Бесконечность простых в последовательности многочленов

[nnosipov]

То есть $P(f \cap g,2,x)=\pi(f \cap g,2,x)/(x-2)$, где $\pi(f \cap g,2,x)$ --- количество чисел из интервала $[2,x)$, которые являются членами как последовательности $f(n)$, так и последовательности $g(n)$.

Нас интересует случай, когда одна из последовательностей (например, $f(n)$) есть последовательность простых чисел. Это довольно сложно устроенная последовательность. Я предлагаю на гораздо более простых примерах посмотреть, как можно вычислять или хотя бы оценивать величину $P(f \cap g,2,x)$. Попробуйте это сделать в следующих случаях: а) $f(n)=4n+1$, $g(n)=6n+5$; б) $f(n)=4n+1$, $g(n)=8n+3$; в) $f(n)=n^2$, $g(n)=2n^2+1$; г) $f(n)=n^2$, $g(n)=3n^2-1$; д) $f(n)=n^2$, $g(n)=n^3+1$. Правильные ответы мне известны, и на этих простых примерах мы сможем проверить адекватность Вашей методики. Потом мы продолжим разговор о Ваших дальнейших обозначениях.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #703886 писал(а):

Я предлагаю на гораздо более простых примерах посмотреть, как можно вычислять или хотя бы оценивать величину $P(f \cap g,2,x)$. Попробуйте это сделать в следующих случаях: а) $f(n)=4n+1$, $g(n)=6n+5$;

$P(f \cap g,2,x) =0$, так нет общих членов у последовательностей.

Цитата:

б) $f(n)=4n+1$, $g(n)=8n+3$;

$P(f \cap g,2,x) \sim P(f \cap g/g,2,x) \cdot P(g,2,x)=1/2 \cdot 1/6=1/12$.

Остальными пока не занимался, не было времени!

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #703886 писал(а):

в) $f(n)=n^2$, $g(n)=2n^2+1$; г) $f(n)=n^2$, $g(n)=3n^2-1$; д) $f(n)=n^2$, $g(n)=n^3+1$. Правильные ответы мне известны, и на этих простых примерах мы сможем проверить адекватность Вашей методики. Потом мы продолжим разговор о Ваших дальнейших обозначениях.

Формулу $P(f\cap g,A,x) \sim P(f,A,x) \cdot P(f \cap g/f,A,x)$ надо использовать для нахождения $P(f \cap g/f,A,x) \sim P(f\cap g,A,x)/P(f,A,x)$. При этом $P(f\cap g,A,x)$ находится из различных соображений в зависимости от вида последовательностей. Например, в в),г),д) из исследований решений неопределенных уравнений.
Для примера в)-это уравнение Пелля $x^2-2y^2=1$, которая в общем виде имеет вид $x^2-Dy^2=1$. Поскольку D в данном случае не является полным квадратом, то уравнение имеет нетривиальные решения. Я нашел наименьшие из них $x=3, y=2$. Числитель и знаменатель подходящей дроби для $\sqrt (D)$ являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда номер этой подходящей дроби нечётен и сравним с -1 по модулю P, где P — период цепной дроби для $\sqrt (D)$. В данном случае это выполняется, поэтому общее решение находится, как числитель и знаменатель подходящей дроби $\sqrt (D)$. Решений бесконечное количество. Общее решение я не находил. Если У Вас есть общее решение, то напишите.
Для примера г) справедливо похожее неопределенное уравнение $x^2-3y^2=-1$. Общий вид данного уравнения $x^2-Dy^2=-1$. Наличие решения данного уравнения зависит от четности периода P цепной дроби для $\sqrt (D)$. Если P- четно, то решений нет. В данном случае, для цепной дроби $\sqrt (3)$ P- четно, и решений нет, поэтому искомая плотность $P(f\cap g,2,x) =0$.
Для примера д) справедливо неопределенное уравнение $x^2-y^3=1$. Оно имеет тривиальные решения $x=1,y=0$, $x=-1,y=0$, $x=0, y=-1$ и минимальное нетривиальное $x=3,y=2$, которое удолетворяет нашему условию. Остальных решений не знаю. Если у Вас есть, то напишите. В любом случае, если количество решений ограниченно, то искомая асимптотическая плотность равна 0.
Таким образом это не методика, а теория, заточенная для решения определенных задач, в частности доказательства бесконечности простых чисел в многочленах определенного типа, что я и делаю в данной теме. Поэтому давайте вернемся к рассмотрению доказательства.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #705547 писал(а):

При этом $P(f\cap g,A,x)$ находится из различных соображений в зависимости от вида последовательностей.

