2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Поточечная сходимость в С[0,1] не экв. сходимости по метрике
Сообщение06.06.2007, 22:46 


02/06/07
5
Подскажите, пожалуйста, как доказать, что поточечная сходимость в пространстве непрерывных функций не эквивалентна сходимости ни по какой метрике.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.06.2007, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/03/06
648
Marista

В пространстве непрерывных функций сходимость по метрике эквивалентна равномерной сходимости, из которой следует поточечная, но не наоборот (Колмогоров, Фомин стр. 197).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.06.2007, 08:44 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
reader_st
Нет, так не годится. Вы всего лишь докажете, что поточечная сходимость не задаётся равномерной метрикой. Но вдруг найдётся какая-то другая метрика, при помощи которой она задаётся?

Marista
Это классическая, но не самая простая задача. Приведу вам подсказку из одного учебника (Хелемский).
1. Пусть сходимость задаётся метрикой $d$. Докажите, что для любой точки $t\in(0,1)$ и для любого $\varepsilon>0$ найдётся такое $h>0$, что $d(x(t),0)<\varepsilon$ как только $x(t)=0$ вне отрезка $[t,t+h]$. То есть, неважно, как ведёт себя функция над точкой $t$, лишь бы она была равна нулю вне маленького отрезка, и тогда функция будет близка к нулю по метрике.
2. Используя первый пункт, постройте последовательность функций, сходящихся к нулю по метрике, но не поточечно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.06.2007, 22:54 


02/06/07
5
Кажется, этой подсказки мне недостаточно. Если можно, расскажите, пожалуйста, подробнее.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.06.2007, 02:12 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Да, этой подсказки действительно недостаточно. В том решении, которое я знаю, ещё используется теорема Бэра. Впрочем, можно и без неё, "на пальцах".

1. Докажите первое утверждение 1, сформулированное выше. Это несложно. (Там h будет зависеть от t и от $\varepsilon$, $h=h(t,\varepsilon)$).

2. Теперь нам бы хотелось видоизменить утверждение 1 следующим образом: надо как-то заменить отрезок $[t,t+h]$ на интервал, содержащий точку $t$. Если бы мы могли предъявить хотя бы одну точку $t_0$ такую, что для любого $\varepsilon>0$ существует окрестность $U(t_0,\varepsilon)$ точки $t_0$, такая что
из $x(t)=0$ вне $U(t_0,\varepsilon)$ следует $d(x,0)<\varepsilon$,
то мы бы сразу выписали последовательность функций $x_n(t)$, сходящихся к нулю по метрике, но не поточечно.
Предположив, что мы уже нашли точку $t_0$, проделайте это (предъявите искомую последовательность $x_n(t)$).

3. Дело за малым - найти $t_0$. Назовём точку $s$ "хорошей для $\varepsilon$", если для фиксированного $\varepsilon$ она обладает свойством: функции $x(t)$, обращающиеся в ноль вне некоторой окрестности точки $s$, имеют метрику $d(x(t),0)<\varepsilon$.
Точку, которая является "хорошей" для бесконечно малой последовательности эпсилонов, назовём "совсем хорошей". Искомая точка $t_0$ - как раз и есть "совсем хорошая".

Обозначим множество точек, "хороших для $\varepsilon$", через $G_\varepsilon$.
Пользуясь уже доказанным пунктом 1 из этого сообщения, для любого фиксированного $\varepsilon$ предъявите множество $G_\varepsilon$. Докажите, что это будет почти весь отрезок.

4. Последний шаг: рассмотрите пересечение $\cap_{n=1}^\infty G_{1/n}$. Докажите, что оно не пусто. Точка, лежащая в этом пересечении, и будет нужной нам "совсем хорошей".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.06.2007, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3572
По-моему, можно и попроще, прямо по подсказке
Согласно утв. 1, найдётся функция $x_1(t)$, для которой $d(x_1(t),0)<1$, и которая удовлетворяет условию $x_1(t)\geqslant1$ на некотором отрезочке $[t_1+\frac {h_1}3;t_1+\frac{2h_1}3]$. Опять же, согласно утв. 1, найдётся функция $x_2(t)$, для которой $d(x_2(t),0)<\frac12$, и которая удовлетворяет условию $x_2(t)\geqslant1$ на некотором отрезочке $[t_2+\frac {h_2}3;t_2+\frac{2h_2}3]\subset[t_1+\frac {h_1}3;t_1+\frac{2h_1}3]$. Отсюда до полного решения осталось сделать всего один шажок.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.06.2007, 23:03 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Marista писал(а):
Поточечная сходимость в С[0,1] и сходимость по метрике.
Подскажите, пожалуйста, как доказать, что поточечная сходимость в пространстве непрерывных функций не эквивалентна сходимости ни по какой метрике.

1) Поточечная сходимость в С[0,1] эквивалентна равномерной сходимости, которая задается стандартной нормой пространства С[0,1]. Поэтому, вероятно, имелось в виду пространство непрерывных функций на $(0,1)$ или на на $(0,1]$.

2)
Dan_Te писал(а):
1. Пусть сходимость задаётся метрикой $d$. Докажите, что для любой точки $t\in(0,1)$ и для любого $\varepsilon>0$ найдётся такое $h>0$, что $d(x(t),0)<\varepsilon$ как только $x(t)=0$ вне отрезка $[t,t+h]$. То есть, неважно, как ведёт себя функция над точкой $t$, лишь бы она была равна нулю вне маленького отрезка, и тогда функция будет близка к нулю по метрике.

