Бесконечность простых в последовательности многочленов

[vicvolf]

В теме "Последовательность многочленов с целыми положительными коэффициентами" рассмотрены многочлены 3-его типа, последовательность которых принимает только нечетные значения. Там было доказано утверждение - Последовательность многочленов принимает при изменении n только нечетные значения, если количество одночленов в многочлене с нечетными коэффициентами четно, а свободный член является нечетным числом.
В теме "Бесконечность простых чисел в последовательности" доказано утверждение 4 - Пусть имеются две последовательности $f(n),g(n)$ на интервале [$A,\infty$), тогда:$\lim \limits_{x \to \infty} {P(f\cap g,A,x)} =\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,A,x)} \cdot \lim \limits_{x \to \infty} {P(f \cap g/f,A,x)} ,(8.1)$
$P(f\cap g,A,x) \sim P(f,A,x) \cdot P(f \cap g/f,A,x) ,(8.2)$
где $P(f\cap g/f,A,x)-$ асимптотическая плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ на интервале [$A,\infty$).
Указанные выше утверждения будут использованы при доказательстве следующего утверждения.

Утверждение.
Количество простых чисел в последовательности неприводимых над кольцом целых чисел многочленов 3-его типа с взаимнопростыми коэффициентами бесконечно.

Доказательство
Рассмотрим неприводимый многочлен 3-его типа с взаимнопростыми коэффициентами:
$P_k(n)=a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+...+a_1n+a_0$.
$\lim \limits_{n \to \infty} {\frac {a_kn^k} {P_k(n)}}=1$, т.е. $g(n)=P_k(n) \sim a_kn^k$.
$a_kn^k$ является монотонно возрастающей функцией, поэтому имеет обратную функцию:
$g^{-1}(n) \sim (\frac {n} {a_k})^{1/k}$

Пусть f(n) последовательность простых чисел, а $g(n)=P_k(n)$, тогда на основании утверждения 4 :
$P(f\cap g,2,n) \sim P(g,2,n) \cdot P(f \cap g/g,2,n) .$

$P(f,2,n)\sim1/\ln(n);$
$P(g,2,n) \sim \frac {g^{-1}(n)} {n}=\frac {1} {(a_k)^{1/k}n^{1-1/k}}$.
Так как плотность простых чисел среди нечетных чисел, образованных последовательностью неприводимых над кольцом целых чисел многочленов 3-его типа с взаимнопростыми кожффициентами, больше, то выполняется неравенство:
$P(f \cap g/g,2,n)>1/\ln(n),$ поэтому
$P(f\cap g,2,n) \sim P(g,2,n) \cdot P(f \cap g/g,2,n)>P(g,2,n) \cdot P(f,2,n)=\frac {1} {(a_k)^{1/k}n^{1-1/k}\ln(n)} .$

Количество простых чисел в последовательности многочленов 3-его типа:
$\pi(f\cap g,2,n) >\sum_{n=2}^{\infty}{\frac {1} {(a_k)^{1/k}n^{1-1/k}\ln(n)}>\sum_{n=2}^{\infty}{\frac {1} {(a_k)^{1/k}n\ln(n)}.$(1)

По предельному признаку сходимости, сходимость ряда (1) определяется сходимостью ряда: $\sum_{n=2}^{\infty}{\frac {1} {n\ln(n)}}$, который расходится по интегральному признаку сходимости, поэтому расходится ряд (1), а следовательно: $\pi(f\cap g,2,n)=\infty$ ч.т.д.

Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Небольшое пояснение -
$P(g,2,n) \sim \frac {g^{-1}(n)} {n}$, где $g^{-1}(n)$ - обратная функция.
Указанная асимптотика получена в теме "Плотность числовой последовательности" topic65231.html.
$P(f,A,x) \sim \frac {f^{-1}(x} {x}. (7.1)$

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #702382 писал(а):

Так как плотность простых чисел среди нечетных чисел, образованных последовательностью неприводимых над кольцом целых чисел многочленов 3-его типа с взаимнопростыми кожффициентами, больше, то выполняется неравенство:
$P(f \cap g/g,2,n)>1/\ln(n),$

Откуда взялось это неравенство? Где доказательство?