Вот на это я и намекал. При этом мы можем получить очень сложную задачу, состоящую в решении соответствующего диофантова уравнения. И нужно очень потрудиться, чтобы его решить. Совершенно непонятно, как Вам удалось легко решить уравнение типа $p_n=4m^2+1$, где $p_n$ обозначает $n$-е простое число. Точнее, Вы претендуете на то, что умеете доказывать существование бесконечного множества решений этого уравнения.

vicvolf в сообщении #705547 писал(а):

Поэтому давайте вернемся к рассмотрению доказательства.

Хорошо. Поскольку ключевым моментом в нём является оценка снизу для величины $P(f \cap g/f,2,x)$, сформулируйте её определение.

[vicvolf]

nnosipov писал(а):

Совершенно непонятно, как Вам удалось легко решить уравнение типа $p_n=4m^2+1$, где $p_n$ обозначает $n$-е простое число. Точнее, Вы претендуете на то, что умеете доказывать существование бесконечного множества решений этого уравнения.

vicvolf в сообщении #703530 писал(а):

Сейчас я не ставлю перед собой задачу определить асимптотическую плотность простых чисел в последоватедьности многочленов 3-его типа g(n)в общем случае $P(f \cap g/g,2,n)$. Меня интересует только оценка.

-- 04.04.2013, 14:19 --

nnosipov в сообщении #705580 писал(а):

Хорошо. Поскольку ключевым моментом в нём является оценка снизу для величины $P(f \cap g/f,2,x)$, сформулируйте её определение.

$P(f\cap g/f,2,x)-$ асимптотическая плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ на интервале [$2,x$).

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #705608 писал(а):

$P(f\cap g/f,2,x)-$ асимптотическая плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ на интервале [$2,x$).

То есть, если последовательность $f(n)$ имеет $N$ членов в интервале $[2,x)$, а общих с последовательностью $g(n)$ членов у неё $M$, то $P(f\cap g/f,2,x)=M/N$. Так?

В других обозначениях, которые мы ранее уже обсудили: $P(f\cap g/f,2,x)=\pi(f \cap g,2,x)/\pi(f,2,x)$.

Далее будем рассматривать $f(n)=4n^2+1$. Такой многочлен годится для опытов с Вашей теорией?

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #705619 писал(а):

vicvolf в сообщении #705608 писал(а):

$P(f\cap g/f,2,x)-$ асимптотическая плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ на интервале [$2,x$).

То есть, если последовательность $f(n)$ имеет $N$ членов в интервале $[2,x)$, а общих с последовательностью $g(n)$ членов у неё $M$, то $P(f\cap g/f,2,x)=M/N$. Так?
В других обозначениях, которые мы ранее уже обсудили: $P(f\cap g/f,2,x)=\pi(f \cap g,2,x)/\pi(f,2,x)$.

Да, верно! Но я говорю об асимптотике, т.е. $P(f\cap g/f,2,x) \sim \pi(f \cap g,2,x)/\pi(f,2,x)$.

Цитата:

Далее будем рассматривать $f(n)=4n^2+1$. Такой многочлен годится для опытов с Вашей теорией?

Подходит.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #705727 писал(а):

Но я говорю об асимптотике, т.е. $P(f\cap g/f,2,x) \sim \pi(f \cap g,2,x)/\pi(f,2,x)$.

Тогда дайте определение величины $P(f\cap g/f,2,x)$. Как можно обсуждать асимптотику непонятно чего? Пока Вы точно не сформулируете, что Вы понимаете под $P(f\cap g/f,2,x)$, разговор беспредметен.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #705739 писал(а):

vicvolf в сообщении #705727 писал(а):

Но я говорю об асимптотике, т.е. $P(f\cap g/f,2,x) \sim \pi(f \cap g,2,x)/\pi(f,2,x)$.

Тогда дайте определение величины $P(f\cap g/f,2,x)$. Как можно обсуждать асимптотику непонятно чего? Пока Вы точно не сформулируете, что Вы понимаете под $P(f\cap g/f,2,x)$, разговор беспредметен.

Обычное определение асимптотики - $P(f\cap g/f,2,x) \sim \pi(f \cap g,2,x)/\pi(f,2,x)$ эквивалентно $\lim \limits_{x \to \infty} {P(f\cap g/f,2,x)}=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {P(f\cap g,2,x)} {P(f,2,x)} }=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {\pi(f\cap g,2,x)} {\pi(f,2,x)}}. $

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #705984 писал(а):

$P(f\cap g/f,2,x)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {P(f\cap g,2,x)} {P(f,2,x)} }=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {\pi(f\cap g,2,x)} {\pi(f,2,x)}}. $

Это неграмотно: выражение слева зависит от $x$, а выражение справа --- нет. Либо следует убрать из обозначения $P(f\cap g/f,2,x)$ букву $x$ и писать просто $P(f\cap g/f,2)$. Тогда это будет либо некая константа, зависящая только от двух последовательностей $f(n)$ и $g(n)$, либо что-то неопределённое, поскольку указанный предел, вообще говоря, не обязан существовать. Так как же следует понимать Ваше $P(f\cap g/f,2,x)$?

