Теорема о бегущей нити

[dovlato]

Мотивом для появления этого экзерсиса является сообщение nikvic, которое меня просто поразило.
Мне захотелось понять механизм процесса.
Теорема:
Пусть тонкая однородная, мягкая на изгиб нить образует замкнутый контур.
Скорости любой точки нити направлены по касательной к контуру и одинаковы по величине.
Тогда контур может сохранять свою форму и ориентацию.

Выделим произвольный участок контура; один его конец - первый, другой - второй.
Допустим, в 1й точке нить входит со скоростью $\vec v_1=v\vec n_1$, где $\vec n_1$ - единичный вектор, задающий направление; аналогично для второй точки, из которой нить выходит. Полный поток импульса, входящий в 1й конец и выходящий из 2го конца, равен

$$\frac{d\vec p_v}{dt}=\mu v^2 (\vec n_1-\vec n_2)$$

Здесь $\mu$ - линейная плотность нити.
Пусть значение силы натяжения нити равно некоторому $f$.
Поскольку силы натяжения также направлены по касательной, поток импульса, обеспечиваемый ими, равен

$$\frac{d\vec p_{f}}{dt}=-f(\vec n_1-\vec n_2)$$

Суммарный поток импульса для рассматриваемого фрагмента

$$\frac{d\vec p}{dt}=(\mu v^2-f) (\vec n_1-\vec n_2)$$

Откуда следует, что при условии

$$f=\mu v^2$$

полный импульс фрагмента между точками 1 и 2 сохраняется. В частности, может оставаться равным нулю произвольное время.
В силу произвола в выборе фрагмента следует, что весь контур сохраняет свою форму.
Следствие: сила натяжения нити равна удвоенной плотности кинетической энергии нити

$$f=2\varepsilon$$

Открытым остаётся вопрос об устойчивости контура.

[anik]

dovlato в сообщении #709464 писал(а):

Скорости любой точки нити направлены по касательной к контуру и одинаковы по величине.

Вот это требование выполнимо, если уточнить, что нить нерастяжима.

[dovlato]

Я думаю, что поскольку сила натяжения одинакова во всех точках нити, то она вполне может быть и растяжима - на вывод это не повлияет.

[anik]

Я думаю, что Ваш вывод не соответствует реальной действительности (эксперименту).
Представьте себе ремённую передачу с двумя шкивами одинакового диаметра. Эти два шкива вращаются с одинаковой угловой скоростью. Если Вы наблюдательны, то наверняка отмечали, что как бы сильно ремень ни был натянут, его движение в воздухе между шкивами происходит не по прямой линии, а по дуге кривой. Эту дугу можно было бы спрямить, если подставить скользкую прямолинейную направляющую, касательную к двум шкивам. Тогда траектория ремня будет состоять из двух полуокружностей и двух прямых (отрезков).
По Вашей теореме получается, что если мы уберём прямолинейные направляющие, то ремни между шкивами будут теперь двигаться по прямолинейным отрезкам, а не по дугам?

[Munin]

dovlato в сообщении #709579 писал(а):

Я думаю, что поскольку сила натяжения одинакова во всех точках нити, то она вполне может быть и растяжима - на вывод это не повлияет.

На вывод об устойчивости может повлиять.

[nikvic]

anik в сообщении #709590 писал(а):

По Вашей теореме получается, что если мы уберём прямолинейные направляющие, то ремни между шкивами будут теперь двигаться по прямолинейным отрезкам, а не по дугам?

По теореме получается, что при удалении шкивов в условии невесомости идеальные ремни будут двигаться именно так.

При расположении шкивов "по вертикали" ремни между шкивами двигаются вертикально: их натяжение делают больше критического ""плотность на квадрат скорости.
Подучите шпагатную передачу

[anik]

dovlato в сообщении #709464 писал(а):

Пусть значение силы натяжения нити равно некоторому $f$.
Поскольку силы натяжения также направлены по касательной, поток импульса, обеспечиваемый ими, равен

$$\frac{d\vec p_{f}}{dt}=-f(\vec n_1-\vec n_2)$$

Куда по-вашему направлен "вектор силы" $f$?
Силы натяжения ремня - это силы взаимодействия. Это пара сил, равных по модулю и противоположно направленных. Когда я говорю, что взаимодействие это не вектор, то меня начинают всячески шельмовать. Не может быть вектора взаимодействия! Этот "вектор" не имеет определённого направления! И это не лженаука.
Поток импульса обеспечиваемый силами натяжения нити равен нулю.