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #703389 писал(а):

vicvolf в сообщении #702382 писал(а):

Так как плотность простых чисел среди нечетных чисел, образованных последовательностью неприводимых над кольцом целых чисел многочленов 3-его типа с взаимнопростыми кожффициентами, больше, то выполняется неравенство:
$P(f \cap g/g,2,n)>1/\ln(n),$

Откуда взялось это неравенство? Где доказательство?

Пусть f(n) последовательность простых чисел в натуральном ряде на интервале [2,n). Тогда асимптотическая плотность простых чисел в натуральном ряду равна:
$P(f,2,n)\sim1/\ln(n).(1)$.
В теме topic68402.html я показал, что плотность последовательности, как доля одной последовательности в другой является конечной вероятностной мерой, а следовательно здесь применимы формулы сходные с теорией вероятности. Например, выражение (1) можно трактовать, как бузусловную вероятность, что n в натуральном ряду является простым числом.
Если $g(n)=kn+l,(k,l)=1$, то асимптотическая плотность простых чисел в данной арифметической прогрессии определяется по формуле:
$P(f \cap g/g,2,n)=k/\varphi(k) \ln(n).(2)$
Формулу (2) можно трактовать, как условную вероятность того, что число n, принадлежащее данной арифметической прогрессии, является простым.
В частности пусть $g(n)=2n+1$ (последовательность нечетных чисел, которая является многочленом 3 типа). Тогда на основании формулы (2) асимптотическая плотность простых чисел в последовательности нечетных чисел равна:
$P(f \cap g/g,2,n)=2/\varphi(2) \ln(n)=2/\ln(n).(3)$
Формулу (3) можно трактовать, как условная вероятность того, что нечетное число n является простым увеличилась в два раза по сравнению с безусловной вероятностью, что n в натуральном ряду является простым числом (на основании сравнения формул (1) и (3)).
Сейчас я не ставлю перед собой задачу определить асимптотическую плотность простых чисел в последоватедьности многочленов 3-его типа g(n)в общем случае $P(f \cap g/g,2,n)$. Меня интересует только оценка.
Условная вероятность, что число n является простым, если известно, что n является нечетным (многочлены 3-его типа принимают только нечетные значения) будет больше безуслолвной вероятности, полученной по формуле (1), в случае если известно, что многочлены неприводимые над кольцом целых чисел и коэффициенты многочлена являются взаимнопростыми числами (аналогично 3).
Поэтому справедлива оценка:
$P(f \cap g/g,2,n)>P(f,2,n) \sim 1/ \ln(n)$.(4)
Хочу обратить внимание, что (4) - это асимптотическая оценка, выполняющаяся для достаточно больших n.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #703530 писал(а):

Например, выражение (1) можно трактовать, как бузусловную вероятность, что n в натуральном ряду является простым числом.

К доказательству заявленного утверждения эти теоретико-вероятностные соображения не имеет никакого отношения. Поскольку дальнейшие аргументы такого же рода, не вижу смысла в дальнейшем обсуждении. Доказательства у Вас нет.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #703556 писал(а):

vicvolf в сообщении #703530 писал(а):

Например, выражение (1) можно трактовать, как бузусловную вероятность, что n в натуральном ряду является простым числом.

К доказательству заявленного утверждения эти теоретико-вероятностные соображения не имеет никакого отношения. Поскольку дальнейшие аргументы такого же рода, не вижу смысла в дальнейшем обсуждении. Доказательства у Вас нет.

Что значит доказательства нет? Вы усомнились только в одном его утверждении, которое элементарно. Извините, ну что здесь непонятного! У нас есть только одно простое число -2, остальные простые числа нечетные, поэтому вероятность. что натуральное число n является простым при условии, что оно нечетно, больше вероятности того, что натуральное n является простым в случае, если оно может быть четным и нечетным.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #703780 писал(а):

Вы усомнились только в одном его утверждении, которое элементарно.

Да нет, всё гораздо хуже. Напишите, что Вы понимаете под $P(f,2,n)$. Что это есть такое по определению? Только напишите очень подробно.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #703781 писал(а):

vicvolf в сообщении #703780 писал(а):

Вы усомнились только в одном его утверждении, которое элементарно.

