Логика формальная и математическая. Предмет, основные части

[eugrita]

Cогласно классификации логики изложенной в Википедии
Математическая логика включает
1.1) Алгебра логики 1.2)Логика высказываний 1.3 )Теория доказательств 1.4) Теория моделей
--------------------------------------------------------------------------
Формальная логика - четкого перечня включенных разделов в Википедии нет ,но по данным другого сайта она включает
2.1)Логика высказываний (prepositional calculus)
2.2)Логика предикатов (predicate calculus)
2.3)Логика нечетких множеств и отношений (fuzzi calculus)
2.4)Логика реляционная (relation calculus)
------------------------------------------------------------------------------------------
хотелось бы как можно точнее уяснить классификацию направлений логики и основных понятий
каждой разновидности этой науки и разобраться в терминологии.
1)очевидно, что обязательная часть есть логика высказываний, хотя почему-то проводится различие между булевой алгеброй и логикой выска-зываний.Если считать что логика высказываний занимается переводом
фраз естеств языка в матем форму записи - булеву алгебру то еще понятно.
(но тогда к какому разделу логики относить упражнения типа "составить логическую форму данного предложения на естественном языка..."
Наверное булева алгебра и логика высказываний несет основной груз применений.Именно там введены понятия логических базисов ИЛИ -НЕ и И-НЕ являющиеся основой аппаратной реализации логич.функций. Именно там введены ДНФ, СДНФ являющиеся основами оптимального конструирования
Бросается в глаза отличие: в формальной логике есть раздел
2.1)логика предикатов.
А что в математической разве его нет??? на сайте gendocs.ru ясно сказано что логика предикатов часть матем.логики. В самом деле - добавили пару кванторов, записали законы де Моргана в форме для предикатов и получили практически математическое расширение алгебры Буля.
Отдельные вопросы по поводу вывода (или теории доказательств)
Смотрим логику высказываний - там есть т.н. .формулы Хрисиппа например
все M суть Pвсе M суть S -> некоторые S суть P правда их всего 4 а не 19
Сразу возникает вопрос а все эти силлогизмы (19 видов) относятся к чему -к формальной или к матем логике? Или только мат.логика несет ответственность за представление силлогизма логической формулой, диаграммой Венна. А связь с естественным языком по прежнему-компетенция формальной логики?
Далее еще сложнее -есть термин атрибутивная логика
ее предмет -рассмотрение понятия с т.зрения содержания. Именно здесь проявляются ее схемы деления понятий на Общие-частные .... родовые-видовые , части-целого...
Опять таки вопрос а в мат.логике такого раздела нет? Нельзя ли математич. символикой описать это самое деление понятий?
Наверное на это ответит лучше реляционная логика - именно там деление понятий удобно описывать.
Теперь по поводу применений.
хотелось бы понять где применение логики предикатов? .,
мне кажется что только в экспертных системах понимающих язык запросов такого типа .
Сравнимы или несравнимы меж собой язык логики предикатов и SQL-запросов
Можно ли любую предикатную формулу выразить на SQL или наооборот?
Если да, не правильнее было бы включить реляционную алгебру в раздел мат.логики?

[Sonic86]

eugrita в сообщении #693107 писал(а):

Математическая логика включает
1.1) Алгебра логики 1.2)Логика высказываний 1.3 )Теория доказательств 1.4) Теория моделей

Я не знаю, чем 1.1) и 1.2) отличаются. Немного странная классификация. Например, куда относится модальная логика? Как в этой классификации группируются логические исчисления?

eugrita в сообщении #693107 писал(а):

--------------------------------------------------------------------------
Формальная логика - четкого перечня включенных разделов в Википедии нет ,но по данным другого сайта она включает
2.1)Логика высказываний (prepositional calculus)
2.2)Логика предикатов (predicate calculus)
2.3)Логика нечетких множеств и отношений (fuzzi calculus)
2.4)Логика реляционная (relation calculus)
------------------------------------------------------------------------------------------
хотелось бы как можно точнее уяснить классификацию направлений логики и основных понятий

Это не классификация. Т.е. как бы выразится правильно? 2.3., 2.4. - это, условно говоря, прикладная логика (может даже прикладная теория множеств) - в ней не изобретаются новые исчисления, а строятся некоторые конструкции из старых. Это классификация текстов, связанных с логикой, а не классификация логики. Или классификация аспектов (множество аспектов становится здесь зависимым от реального мира)
2.1. и 2.2. включают в себя несколько логических исчислений, но не все. Где модальная логика? А еще есть релевантная логика, конструктивизм, интуиционизм.
Начинать изучать матлогику можно с учебников и монографий. Литературу можете найти с помощью поиска литературы. Могу сразу сказать по мере увеличения сложности Игошина, Клини, Мендельсона

eugrita в сообщении #693107 писал(а):

