Объясните, что такое производная, чтобы понял школьник

[Munin]

Sonic86 в сообщении #712268 писал(а):

Легче чем понять, что такое функция распределения, например

Ну, функцию распределения тоже легко понять. Достаточно отстоявшуюся банку варенья на просвет посмотреть.

-- 18.04.2013 19:49:04 --

Shtorm в сообщении #712269 писал(а):

И для этого нужны соответствующие задачи типа "пункт А и пункт В" и в которых бы одновременно использовались и средняя, и мгновенная скорости.

Shtorm в сообщении #712269 писал(а):

Я Вам приведу разговор, часто происходящий на занятии между мной и моими студентами:
Я: "Что может быть проще нахождения производной???!!! Берём с начала производную по промежуточному аргументу, затем берём производную от промежуточного аргумента, по x. Перемножаем. Ничего сложного!!!"
Студенты: "Это Вам легко так говорить, Вы всю жизнь математикой заниматесь".

Разумеется. Потому что плохо объясняете. Я бы такое объяснение (да ещё с криком) тоже не понял.

Shtorm в сообщении #712269 писал(а):

Матанализ - далеко не у всех в подкорке

Матанализ-то в подкорке, вот только вы до этой подкорки достучаться не умеете. Впрочем, для преподавателя-середнячка это норма, увы...

[nikvic]

Shtorm в сообщении #712278 писал(а):

слово "противопоставлять" я имел ввиду в смысле - "различать".

""Прежде чем объединиться, нужно рамежеваться

[Shtorm]

Munin в сообщении #712306 писал(а):

Разумеется. Потому что плохо объясняете. Я бы такое объяснение (да ещё с криком) тоже не понял.

Ну-ка покажите мастер-класс: расскажите как бы по-Вашему нужно было объяснять?

-- Чт апр 18, 2013 18:54:19 --

Восклицательные знаки в моём сообщении означали не крик, а громкую выразительную речь.

-- Чт апр 18, 2013 19:02:16 --

Munin в сообщении #712306 писал(а):

Матанализ-то в подкорке, вот только вы до этой подкорки достучаться не умеете.

Ну это как в том анекдоте, когда преподаватель говорит экзаменующемуся, что мол в Вашей голове пусто как в пустыне, а студент ему - "да, и не каждый верблюд найдёт в этой пустыне оазис

Этот анекдот наглядно показывает попытку повернуть всё с ног на голову. Конечно, конечно, Munin, Вы правы, в мозгах детей зашит и матанализ и векторная алгебра и чего только там не зашито. И вообще все дети - это подрастающие Ньютоны и Лейбницы. А вот нехорошие преподы-середнячки прямо-таки мешают им развиваться
Ну, вот будете сами вести у студентов, посмотрим - сможете ли Вы найти хоть какой-нибудь оазис

[Munin]

Shtorm в сообщении #712318 писал(а):

Ну-ка покажите мастер-класс: расскажите как бы по-Вашему нужно было объяснять?

Э нет, мне за это деньги не платят, а если бы платили - я бы, может быть, ещё не один месяц искал бы правильную формулировку. Пока я только констатирую, что ваша - неправильная.

Shtorm в сообщении #712318 писал(а):

Восклицательные знаки в моём сообщении означали не крик, а громкую выразительную речь.

:-) Принимается. Крик, конечно, хуже, но "выразительная речь" тоже бесполезна.

Shtorm в сообщении #712318 писал(а):

Конечно, конечно, Munin, Вы правы, в мозгах детей зашит и матанализ и векторная алгебра и чего только там не зашито. И вообще все дети - это подрастающие Ньютоны и Лейбницы.

Не все, конечно. Но такие элементарные вещи, как площадь, скорость, наклон, концентрация (по-простому - густота), знают не только все дети, но даже все домохозяйки. А уж привлечь эти неформальные знания - задача хорошего преподавателя. Когда плохой будет бороться с существующей интуицией, и навязывать математическую модель с нуля.

[Shtorm]

Munin в сообщении #712371 писал(а):

Э нет, мне за это деньги не платят, а если бы платили - я бы, может быть, ещё не один месяц искал бы правильную формулировку. Пока я только констатирую, что ваша - неправильная.

Э-э-э, так не годится, критикуете - предлагайте альтернативу или хотя бы поясните в чём по-Вашему неправильность. А то так можно любую формулировку обозвать неправильной, а потом сославшись на то, что денег не платят, ходить с загадочным молчаливым видом. Типа самый самый...а все вокруг...

-- Чт апр 18, 2013 19:47:15 --

Munin в сообщении #712371 писал(а):

но "выразительная речь" тоже бесполезна.

Выразительная речь помогает некоторым студентам проснуться - как в прямом, так и в переносном смысле Правда это не всегда и не со всеми.