Я, наверное, чего-то не понял. Объясните пожалуйста.
Пусть $d(f,g)=\max\limits_{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|$ - обычная равномерная метрика на $C[0,1]$. Для этой метрики очень даже важно, как функция ведет себя над точкой. В частности, Ваше утверждение 1. неверно.
Можно дать точную цитату из Хелемского?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.06.2007, 05:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3572
neo66 писал(а):
Поточечная сходимость в С[0,1] эквивалентна равномерной сходимости

:shock: Вы считаете, что последовательность функций $$f_n(x)=x^n(1-x^n)$$ сходится к $f(x)=0$ равномерно на $[0;1]$? :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.06.2007, 11:01 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Я уже осознал свою ошибку :oops:.
А что касательно моего второго вопроса?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.06.2007, 03:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3572
neo66 писал(а):
А что касательно моего второго вопроса?

Утверждение 1 надо читать так: пусть поточечная сходимость в $C[0;1]$ задаётся...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.06.2007, 18:51 
Заслуженный участник


14/01/07
787
RIP писал(а):
По-моему, можно и попроще, прямо по подсказке
Согласно утв. 1, найдётся функция $x_1(t)$, для которой $d(x_1(t),0)<1$, и которая удовлетворяет условию $x_1(t)\geqslant1$ на некотором отрезочке $[t_1+\frac {h_1}3;t_1+\frac{2h_1}3]$. Опять же, согласно утв. 1, найдётся функция $x_2(t)$, для которой $d(x_2(t),0)<\frac12$, и которая удовлетворяет условию $x_2(t)\geqslant1$ на некотором отрезочке $[t_2+\frac {h_2}3;t_2+\frac{2h_2}3]\subset[t_1+\frac {h_1}3;t_1+\frac{2h_1}3]$. Отсюда до полного решения осталось сделать всего один шажок.

C пресловутым утв. 1 разобрался. :) И наброском доказательства Dan_Te тоже. Но вот сделать "всего один шажок" не получается. :cry:

Кстати, поточечная сходимость при условии ограниченности, задается слабой топологией на пространстве $C[0,1]$. Интересно, существует ли топология на $C[0,1]$, задающая поточечную сходимость, без вышеназванного условия?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.06.2007, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
последовательность вложенных отрезков всегда имеет общую точку, в которой выполнятся одновременно все неравенства, наложенные на последовательность функций.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.06.2007, 19:12 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Мерси, теперь понятно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.06.2007, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15779
Новомосковск
neo66 писал(а):
Кстати, поточечная сходимость при условии ограниченности, задается слабой топологией на пространстве $C[0,1]$.


Имеется в виду ограниченность последовательности по норме?
Слабая топология на $C([0,1])$ - это наименьшая топология, в которой непрерывны все линейные функционалы на $C([0,1])$, непрерывные по обычной норме?

Нельзя ли подробнее? Что-то я не соображу, почему так.

neo66 писал(а):
Интересно, существует ли топология на $C([0,1])$, задающая поточечную сходимость, без вышеназванного условия?


Поточечная сходимость последовательности $\{g_n:n\in\mathbb N\}\subset C([0,1])$, к некоторой функции $g\in C([0,1])$ означает, что для каждого $\varepsilon>0$ и для каждого конечного множества $A\subset[0,1]$ найдётся такой номер $n_{\varepsilon,A}\in\mathbb N$, что для всех $n>n_{\varepsilon,A}$ и $x\in A$ выполняется неравенство $|g_nx-gx|<\varepsilon$.
Поэтому искомая топология определяется окрестностями вида
$$V_{\varepsilon,A}g_0=\{g\in C([0,1]):|gx-g_0x|<\varepsilon\text{ для всех }x\in A\}$$
для всевозможных $g_0\in C([0,1])$, $\varepsilon>0$ и конечных $A\subset[0,1]$. Эта топология называется топологией поточечной сходимости.

Рассмотрим всевозможные функции $g\colon[0,1]\to\mathbb R$ без каких-либо ограничений (в частности, без требования непрерывности). Множество всех таких функций обозначается $\mathbb R^{[0,1]}$. Как множество это есть произведение континуума прямых. Множества вида
$$V_{\varepsilon,A}g_0=\{g\in\mathbb R^{[0,1]}:|gx-g_0x|<\varepsilon\text{ для всех }x\in A\}$$
(для всевозможных $g_0\in\mathbb R^{[0,1]}$, $\varepsilon>0$ и конечных $A\subset[0,1]$) определяют на $\mathbb R^{[0,1]}$ топологию тихоновского произведения. При этом $C([0,1])$ с топологией поточечной сходимости является всюду плотным подпространством пространства $\mathbb R^{[0,1]}$.

Однако далеко не каждая функция из $\mathbb R^{[0,1]}$ является поточечным пределом последовательности функций из $C([0,1])$, то есть, непрерывных (я где-то встречал теорему, характеризующую такие функции, но не помню формулировку).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.06.2007, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
Someone писал(а):
Однако далеко не каждая функция из $\mathbb R^{[0,1]}$ является поточечным пределом последовательности функций из $C([0,1])$, то есть, непрерывных (я где-то встречал теорему, характеризующую такие функции, но не помню формулировку).
Функции, являющиеся поточечными пределами непрерывных функций образуют так называемый первый класс в классификации Бэра, нулевой класс Бэра состоит из непрерывных функций. Про эти классы есть пара теорем Лебега. В частности, функция f на отрезке является функцией не выше первого класса Бэра, тогда и только тогда. когда все множества вида f<a , f>a имеют топологический тип F-сигма.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group