Да, этой подсказки действительно недостаточно. В том решении, которое я знаю, ещё используется теорема Бэра. Впрочем, можно и без неё, "на пальцах".
1. Докажите первое утверждение 1, сформулированное выше. Это несложно. (Там h будет зависеть от t и от
![$\varepsilon$ $\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/e/9ae7733dac2b7b4470696ed36239b67682.png)
,
![$h=h(t,\varepsilon)$ $h=h(t,\varepsilon)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/9/d7966f6183694adf526c338bd1aac60f82.png)
).
2. Теперь нам бы хотелось видоизменить утверждение 1 следующим образом: надо как-то заменить отрезок
![$[t,t+h]$ $[t,t+h]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/6/916d4cc91589793cd5549fd026fe5e6382.png)
на интервал, содержащий точку
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
. Если бы мы могли предъявить хотя бы одну точку
![$t_0$ $t_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/f/6df6ddacc987bd7a5070beafef47fcc182.png)
такую, что для любого
![$\varepsilon>0$ $\varepsilon>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/5/155142dbd92bd0eebef1ec0d4453145582.png)
существует окрестность
![$U(t_0,\varepsilon)$ $U(t_0,\varepsilon)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/e/5ceae64128f0a44aee8890cd438b88ac82.png)
точки
![$t_0$ $t_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/f/6df6ddacc987bd7a5070beafef47fcc182.png)
, такая что
из
![$x(t)=0$ $x(t)=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/e/88e32b8df5f9360a7c6b15cfa5c1316982.png)
вне
![$U(t_0,\varepsilon)$ $U(t_0,\varepsilon)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/e/5ceae64128f0a44aee8890cd438b88ac82.png)
следует
![$d(x,0)<\varepsilon$ $d(x,0)<\varepsilon$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/d/c5d1b820c2294413864f322376fecfff82.png)
,
то мы бы сразу выписали последовательность функций
![$x_n(t)$ $x_n(t)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/7/39739a70e717926d09650d51a438dd6482.png)
, сходящихся к нулю по метрике, но не поточечно.
Предположив, что мы уже нашли точку
![$t_0$ $t_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/f/6df6ddacc987bd7a5070beafef47fcc182.png)
, проделайте это (предъявите искомую последовательность
![$x_n(t)$ $x_n(t)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/7/39739a70e717926d09650d51a438dd6482.png)
).
3. Дело за малым - найти
![$t_0$ $t_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/f/6df6ddacc987bd7a5070beafef47fcc182.png)
. Назовём точку
![$s$ $s$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f9bad7347b91ceebebd3ad7e6f6f2d182.png)
"хорошей для
![$\varepsilon$ $\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/e/9ae7733dac2b7b4470696ed36239b67682.png)
", если для фиксированного
![$\varepsilon$ $\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/e/9ae7733dac2b7b4470696ed36239b67682.png)
она обладает свойством: функции
![$x(t)$ $x(t)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/2/f92a2fed82f1dacdec6e4d5a05fbbf9782.png)
, обращающиеся в ноль вне некоторой окрестности точки
![$s$ $s$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f9bad7347b91ceebebd3ad7e6f6f2d182.png)
, имеют метрику
![$d(x(t),0)<\varepsilon$ $d(x(t),0)<\varepsilon$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/0/820deb2623d2e819d455443f0ea3e4f282.png)
.
Точку, которая является "хорошей" для бесконечно малой последовательности эпсилонов, назовём "совсем хорошей". Искомая точка
![$t_0$ $t_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/f/6df6ddacc987bd7a5070beafef47fcc182.png)
- как раз и есть "совсем хорошая".
Обозначим множество точек, "хороших для
![$\varepsilon$ $\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/e/9ae7733dac2b7b4470696ed36239b67682.png)
", через
![$G_\varepsilon$ $G_\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/5/1f5a0fb4e1d9e84b5dd6d6e8b54ebd7d82.png)
.
Пользуясь уже доказанным пунктом 1 из этого сообщения, для любого фиксированного
![$\varepsilon$ $\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/e/9ae7733dac2b7b4470696ed36239b67682.png)
предъявите множество
![$G_\varepsilon$ $G_\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/5/1f5a0fb4e1d9e84b5dd6d6e8b54ebd7d82.png)
. Докажите, что это будет почти весь отрезок.
4. Последний шаг: рассмотрите пересечение
![$\cap_{n=1}^\infty G_{1/n}$ $\cap_{n=1}^\infty G_{1/n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/8/7d81bb7ad4831ac9464c6246d279ce0f82.png)
. Докажите, что оно не пусто. Точка, лежащая в этом пересечении, и будет нужной нам "совсем хорошей".