Теорема о бегущей нити

[nikvic]

Munin в сообщении #709790 писал(а):

Если устойчивости нет, то биться эта штука должна начать по экспоненте, то есть достаточно быстро.

Для окружности это, наверное, не так. Верёвочные кольца все мы бросали, да и энергию с моментом импульса никуда не деть...

=================

Когда-то видел в полудетской книжке описание "походной" антенны.
Закольцованный трос выкидывается вальцами вверх и возвращается в приёмную "дыру", всё устройство - на платформе полуторки.

Имеем задачу стационарного движения тяжёлой нити в поле сил тяжести. Если скорость нулевая, то известно - "цепная линия". Для движущейся нити уравнения пишутся, но дальше не смотрел...

[anik]

dovlato в сообщении #709867 писал(а):

Я не вижу, что тут можно доказать или опровергнуть словами. Другое дело - верить или не верить. Но в рамках доказательства (и в рамках предпосылок) противоречий не видно. Не сомневаюсь, что реальные нити будут искажать форму, но вот как - бог весть.

Давайте рассмотрим одну задачу в трех вариантах.
Задан канал без трения в виде квадрата, но со скруглёнными углами в виде четвертинок окружности с радиусом $R$, сопряжёнными со сторонами квадрата.
1. В этом канале движутся не связанные между собой шарики (без трения).
Очевидно, что при движении по прямолинейной стороне квадрата шарик движется равномерно и прямолинейно, и реакции стенок канала равны нулю (невесомость). При движении шарика по дуге окружности, на шарик действует центростремительная сила реакции канала, но шарик продолжает двигаться с той же постоянной путевой (окружной) скоростью, т.к. сила реакции стенок нормальна к траектории шарика.
Итак, все шарики движутся равномерно по траектории и их можно распределить по траектории равномерно с одинаковыи расстояниями между шариками.
Теперь, если мы уберём стенки канала, то те шарики, которые двигались прямолинейно по стороне, так и будут продолжать двигаться прямолинено. Те шарики, которые двигались по дугам окружностей, разлетятся по касательным к этим окружностям.
2. Давайте теперь равномерно распределённые по каналу шарики свяжем пружинками, причём, ненапряжённая длина пружины пусть будет равна расстоянию между шариками.
В этом случае шарики будут двигаться по каналу так же как и в первом случае, но, если теперь канал убрать, то шарики не смогут разлетется в пространстве. Им не дадут пружинки. И продолжать двигаться по "старой" траектории шарики тоже не будут.
3. Давайте теперь равномерно распределённые по каналу шарики свяжем нерастяжимыми нитями. Вот здесь и начинаются чудеса. Во-первых: непонятно чем создаётся центростремительная сила; реакцией стенок канала или натяжениями нитей. Ведь для того, чтобы возникла сила натяжения, нить не не обязана изменять свою длину. Если теперь убрать канал, то центростремительная сила на скруглениях будет обеспечиваться силами натяжения. Нить и в канале может двигаться без реакций стенок канала.
Но, нить будет натянута из-за того, что на углах квадрата присутствуют скругления. Нить натянута за счёт центробежных сил на углах квадрата.
Во-вторых: непонятно как будет двигаться нить на бывших прямолинейных участках траектории. (Вспомните задачу о сползающей со стола цепи).
Но, пока хватит, а то будет слишком длинно.

[nikvic]

anik в сообщении #709900 писал(а):

непонятно чем создаётся центростремительная сила; реакцией стенок канала или натяжениями нитей.

Добавьте к правой части

$$T=\mu v^2$$

произведение удельного давления (извне) и текущего радиуса.

[Munin]

nikvic в сообщении #709899 писал(а):

Для окружности это, наверное, не так. Верёвочные кольца все мы бросали

Вы уверены, что там была именно неустойчивость? Может быть, как раз малые колебания вокруг устойчивого состояния?