-- Сб апр 13, 2013 23:27:14 --

nikvic в сообщении #709653 писал(а):

По теореме получается, что при удалении шкивов в условии невесомости идеальные ремни будут двигаться именно так.

Идеальные ремни в невесомости это, наверное, всё равно, что сферические кони в вакууме?

[nikvic]

anik в сообщении #709655 писал(а):

Силы натяжения ремня - это силы взаимодействия. Это пара сил, равных по модулю и противоположно направленных.

Не так.
Силой натяжения принято называть проекцию силы, с которой "левый" кусок действует на "правый", на направление справа-налево. Для нити - не меньше нуля.

[anik]

nikvic в сообщении #709658 писал(а):

Силой натяжения принято называть проекцию силы, с которой "левый" кусок действует на "правый", на направление справа-налево.

Очередная глупость! Здесь тоже, наверное, замешана теория относительности. Всё зависит от позиции наблюдателя.
Вот мы с вами смотрим на натянутую нить с двух сторон. Что для Вас слева направо, то для меня - справа налево. Поскольку наблюдатели равноправны, то теряется разница между "левым" куском и "правым" куском.

[nikvic]

(Оффтоп)

anik в сообщении #709673 писал(а):

nikvic в сообщении #709658 писал(а):

Силой натяжения принято называть проекцию силы, с которой "левый" кусок действует на "правый", на направление справа-налево.

Очередная глупость! Здесь тоже, наверное, замешана теория относительности. Всё зависит от позиции наблюдателя.
Вот мы с вами смотрим на натянутую нить с двух сторон. Что для Вас слева направо, то для меня - справа налево. Поскольку наблюдатели равноправны, то теряется разница между "левым" куском и "правым" куском.

Я знал, что Вы попадётесь на эту наживку - независимость силы_натяжения от выбора субъекта и объекта силы...

[dovlato]

Munin в сообщении #709619 писал(а):

dovlato в сообщении #709579 писал(а):

Я думаю, что поскольку сила натяжения одинакова во всех точках нити, то она вполне может быть и растяжима - на вывод это не повлияет.

На вывод об устойчивости может повлиять.

Насчёт устойчивости я просто не могу ничего сказать. Видимо, даже если эволюция контура и происходит, то сравнительно "медленно".

-- Сб апр 13, 2013 21:00:12 --

anik в сообщении #709590 писал(а):

Я думаю, что Ваш вывод не соответствует реальной действительности (эксперименту).
По Вашей теореме получается, что если мы уберём прямолинейные направляющие, то ремни между шкивами будут теперь двигаться по прямолинейным отрезкам, а не по дугам?

Я не вижу каких-то прорех в самом доказательстве (благо оно простое). Другое дело - насколько реальные толстые жёсткие ремни похожи на тонкую мягкую нить.

-- Сб апр 13, 2013 21:29:57 --

nikvic предложил формулу, обобщающую результат $f=2\varepsilon$ на случай несогласованной силы натяжения, когда это равенство не выполняется.
В этом случае контур должен быть замкнут в жёсткий канал заданной формы. Пусть точки 1 и 2 стремятся друг к другу; тогда $\vec n_2-\vec n_1\approx \frac{d\vec n}{ds}\Delta s$.
После чего непосредственно из текста доказательства следует (ограничусь скалярной записью)

$$f+R\tau=2\varepsilon$$

Здесь $\tau$ - линейная плотность силы давления нити на на стенки канала; $R$ - радиус кривизны в данной точке.

[Munin]

dovlato в сообщении #709676 писал(а):

Видимо, даже если эволюция контура и происходит, то сравнительно "медленно".

Если устойчивости нет, то биться эта штука должна начать по экспоненте, то есть достаточно быстро.

Собственно, имея ваше обобщение, можете уже исследовать устойчивость.

[anik]

nikvic в сообщении #709675 писал(а):

Я знал, что Вы попадётесь на эту наживку - независимость силы_натяжения от выбора субъекта и объекта силы...

Это что, новый закон философии?
Напряжения в материале (в том числе натяжение нити) сводятся в конечном итоге к межмолекулярным взаимодействиям, а не к субъектам и объектам.

dovlato в сообщении #709676 писал(а):

Я не вижу каких-то прорех в самом доказательстве (благо оно простое). Другое дело - насколько реальные толстые жёсткие ремни похожи на тонкую мягкую нить.

dovlato в сообщении #709464 писал(а):

Скорости любой точки нити направлены по касательной к контуру и одинаковы по величине.