-- Чт апр 18, 2013 19:50:47 --

Munin в сообщении #712371 писал(а):

А уж привлечь эти неформальные знания - задача хорошего преподавателя

Согласен. И я там выше и предложил, как бы это можно было сделать в тех школьных задачках. Но Вы сделали мину на лице

[Capataz]

Господа! Я, как любитель(дилетант), могу вас заверить, что школьникам до определённого момента совершенно всё равно какая это скорость: средняя или мгновенная. Для них эти понятия нужно вводить одновременно. А до поры до времени это просто скорость и всё. Т.е. решаются задачи на среднюю скорость - великолепно, на мгновенную скорость - замечательно. Детей не нужно запутывать этими понятиями. Но о них нужно говорить вскользь(какое красивое слово, с двумя мягкими знаками!) - вот так, между делом, как-бы в скобочках. Это нужно чтобы у них нарабатывалось на слух. Чтобы они не пугались в дальнейшем, когда придёт время.
Скажите мне, пожалуйста, кто-нибудь из вас когда-нибудь употреблял ну хоть какой-нибудь термин с основой слова "производ..", кроме понятия произведения?
Тут ещё чисто лингвистически производная воспринимается как прилагательное. А в данном контексте примняется как существительное.
Кстати, интеграл тоже очень страшное слово! Поэтому подводите учеников к нему постепенно. Ну, например, в классе за полгода или за месяц до новой темы интегралов можно ученикам предложить: "А ну-ка, тупорылые мои, давайте-ка синтегрируем наши знания и попробуем вычислить...что-то" Они поймут, что здесь имеется ввиду сложение мозгов.
Или:
- Эта двойка - производная от твоего безделья!
- Как это ?
- Съехал ты, голубчик, очень быстро, забросив учёбу.
Они конечно ничего не поймут, но это не важно. Важно что они это уже услышали. И так постоянно, оперируя непонятными словами в их повседневной жизни. Им же потом самим будет интересно швыряться этими словечками где только можно, они же любят повыпендриваться.

[Shtorm]

Capataz в сообщении #712382 писал(а):

Но о них нужно говорить вскользь(какое красивое слово, с двумя мягкими знаками!) - вот так, между делом, как-бы в скобочках. Это нужно чтобы у них нарабатывалось на слух. Чтобы они не пугались в дальнейшем, когда придёт время.

Вот я и предлагал качественно использовать термин "мгновенная скорость", например в такой формулировке: Пешеход вышел из пункта А и быстро пошёл в направлении пункта B, временами он срывался на бег, а временами останавливался, чтобы завязать шнурки, через час он пришёл в пункт В. Расстояние, между А и В 9 км ...ну и т.д.

-- Чт апр 18, 2013 20:10:17 --

Capataz в сообщении #712382 писал(а):

Поэтому подводите учеников к нему постепенно.

Я вот хоть и не работаю в школе, но слышу часто о злободневной современной проблеме в школьной математике - натаскивание и ещё раз натаскивание на ЕГЭ - и нехватка времени на что-либо иное. При таких обстоятельствах всякие постепенные подходы, просто нереализуемы.

[Munin]

Вообще производная сложной функции - очень сложная для объяснения и понимания тема. Если использовать интуитивные образы, то может быть, стоит привести не один, а два примера. Например, такие:

(Функция как движение.) Представим себе, что у нас есть краска, которая становится белой на холоде, и красной в тепле (и промежуточного цвета при промежуточной температуре). И представим себе, что температура меняется со временем. Тогда у нас есть функция цвет(температура(время)). Чтобы узнать, насколько изменился цвет за заданное время ("за" - это деление, производная), мы должны учесть, насколько изменилась температура за заданное время, и насколько изменился цвет от изменения температуры. Эти две величины надо как-то скомбинировать.

(Функция как график.) Представим себе, что мы идём по холму, двигаясь с ЮЗ на СВ (задана линия нашего движения по карте), а холм имеет форму поверхности, постоянную в направлении З-В (то есть, является функцией только координаты Ю-С). Тогда, чтобы узнать, насколько по высоте (h) мы поднялись, продвигаясь с З на В, мы должны взять производную от сложной функции h(Ю-С(З-В)). Далее рисуется рисунок (или даже несколько, в изометрической проекции и в вертикальной, может быть, с развёрткой), и объяснения идут по рисунку.

[Shtorm]

Munin, касательно Вашего объяснения. Надо сказать, что всё сильно зависит от аудитории, которой приходится объяснять. Для некоторых аудиторий Ваше объяснение будет просто сотрясанием воздуха с использованием заумных фраз. Но независимо от аудитории, Ваше объяснение касается именно смысла сложной производной. То есть Вам задают вопрос, в чём смысл производной сложной функции - вот на это идёт Ваш ответ. Я же ставил перед собой цель - научить брать производную сложной функции. Научить как можно проще и с использованием минимума слов. И я своей цели достиг.

[Munin]

Shtorm в сообщении #712766 писал(а):

Munin, касательно Вашего объяснения. Надо сказать, что всё сильно зависит от аудитории, которой приходится объяснять. Для некоторых аудиторий Ваше объяснение будет просто сотрясанием воздуха с использованием заумных фраз.