-- Пт апр 05, 2013 14:11:28 --

vicvolf в сообщении #705984 писал(а):

Обычное определение асимптотики - $P(f\cap g/f,2,x) \sim \pi(f \cap g,2,x)/\pi(f,2,x)$ эквивалентно $\lim \limits_{x \to \infty} {P(f\cap g/f,2,x)}=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {P(f\cap g,2,x)} {P(f,2,x)} }=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {\pi(f\cap g,2,x)} {\pi(f,2,x)}}. $

Я спрашиваю, что такое $P(f\cap g/f,2,x)$, а не что такое $\lim_{x \to \infty}P(f\cap g/f,2,x)$. Итак, что это?

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #705986 писал(а):

Я спрашиваю, что такое $P(f\cap g/f,2,x)$, а не что такое $\lim_{x \to \infty}P(f\cap g/f,2,x)$. Итак, что это?

$P(f\cap g/f,2,x)=\frac {P(f\cap g,2,x)} {P(f,2,x)}=\frac {\pi(f\cap g,2,x)} {\pi(f,2,x)}$.

[nnosipov]

А, вот теперь понятно. И можно переходить к оценкам этой величины. Что именно Вы хотите доказать про $P(f\cap g/f,2,x)$?

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #705992 писал(а):

Что именно Вы хотите доказать про $P(f\cap g/f,2,x)$?

$P(f\cap g/f,2,x)>P(f,2,x)$ для достаточно больших x, где $g(n)=4n^2+1$, а $f(n)$-последовательность простых чисел.
Таким образом, я хочу доказать, что плотность (читайте вероятность, так как в данном случае плотность является конечной вероятностной мерой), что натуральное число x является простым числом (принадлежит последовательности $f(n)$ на интервале [2,x)) при условии, что оно является нечетным числом (принадлежит последовательности нечетных чисел $g(n)=4n^2+1$) больше, чем плотность (вероятность), что натуральное x является простым числом (принадлежит последовательности $f(n)$ на интервале [2,x)) , без условий, т.е. x может быть, как четным, так и нечетным числом.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #706048 писал(а):

читайте вероятность, так как в данном случае плотность является конечной вероятностной мерой)

Я не понимаю этих слов. У нас есть определение этих Ваших плотностей, там ни слова не говорится о каких-то "конечных вероятностных мерах". Если хотите употреблять эти слова, давайте им определения. Затем объясняйте, как именно эти "конечные вероятностные меры" помогают в доказательстве неравенства $P(f\cap g/f,2,x)>P(f,2,x)$ для достаточно больших $x$. На данный момент Ваша фраза "плотность является конечной вероятностной мерой" не имеет смысла.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #706058 писал(а):

vicvolf в сообщении #706048 писал(а):

читайте вероятность, так как в данном случае плотность является конечной вероятностной мерой)

Я не понимаю этих слов. У нас есть определение этих Ваших плотностей, там ни слова не говорится о каких-то "конечных вероятностных мерах". Если хотите употреблять эти слова, давайте им определения. Затем объясняйте, как именно эти "конечные вероятностные меры" помогают в доказательстве неравенства $P(f\cap g/f,2,x)>P(f,2,x)$ для достаточно больших $x$. На данный момент Ваша фраза "плотность является конечной вероятностной мерой" не имеет смысла.

Пусть для некоторой такой последовательности $f(n)$ на концах интервала выполняется: $a=f(A),b=f(B)$. Обозначим количество чисел в последовательности $f(n)$ на интервале [$A,B$) - $\pi(f,A,B)$.
Тогда рассмотрим плотность, как долю членов последовательности $f(n)$ в последовательности натурального ряда на интервале [$A,B$):
Плотноcть последовательности чисел $f(n)$ в последовательности натурального ряда - $P(f,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {B-A}.(1)$
Покажем, что при данном определении плотности последовательности выполняется : $0 \leq P(f,A,B) \leq 1.(2)$
При $f(n)=n$ (последовательность принимает значение натурального ряда) - $P(f,A,B)=\frac {B-A} {B-A}=1.$
Если $f(n)$ не совпадает на [$A,B$) с натуральным рядом, то $\pi(f,A,B)<B-A$, поэтому $P(f,A,B)<1.$
Если $f(n)$ не имеет членов на интервале [$A,B$), т.е $\pi(f,A,B)=0$ и $P(f,A,B)=0.$
Таким образом, плотность последовательности чисел, определенная данным образом, является конечной вероятностной мерой, а следовательно для нее применимы формулы теории вероятности.