 6, больше 10) целых точек одновременно.

Почему неуместный? Асимптотика же берется по $a \to \infty$, а не по числу решений.
Даже если и не бывает - значит, количество ограничено, например, асимтпотически постоянно.

[Whitaker]

provincialka
параметр $a>0$ Вы можете взять любым.
Действительно в заданной области я пока не нашел целой точки на кривой

[Xaositect]

Я нашел точку $a = 25, (x,y) = (22,11)$

[nnosipov]

Whitaker в сообщении #712552 писал(а):

Что можно сказать о существовании (если существуют, то об асимтотике решений в зависимости от $a$) решений такого уравнения?

Чтобы было попроще, будем считать $a$ нечётным натуральным числом. Тогда уравнение $ax|x^2-3y^2|=(x^2+y^2)^2$ можно решать в натуральных числах $x$, $y$ следующим образом. Положим $d=\gcd{(x,y)}$, $x=dx_1$, $y=dy_1$. Тогда $ax_1|x_1^2-3y_1^2|=d(x_1^2+y_1^2)^2$. Поскольку $a$ нечётно, имеем $\gcd{(|x_1^2-3y_1^2|,x_1^2+y_1^2)}=1$, откуда $a=t(x_1^2+y_1^2)^2$ и $d=tx_1|x_1^2-3y_1^2|$. Перебирая тройки $(t,x_1,y_1)$, удовлетворяющие условиям

$$ t(x_1^2+y_1^2)^2=a, \quad \gcd{(x_1,y_1)}=1, $$

найдём все решения $(x,y)=(tx_1^2|x_1^2-3y_1^2|,tx_1y_1|x_1^2-3y_1^2|)$. В частности, если $a$ свободно от квадратов, то решений нет. Если $a=p^2$, где $p=4k+1$ --- простое число, то решений ровно два. Если $a=(p_1 \ldots p_s)^2$, где все $p_i$ --- простые числа вида $4k+1$, то решений по крайней мере $2s$ штук. В общем случае ответ зависит от арифметических свойств числа $a$.