Э нет. Я пока написал не объяснение, а схему объяснения - не для аудитории, а для преподавателя, например, вас. Дальше преподносить это аудитории надо будет намного более подробно, с рисунками и графиками, со многими другими словесами, и я не рассчитываю, что то конспективное изложение, которое я написал, будет кому-то полезно само по себе.

Shtorm в сообщении #712766 писал(а):

Но независимо от аудитории, Ваше объяснение касается именно смысла сложной производной. То есть Вам задают вопрос, в чём смысл производной сложной функции - вот на это идёт Ваш ответ. Я же ставил перед собой цель - научить брать производную сложной функции.

О да. Сначала надо объяснить смысл, а потом уже как это делать. Если они будут понимать смысл, то как делать - в любой момент легко вспомнят (ну не проблема запомнить формулу $\tfrac{dz}{dy}\tfrac{dy}{dx}$), и при этом будут понимать, что делают, и не запутаются в том, по какому аргументу нужно брать первую из производных. А после этого уже - тренировка до автоматизма. Но в обратном порядке... получится типичный случай "умею делать стандартные шаманские действия с буковками и крючочками, а зачем - потому что потребовали". Это может быть достижением цели "студенты сдают зачёт", но не достижением цели "студенты знают матанализ одной переменной", которая необходима и для следующих семестров матанализа, и на физике, и т. п.

[Shtorm]

Munin в сообщении #712846 писал(а):

Это может быть достижением цели "студенты сдают зачёт", но не достижением цели "студенты знают матанализ одной переменной", которая необходима и для следующих семестров матанализа, и на физике, и т. п.

Эх....золотые слова. Но видели бы Вы моих студентов, они у меня не физики и не математики (по направлению подготовки и специальности). А приходят ко мне, в основном, выпускники гуманитарных классов. А занятия так идут: одна лекция в неделю и одна практика в неделю. А пройти надо отнють не одну только производную. Вот и прикиньте как излагать и в каком темпе.

[Munin]

Shtorm в сообщении #712883 писал(а):

А занятия так идут: одна лекция в неделю и одна практика в неделю. А пройти надо отнють не одну только производную. Вот и прикиньте как излагать и в каком темпе.

Выдавать стопку учебников, и говорить: "прочитать от сих до сих, на зачёте буду знание каждой запятой проверять". Загружать объёмным домашним заданием. Занятия целиком посвятить пояснениям того, что непонятно.

[Shtorm]

Munin, отличная методика. Я бы так и сделал наверное, если бы был свободен в выборе средств и методов преподавания. (Хм..какая-то знакомая фраза, где-то наверное это регламентируется). У нас в вузе как-то всё немножко из-под палки....хотя надо спросить у начальников - могу ли я так поступить. Но, независимо от этого. Когда они за мной пишут на лекции - у них вырабатывается механическая память и так же они слушают, как правильно называются те или иные математические символы, математические операции. Когда решаем на практическом занятии - я буквально натаскиваю их на решении задач. А если я им дам стопку учебников и задачников - то кто их будет натаскивать? Я на каждом практическом занятии, после каждого решённого примера спрашиваю: Кому, что непонятно?? Редко, редко услышишь вопрос. А вот те, кто в школе только в столовую ходил (сами признались) - никогда вопросов не задают - потому что им вообще ничего не понятно. Да они и не хотят понимать.
В чём их цель? Получение знаний? Нет конечно. Их цель - это корочки.

[Munin]

Shtorm в сообщении #712938 писал(а):

Я на каждом практическом занятии, после каждого решённого примера спрашиваю: Кому, что непонятно?? Редко, редко услышишь вопрос.

У этого бывают две причины: редко - потому что всем всё понятно, и часто - потому что никому не хочется вякать. Чтобы студенты начали интересоваться задачами и подавать голос, их надо долго "раскачивать".

[Doil-byle]

(Munin)

Munin в сообщении #711565 писал(а):

arseniiv
Это формализм. Да, можно использовать такие обозначения. Но настаивать на их абсолютности - незачем. Есть предел, за которым формализация языка приносит уже не выгоду, а неудобства.

Не знаю, по-моему, такое определение функции как раз приносит выгоду, а неудобств в математике в связи с эти определением я не замечаю.
Когда я не знал определения функции, выражения типа "множество всех функций, определённых на каком-то подмножестве числовой прямой, образует коммут. асс. кольцо с единицей относительно обычных операций сложения и умножения функций" были мне просто непонятны. Я начинал представлять себе кучу синусов, логарифмов и т.д. и не знал, что с этим делать. Также такое определение помогает увидеть функцию там, где иначе её плохо видно. Впрочем, я могу многого не знать.
Из того, что я видел в программировании, можно сказать, что там функция понимается как ящик, в который кладёшь яйцо, а достаёшь курицу (или наоборот?), что в данном случае удобно, но тут вроде про программирование речь и не шла.