Во-первых: "скорости любой точки нити направлены по касательной к контуру" - справедливо только в том случае, если контур не меняет формы. Этим условием Вы сами задаёте неизменность формы контура. Во-вторых: "и одинаковы по величине", это только в том случае, если нить нерастяжима и при движении не изменяет формы.

-- Вс апр 14, 2013 11:38:28 --

"Другое дело - насколько реальные толстые жёсткие ремни похожи на тонкую мягкую нить."
Здесь нужно понять простую вещь, если нить движется так, что на неё действует внешняя сила реакции (канала или прямолинейной направляющей), то, если эту внешнюю силу убрать, движение нити должно измениться. Так же как и если нить движется как-то под действием внешних сил, то, если к внешним силам добавить ещё дополнительные силы, движение нити тоже должно измениться.

[dovlato]

Munin в сообщении #709790 писал(а):

dovlato в сообщении #709676 писал(а):

Видимо, даже если эволюция контура и происходит, то сравнительно "медленно".

Если устойчивости нет, то биться эта штука должна начать по экспоненте, то есть достаточно быстро.

Собственно, имея ваше обобщение, можете уже исследовать устойчивость.

Если честно, я не знаю - как. Это задача совсем иного уровня сложности .. я всё-таки не специалист. По поводу предполагаемой экспоненты возникают сомнения вот какие. Экспоненты, думаю, возникают тогда и только тогда, когда при отклонении от положения равновесия развиваются силы, пропорциональные этому отклонению (в многомерном случае всё определилось бы спектром собственных значений). Но тут не видно таких сил! Контуру, похоже, "всё равно". Поэтому на уровне бреда могу предположить, что такие контуры - это своего рода "броуновские частицы": в любом материале существуют неустранимые тепловые движения микрочастиц. Если это вообще так, то возникает неслабая задача о вероятностном распределении форм.

-- Вс апр 14, 2013 09:42:34 --

anik в сообщении #709856 писал(а):

nikvic в сообщении #709675 писал(а):

Я знал, что Вы попадётесь на эту наживку - независимость силы_натяжения от выбора субъекта и объекта силы...

Это что, новый закон философии?
Напряжения в материале (в том числе натяжение нити) сводятся в конечном итоге к межмолекулярным взаимодействиям, а не к субъектам и объектам.

dovlato в сообщении #709676 писал(а):

Я не вижу каких-то прорех в самом доказательстве (благо оно простое). Другое дело - насколько реальные толстые жёсткие ремни похожи на тонкую мягкую нить.

dovlato в сообщении #709464 писал(а):

Скорости любой точки нити направлены по касательной к контуру и одинаковы по величине.

Во-первых: "скорости любой точки нити направлены по касательной к контуру" - справедливо только в том случае, если контур не меняет формы. Этим условием Вы сами задаёте неизменность формы контура. Во-вторых: "и одинаковы по величине", это только в том случае, если нить нерастяжима и при движении не изменяет формы.

-- Вс апр 14, 2013 11:38:28 --

"Другое дело - насколько реальные толстые жёсткие ремни похожи на тонкую мягкую нить."
Здесь нужно понять простую вещь, если нить движется так, что на неё действует внешняя сила реакции (канала или прямолинейной направляющей), то, если эту внешнюю силу убрать, движение нити должно измениться. Так же как и если нить движется как-то под действием внешних сил, то, если к внешним силам добавить ещё дополнительные силы, движение нити тоже должно измениться.

Я не вижу, что тут можно доказать или опровергнуть словами. Другое дело - верить или не верить. Но в рамках доказательства (и в рамках предпосылок) противоречий не видно. Не сомневаюсь, что реальные нити будут искажать форму, но вот как - бог весть.

[Munin]

dovlato в сообщении #709867 писал(а):

Если честно, я не знаю - как. Это задача совсем иного уровня сложности .. я всё-таки не специалист.

Мне что-то здесь не видится задачи сложней, чем то, что вы уже сделали. Зададимся для нити некоторым законом растяжения, линейным для малых $df.$ Тогда можно рассмотреть изменение длины малой дуги нити (раз она малая, то считаем её дугой окружности), и как это повлияет на её энергию. Скажем, получится либо максимум, либо минимум.