[nikvic]

Munin в сообщении #709906 писал(а):

Может быть, как раз малые колебания вокруг устойчивого состояния?

Я так и понимаю.

[Munin]

Тогда это не относится к тому, что я сказал. Думаю, неустойчивость возможна для очень "мягкой", легкорастяжимой нити.

[anik]

nikvic в сообщении #709901 писал(а):

произведение удельного давления (извне) и текущего радиуса.

В случае нерастяжимой нити (для моей задачи) как раз и непонятно, есть ли давление извне, как силы реакции стенок канала, или центростремительная сила создаётся только натяжением нити (ведь нить нерастяжима). Извне, действуют только инерционные центробежные силы на скруглениях. Они и натягивают нить.

[nikvic]

anik в сообщении #709914 писал(а):

В случае нерастяжимой нити (для моей задачи) как раз и непонятно, есть ли давление извне

"Поведение" нерастяжимой нити - "предел" поведения растяжимой при стремлении жёсткости к бесконечности. Для растяжимой натяжение определяется длиной контура и одинаково, так что давление обратно пропорционально радиусу. Для критической скорости коэфф. пропорциональности равен нулю.

[anik]

nikvic в сообщении #709917 писал(а):

Для растяжимой натяжение определяется длиной контура

Наоборот, длина контура определяется натяжением нити. Если нить движется в жёстком канале, то её длина изменяться не может, и если нить не была натянута, то с какой бы скоростью она ни двигалась в жёстком канале, и какова бы ни была длина контура, растяжимая нить не натянется. Ей некуда изменять длину, её длина - это длина жёсткого канала.
Что будет происходить с нерастяжимой нитью я не знаю. Натяжение нерастяжимой нити никак не связано с изменением её длины.
А вообще, нить натягивается за счёт центробежных сил, возникающих на участках с кривизной траектории, если эти центробежные силы не компенсированы нормальными силами реакции канала.

[dovlato]

anik в сообщении #710330 писал(а):

nikvic в сообщении #709917 писал(а):

Для растяжимой натяжение определяется длиной контура

Наоборот, длина контура определяется натяжением нити. Если нить движется в жёстком канале, то её длина изменяться не может, и если нить не была натянута, то с какой бы скоростью она ни двигалась в жёстком канале, и какова бы ни была длина контура, растяжимая нить не натянется. Ей некуда изменять длину, её длина - это длина жёсткого канала.
Что будет происходить с нерастяжимой нитью я не знаю. Натяжение нерастяжимой нити никак не связано с изменением её длины.
А вообще, нить натягивается за счёт центробежных сил, возникающих на участках с кривизной траектории, если эти центробежные силы не компенсированы нормальными силами реакции канала.

Я думаю, натяжение растяжимой нити может быть различным в разных её точках. А вот в нерастяжимой, похоже, она одинакова по всей длине.

[anik]

dovlato в сообщении #710341 писал(а):

Я думаю, натяжение растяжимой нити может быть различным в разных её точках.

Я тоже так думаю. Отсюда следует, что при растяжении растяжимой нити, путевые скорости её отдельных частей могут быть различны по модулю. Но

dovlato в сообщении #709464 писал(а):

Скорости любой точки нити направлены по касательной к контуру и одинаковы по величине.

Это требование выполнимо только для нерастяжимой нити.
А требование, что "скорости любой точки направлены по касательной к контуру" уже говорит о том, что контур не изменяет своей формы, т.к. в противном случае, изменение формы контура привело бы к появлению составляющей скорости, направленной нормально к контуру.

-- Пн апр 15, 2013 12:20:49 --

Вы уже заранее сфорулировали требование, запрещающее контуру изменять свою форму. Вы это и получили.

[lucien]

dovlato в сообщении #709464 писал(а):

Открытым остаётся вопрос об устойчивости контура.