Да нет, всё гораздо хуже. Напишите, что Вы понимаете под $P(f,2,n)$. Что это есть такое по определению? Только напишите очень подробно.

Плотность последовательности f(n) на интервале [2,n) натурального ряда. А подробнее topic68402.html

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #703785 писал(а):

Плотность последовательности f(n) на интервале [2,n).

Вот яркий пример мутной и к тому же неграмотной формулировки. Неграмотность в том, что одна и та же буква $n$ обозначает разные вещи: в выражении $f(n)$ это аргумент функции $f$, а в выражении $[2,n)$ это правый конец интервала. (Почему, кстати, Вы не используете здесь $\TeX$ и пишите просто f(n)?) Далее, что такое плотность на интервале? Дайте подробное и строгое определение.

-- Вс мар 31, 2013 13:44:33 --

vicvolf в сообщении #703785 писал(а):

А подробнее topic68402.html

Пишите всё здесь заново. Будем учиться грамотной записи.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #703789 писал(а):

vicvolf в сообщении #703785 писал(а):

Плотность последовательности f(n) на интервале [2,n).

Вот яркий пример мутной и к тому же неграмотной формулировки. Неграмотность в том, что одна и та же буква $n$ обозначает разные вещи: в выражении $f(n)$ это аргумент функции $f$, а в выражении $[2,n)$ это правый конец интервала. (Почему, кстати, Вы не используете здесь $\TeX$ и пишите просто f(n)?)

Согласен. Плотность последовательности $f(n)$ на интервале [$2,x$), где х -натуральноное число.

Цитата:

Далее, что такое плотность на интервале? Дайте подробное и строгое определение.

Пусть для некоторой такой последовательности $f(n)$ на концах интервала выполняется: $a=f(A),b=f(B)$. Обозначим количество чисел в последовательности $f(n)$ на интервале [$A,B$) - $\pi(f,A,B)$.
Тогда рассмотрим плотность, как долю членов последовательности $f(n)$ в последовательности натурального ряда на интервале [$A,B$):
Плотноcть последовательности чисел $f(n)$ в последовательности натурального ряда - $P(f,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {B-A}.$

[AV_77]

Рассмотрим многочлен $f(n) = n^2+n+3$. В последовательности $\{ f(n) \}$ на отрезке $[1, 25000]$ простых содержится почти в 2 раза меньше, чем в отрезке $[1, 25000]$. И можно проследить, что это отношение постепенно уменьшается от $0.55$ для отрезка $[1, 1000]$ до $0.503$ для отрезка $[1, 25000]$. Если есть желание, то посмотрите что будет дальше.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #703806 писал(а):

Пусть для некоторой такой последовательности $f(n)$ на концах интервала выполняется: $a=f(A),b=f(B)$.

Не понимаю, зачем это написано, ну да ладно. Итак, символ $P(f,2,x)$ обозначает отношение $\pi(f,2,x)/(x-2)$, где $\pi(f,2,x)$ есть число членов последовательности $f(n)$, попавших в интервал $[2,x)$. Я правильно понял?

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #703810 писал(а):

vicvolf в сообщении #703806 писал(а):

Пусть для некоторой такой последовательности $f(n)$ на концах интервала выполняется: $a=f(A),b=f(B)$.

Не понимаю, зачем это написано, ну да ладно. Итак, символ $P(f,2,x)$ обозначает отношение $\pi(f,2,x)/(x-2)$, где $\pi(f,2,x)$ есть число членов последовательности $f(n)$, попавших в интервал $[2,x)$. Я правильно понял?

Да.

[nnosipov]

Хорошо. Пусть теперь у нас есть две последовательности --- $f(n)$ и $g(n)$. Каков смысл обозначения $P(f \cap g,2,x)$? Опять напишите подробно.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #703812 писал(а):

Хорошо. Пусть теперь у нас есть две последовательности --- $f(n)$ и $g(n)$. Каков смысл обозначения $P(f \cap g,2,x)$? Опять напишите подробно.

$P(f \cap g,2,x)$ -плотность чисел, принадлежащим обеим последовательностям на интервале натурального ряда [$2,x$).