Об объяснении понятия размерности в школе

[Deggial]

Tuttis, замечание за неправильное оформление формул. Формулы на форуме следует оформлять $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
И за капслокинг.

[Sonic86]

g______d в сообщении #707262 писал(а):

Это печалька. Но я не очень понимаю, какого ответа Вы ждете здесь.

угу

Tuttis в сообщении #707363 писал(а):

В любом случае, вы все время избегаете скользкого вопроса насчет коммутативности операции умножения на множестве натуральных чисел.

А в чем вопрос-то? $(\forall a\in\mathbb{N})(\forall b\in\mathbb{N})a\cdot b=b\cdot a$. Нет тут никакого вопроса.
Если Вы имеет ввиду, как сей факт объяснять детям, то Вы форумом ошиблись, это не математический вопрос, Вам сюда.

(Оффтоп)

Tuttis в сообщении #707363 писал(а):

вы как то все время половинчато действуете... тут рыбу будем заворачивать - а тут не будем.

давайте второклашкам начнем операторный подход сразу излагать, чо там.

Вы поймите правильно (я опять заранее сразу пишу оффтоп, поскольку догадываюсь, чем все закончится, потому сразу надеюсь предупредить (второй раз)).
Я то, что написал - я хотел сказать только это и больше ничего. Я хотел сказать, что высказывание

Tuttis в сообщении #707292 писал(а):

Выражение $a\cdot b= a+a+a.. $ повторить $b$ раз - не есть ОПРЕДЕЛЕНИЕ операции умножения, а всего лишь иллюстративный прием, позволяющий детям освоиться с натуральным счетом.

- это вранье, либо Вы не понимаете смысл слова "определение". Рассматривать мой текст как способ научить детей, изложить арифметику полностью и целиком на понятном детям языке, как вариант правильного написания методички и т.д. и т.п. - это бессмысленно. Я не учитель и не препод и не методист и не педагог и не умею людей учить. Я сам предпочту, чтобы моего ребенка, если он будет, учили наивным образом, сразу сообщив о коммутативности умножения.
Но чепуху писать не надо.

Кстати, вот это

Tuttis в сообщении #707184 писал(а):

А вот запись 1м*5 - как ее очень любят трактовать не в меру упертые учительницы (метр, яблоко, бутылка пять раз)- физического смысла НЕ ИМЕЕТ -так как ОДИН И ТОТ ЖЕ объект пять раз взять нельзя.

Это тоже какая-то ерунда. По-моему, проще считать, что смысл выражений $5\cdot 1\text{м}$ и $5\text{м}\cdot 1$ один и тот же. В противном случае получается, что при решении физической задачи все промежуточные выкладки не имеют смысла. В общем, не понимаю, зачем Вы так пишите.

[Tuttis]

И кстати, позвольте вам напомнить, что впервые о некоммутативном умножении дети в школе узнают от физиков - векторы вводятся на уроках физики РАНЬШЕ, чем на уроках математики. И слава богу, судя по засилью марьванн в окружающей среде.

-- 08.04.2013, 18:29 --

Sonic86, не вижу смысла с вами спорить, так как все равно в конечном итоге спор сведется к определению начальных понятий- кто что под чем имеет в виду.

Думайте что хотите, трактуйте мои слова как вам заблагорассудится - мне абсолютно все равно. Имеющий уши - слышит, а не имеющего по голове физическая реальность бьет, чтобы услышал :)

-- 08.04.2013, 18:32 --

В общем, дорогие форумчане, я попыталась изложить физические основы измерения в соответствии с тем, что вообще то должно преподаваться еще в начальной школе - начиная со второго класса. Не вдаваясь в излишне зубодробительные вещи и стараясь по возможности сохранять наглядность.

Может быть, кому-то это поможет. Если нет - я не в претензии. Всем удачи :)

[vvb]

g______d в сообщении #707135 писал(а):

Вместо векторных расслоений для простоты можно брать векторные пространства. Смысл такой, что в $\mathbb R$ есть выделенный базис (единица), а в одномерном векторном пространстве над $\mathbb R$, вообще говоря, нет. Выбирая этот базис, мы фиксируем эталон соответствующей величины. Соответственно, перемножать мы два элемента векторного пространства тоже не можем (потому что результат зависит от базиса), но можно рассмотреть тензорное произведение, оно будет элементом другого (но тоже одномерного) векторного пространства. Типа того, что $\text{кг}\cdot\text{кг}=\text{кг}^2$.

Гм.... интересная штука
Надо поподробнее почитать

(Оффтоп)

Tuttis, со сказанным вами я совершенно согласен.
Но, вы сами пишете,

Tuttis в сообщении #707292 писал(а):

Способы введения умножения в детское сознание - есть разные.

У педагога есть определенная программа, в которой все равно должен быть определенный способ введения этого умножения.
Может, ребенок соображает хорошо и может оперировать другими определениями умножения - это здорово, снижать оценку в таком случае нельзя.
Но, справедливости ради надо сказать, что мы не знаем, за что была снижена оценка в рассматриваемом случае. И понимал ли ребенок, что он пишет. Может, он просто не знал определение умножения, а взял наугад первое попавшееся подходящее выражение из таблицы умножения.
Да, еще. Я спросил у своей дочери (2 класс), как решается эта задача. Она ответила, что $2 \cdot\ 9$, а по другому - смысл другой. Для второго класса - нормально. Если будет так считать в 5-м - это плохо, но, скорее всего, не будет. Дети в этом возрасте не столько запоминают такие определения, сколько учатся порядку и строгости.
Какая методика будет более эффективной - это вопрос дискуссионный, но то, что она должна быть, и по этой методике учитель должен учить и спрашивать учеников, по-моему, тут без вариантов. Ну а проблема оценки детей с нестандартным мышлением или просто более развитых детей - это общая проблема всего процесса обучения, а не только математики. Самодури тут хватает

[g______d]

Tuttis в сообщении #707363 писал(а):

Вы знаете, формальная арифметика в строгом виде вообще излагается с помощью операторного подхода.