О какой устойчивости тут может быть речь? Конечно ее нет. Пусть нить нерастяжима. Возмущения бывают двух видов: возмущения формы нити и возмущения скорости. Первые на устойчивость не влияют. Возмущение же скорости (перпендикулярно контуру, разумеется) приводит к нескомпенсированному импульсу ЦМ.

[nikvic]

dovlato в сообщении #710341 писал(а):

Я думаю, натяжение растяжимой нити может быть различным в разных её точках. А вот в нерастяжимой, похоже, она одинакова по всей длине.

Только при наличии касательных сил со стороны канала.
Если их нет, то вдоль резинки, даже неоднородной по плотности-упругости, пойдёт "волна" скорости, угасающая со временем - в зависимости от "гистерезисности".

Ничто не мешает записать УРЧП для координаты "вдоль канала" с периодичностью по этой координате.

[dovlato]

anik в сообщении #710354 писал(а):

dovlato в сообщении #710341 писал(а):

Я думаю, натяжение растяжимой нити может быть различным в разных её точках.

Я тоже так думаю. Отсюда следует, что при растяжении растяжимой нити, путевые скорости её отдельных частей могут быть различны по модулю. Но

dovlato в сообщении #709464 писал(а):

Скорости любой точки нити направлены по касательной к контуру и одинаковы по величине.

Это требование выполнимо только для нерастяжимой нити.
А требование, что "скорости любой точки направлены по касательной к контуру" уже говорит о том, что контур не изменяет своей формы, т.к. в противном случае, изменение формы контура привело бы к появлению составляющей скорости, направленной нормально к контуру.

-- Пн апр 15, 2013 12:20:49 --

Вы уже заранее сфорулировали требование, запрещающее контуру изменять свою форму. Вы это и получили.

Нет, конечно. Никто ничего не "запрещает")). Доказано лишь то, что если начальные скорости всех точек нити одинаковы по величине и направлены по касательной, и если сила натяжения также одинакова во всех точках, то (в отсутствие возмущающих сил!) такое состояние далее может сохраняться неограниченно долго.

[anik]

dovlato в сообщении #710471 писал(а):

Нет, конечно. Никто ничего не "запрещает")). Доказано лишь то, что если начальные скорости всех точек нити одинаковы по величине и направлены по касательной, и если сила натяжения также одинакова во всех точках, то (в отсутствие возмущающих сил!) такое состояние далее может сохраняться неограниченно долго.

Если бы, да кабы...
Возможно, я напишу длинный текст, но Вы всё-таки прочтите.
Вот если упругая нить вращается по окружности с постоянной скоростью и находится в динамическом равновесии, то мы имеем, что скорости всех точек нити одинаковы по величине и направлены по касательным. Ничего не изменится, если мы представим эту нить абсолютно жёсткой. Равновесие не нарушится (принцип мгновенного затвердевания).
Здесь есть некоторая тонкость, эта нить находится в равновесии "сама по себе". Можно заключить её в кольцевой канал, но центростремительные ускорения будут обеспечены не реакциями стенок канала (они не нужны и не возникают), а собственным натяжением нити. Если мы освободим такую нить от канала, она сохранит свою форму.

Теперь, представьте себе канал состоящий и двух полуокружностей и двух сопряжённых с ними отрезков (как будто это "шпагатная передача" на двух шкивах). В этот канал вставлена упругая нить, которая движется с постоянной скоростью вдоль канала. Докажите мне сначала, что эта нить способна двигаться внутри такого канала без действия реакций со стороны стенок канала! Для этой нити сохраняются условия: натяжения нити везде одинаковы (канал скользкий) и скорости всех точек направлены по касательным.
Эта нить не изменяет формы, но к ней приложены внешние силы со стороны канала!

dovlato в сообщении #710471 писал(а):

то (в отсутствие возмущающих сил!) такое состояние далее может сохраняться неограниченно долго

Вот, теперь, если убрать канал, то исчезнут силы реакции со стороны канала. Но это и будет наличие внешних возмущающих сил!