1)очевидно, что обязательная часть есть логика высказываний, хотя почему-то проводится различие между булевой алгеброй и логикой высказываний.Если считать что логика высказываний занимается переводом фраз естеств языка в матем форму записи - булеву алгебру то еще понятно.
(но тогда к какому разделу логики относить упражнения типа "составить логическую форму данного предложения на естественном языка..."
Наверное булева алгебра и логика высказываний несет основной груз применений.Именно там введены понятия логических базисов ИЛИ -НЕ и И-НЕ являющиеся основой аппаратной реализации логич.функций. Именно там введены ДНФ, СДНФ являющиеся основами оптимального конструирования

Похоже на правду. Выделить логическую форму высказывания - это точно не матлогика.

eugrita в сообщении #693107 писал(а):

Бросается в глаза отличие: в формальной логике есть раздел
2.1)логика предикатов.
А что в математической разве его нет??? на сайте gendocs.ru ясно сказано что логика предикатов часть матем.логики.

Конечно, исчисление предикатов, алгебра предикатов, исчисление предикатов с равенством и т.п. - это все есть в матлогике.

eugrita в сообщении #693107 писал(а):

В самом деле - добавили пару кванторов, записали законы де Моргана в форме для предикатов и получили практически математическое расширение алгебры Буля.

Ну Вы упрощаете. Добавляется правило вывода $\operatorname{Gen}$, есть правило $\mathcal{C}$. Подробнее смотрите в Мендельсоне.

eugrita в сообщении #693107 писал(а):

Смотрим логику высказываний - там есть т.н. .формулы Хрисиппа например
все M суть P все M суть S -> некоторые S суть P правда их всего 4 а не 19
Сразу возникает вопрос а все эти силлогизмы (19 видов) относятся к чему -к формальной или к матем логике? Или только мат.логика несет ответственность за представление силлогизма логической формулой, диаграммой Венна. А связь с естественным языком по прежнему-компетенция формальной логики?

(Оффтоп)

А ТеХом слабО формулы набрать?

Приведенные формулы - это из логики Аристотеля. Вроде их можно точно выразить на языке исчисления предикатов. Связь с естественным языком всегда не относится к матлогике (ну или: она ближе к тому, что Вы называете формальной логикой).

eugrita в сообщении #693107 писал(а):

Далее еще сложнее -есть термин атрибутивная логика

не знаю такого. Надо погуглить.

eugrita в сообщении #693107 писал(а):

ее предмет -рассмотрение понятия с т.зрения содержания. Именно здесь проявляются ее схемы деления понятий на Общие-частные .... родовые-видовые , части-целого...
Опять таки вопрос а в мат.логике такого раздела нет? Нельзя ли математич. символикой описать это самое деление понятий?

Не знаю, точно ли, но общие и частные понятия можно описывать простой теорией множеств, а значит можно описывать в исчислении предикатов.

eugrita в сообщении #693107 писал(а):

Наверное на это ответит лучше реляционная логика - именно там деление понятий удобно описывать.

Я могу ошибаться, но, думаю, что не стоит сравнивать реляционную логику и исчисление предикатов - это разнокачественные логики, неравноценные даже. Можно ли говорить о полноте реляционной логики?

eugrita в сообщении #693107 писал(а):

хотелось бы понять где применение логики предикатов?

Непонятно, применение где - на практике? Запись математических утверждений (а то и предложений на естественном языке) языком исчисления предикатов Вас в качестве применения не устраивает?

eugrita в сообщении #693107 писал(а):

Сравнимы или несравнимы меж собой язык логики предикатов и SQL-запросов
Можно ли любую предикатную формулу выразить на SQL или наооборот?

Эээээ, нет конечно. Клаузе where соответствует предикат, а что соответствует клаузе select? Кроме того, содержание таблиц в БД нестатично.

eugrita в сообщении #693107 писал(а):

Если да, не правильнее было бы включить реляционную алгебру в раздел мат.логики?

Реляционная алгебра - это прежде всего достаточно большой и сложный раздел, в нем объекты исследования - отношения, ключи, функциональные зависимости отношений, нормальные формы - в матлогике это нигде не изучается. Это прикладная логика. Он именно с БД связан больше всего.
Это как обычную (не математическую) статистику не смешивают с матстатистикой.