вы как то все время половинчато действуете... тут рыбу будем заворачивать - а тут не будем.

давайте второклашкам начнем операторный подход сразу излагать, чо там. Строгость - так строгость..

Какой такой операторный подход? Коммутативность выводится из вышеуказанного определения по индукции.

[profrotter]

vvb в сообщении #707433 писал(а):

Может, ребенок соображает хорошо и может оперировать другими определениями умножения - это здорово, снижать оценку в таком случае нельзя.

Дело не в определении умножения. Дело в том, что от того, что математик ввёл некоторое определение в мире ровным счётом ничего не изменилось. Решая задачу о раздаче молока я могу писать как $2\cdot 9$, так и $9\cdot 2$, поскольку мы имеем дело с эффективным подсчётом количества двумерно-организованных (на плоскости) предметов, и только после этого применить определение операции умножения. Вид записи, таким образом, определит лишь алгоритм (последовательность действий) расчёта числа 18, да и то только в том случае, когда я не выучил таблицу умножения!

[Tor]

Глупо конечно вводить операцию умножения без описания ее свойств. По крайней мере, концепцию коммутативности школьнику упорно вдалбливают в виде той же таблицы умножения. Можно объяснить и наглядно, на яблоках. Короче, надо таких методистов вместе с их методичками давно отправить на пенсию, их работа в этой теме натуральное вредительство.

[nikvic]

profrotter в сообщении #707629 писал(а):

Вид записи, таким образом, определит лишь алгоритм (последовательность действий)

Это и есть достоинство.

[nothingness]

Tuttis в сообщении #707363 писал(а):

Я открываю работы академика Арнольда по вопросам преподавания арифметики в школе - и что я вижу? что Арнольд - основоположник советской системы преподавания математики в школе заявляет, что конструкция a*b=a+a+a .. b раз - неестественна для русского языка и создает дополнительные сложности для преподавания арифметики в школе; так как детей в дошкольных учреждений учат сложению на естественном языке - 3 палочки +5 палочек = 3*1 палочка +5*1палочка; а потом начинают детей пытать, чтобы они делали усилия - представляя себе умножение в виде 1 палочка*3, 1 палочка*5

При этом в задачах ответ нужно выписывать опять в обратном порядке - на естественном языке - 5 палочек, три палочки.

А еще через некоторое время детей опять будут перемучивать на представление вида 2*х..

После чего - делает совершенно справедливое заключение Арнольд -ребенок сдается и отказывается от идеи вообще что нибудь в математике понять.

Tuttis, не подскажете, в какой работе Арнольда приводятся эти высказывания?

[g______d]

nothingness в сообщении #707765 писал(а):

не подскажете, в какой работе Арнольда приводятся эти высказывания?

Это, наверное, отец

http://www.math.ru/history/people/arnold_iv

[Ontt]

Tuttis в сообщении #707394 писал(а):

что вообще то должно преподаваться еще в начальной школе - начиная со второго класса

Где можно ознакомиться с оригинальным стандартом образования, который Вы пытаетесь донести на форуме?

[Munin]

Tuttis в сообщении #707184 писал(а):

Действительно, выражение $a \cdot b=a+a+a..$ повторить b раз - имеет смысл только если b - безразмерное натуральное число!
Для отрицательных чисел, для дробных, для размерных величин, даже для 0 - это выражение НЕ ИМЕЕТ СМЫСЛА.

Это примерно на уровне "раз мы написали справа буковки $a$ три раза, то и для $b=1,2$ это выражение не имеет смысла". На самом деле, смысл можно придать.
Сначала замечаем, что для $b>c$ верно
$a\cdot(b-c)=\underbrace{a+a+a+\ldots}_b-\underbrace{a-a-\ldots}_c,$
тогда

$0\colon\quad a\cdot b=a-a=0$
Отрицательные числа:
$a\cdot b=a-a-\underbrace{a-a-\ldots}_{|b|}$

Дробные (рациональные) числа рассматриваем, деля единицу $a$ на равные части $\alpha$ (на самом деле $\tfrac{a}{n}$), такие что
$a=\underbrace{\alpha+\alpha+\alpha+\ldots}_n,$
тогда

$b=\tfrac{m}{n}\colon\quad a\cdot b=\underbrace{\alpha+\alpha+\alpha+\ldots}_m$

Tuttis в сообщении #707184 писал(а):

Вычисление площади прямоугольника (которое тоже проходят во втором классе!!!) - это пример задачи, в которой НЕТ ничего, что можно было бы сложить по вышеприведенному определению.

Как ничего? А клеточки клетчатой бумаги?

[mihailm]

Tuttis в сообщении #707363 писал(а):

...
Я открываю работы академика Арнольда по вопросам преподавания арифметики в школе - и что я вижу? что Арнольд - основоположник советской системы преподавания математики в школе...

После этого утверждения дискутировать с ТС очевидно не о чем.
Хотя у академика Арнольда был отец кажется доктор пед наук известный по книге по теории чисел, но и он основоположником не был.