[eugrita]

извините, по 1 замечанию -так написано в википедии
по вашему 2 замечанию насчет модальной логики не готов ответить.
Но даже если вы и правы куда смотрели тогда редакторы сайтов Википедии
и gendocs - это очень приличные сайты

[Sonic86]

(Оффтоп)

eugrita в сообщении #693130 писал(а):

по 1 замечанию

Не понимаю, на форуме есть механизм цитирования для указывания текста.

eugrita в сообщении #693130 писал(а):

Но даже если вы и правы куда смотрели тогда редакторы сайтов Википедии
и gendocs - это очень приличные сайты

Вы бы хоть ссылки на статьи привели. Без ссылок можно только сказать, что теорию учат по книгам и строят в исследованиях, а Википедию никто не контролирует.

[eugrita]

отвечаю
1)классификация матем.логики в Википедии
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E0%F2% ... 3%E8%EA%E0
или просто поиском по запросу "математическая логика"
2)классификация формальной логики -материалы Омского ун-та
http://fkn.univer.omsk.xn--sukursi-sb7c ... ogika1.doc
3)Слава богу, нашел еще одну классификацию не противоречащую здравому смыслу на учебном сайте
http://www.klgtu.ru/students/literature/matlog_met.pdf
автор выделяет 3 осн раздела матем.логики:
логику высказываний, логику предикатов и реляционную логику.
(что соответствует и моему взгляду).
Хотелось бы еще с нечеткой логикой. Что, разве проф.Лотфи Заде введший
это не математик???

[Sonic86]

eugrita в сообщении #693163 писал(а):

1)классификация матем.логики в Википедии
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E0%F2% ... 3%E8%EA%E0

Там в секции "Разделы" просто приведены ссылки.

eugrita в сообщении #693163 писал(а):

2)классификация формальной логики -материалы Омского ун-та
http://fkn.univer.omsk.xn--sukursi-sb7c ... ogika1.doc

ссылка битая

eugrita в сообщении #693163 писал(а):

3)Слава богу, нашел еще одну классификацию не противоречащую здравому смыслу на учебном сайте
http://www.klgtu.ru/students/literature/matlog_met.pdf
автор выделяет 3 осн раздела матем.логики:
логику высказываний, логику предикатов и реляционную логику.

Читатель этого поста должен классификацию искать полным прочтением книжки, да?
Я в содержании методички вижу главу "Неклассическая логика". Интересно, в какой раздел она попадает?

В любом случае, понятно, что классификаций может быть несколько и без указания принципа классификации последняя носит несколько неосмысленный характер.

eugrita в сообщении #693163 писал(а):

Хотелось бы еще с нечеткой логикой. Что, разве проф.Лотфи Заде введший
это не математик???

Ну математик (возможно, прикладной математик), и что?

Вообще, вопрос темы был вроде о соотношении математической логики и формальной (это вроде та, что из философии большей частью произошла), а не о классификации.

[Xaositect]

Во-первых, в википедию по этому поводу можно даже не смотреть.
Во-вторых, иногда путаются разные классификации. Мат. логика делится на две большие области - теория доказательств (чисто синтаксический взгляд) и теория моделей (семантика). Среди всех формальных теорий выделяются полезные и/или интересные теории и классы теорий: логика высказываний, логика предикатов, логика секвенций (все три в классическом и различных интуиционистских вариантах), различного вида модальные логики (среди них темпоральные логики, мультиагентные логики, логики доказательств), различные арифметики, теории типов, инфинитарные логики. Для каждой из них можно развивать теорию доказательств и теорию моделей. Например, теория моделей для логики высказываний изучает классическую алгебру логики и многозначные варианты, в числе которых пропозициональный фрагмент нечеткой логики.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Sonic86
SQL вообще к реляционной теории/логике отношения почти никакого не имеет. А реляционная логика от логики предикатов отличается крайне незначительно. H. Darwen, "An Introduction to Relational Database Theory"; C.J. Date, "An Introduction to Database Systems".

[Sonic86]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #693184 писал(а):

Sonic86
SQL вообще к реляционной теории/логике отношения почти никакого не имеет. А реляционная логика от логики предикатов отличается крайне незначительно. H. Darwen, "An Introduction to Relational Database Theory"; C.J. Date, "An Introduction to Database Systems".

Хм, спасибо, посмотрю.

[Xaositect]

(Оффтоп)

На самом деле, реляционная логика является все-таки расширением логики предикатов, так как в ней используются кроме понятия отношения еще понятия кортежа и некоторые операции над ними. Но любое утверждение логики отношений можно переписать в виде утверждения логики предикатов с равенством.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Xaositect
Дык, а отношение — это что? Подмножество декартова произведения, а его элементы и называются кортежами. У каждого предиката есть множество кортежей, которые при подстановке в предикат обращают его в истинное высказывание — это множество является отношением. Соединение отношений соответствует конъюнкции предикатов, проекция — навешиванию кванторов существования и т.д.

[Xaositect]

(Оффтоп)

Угу, именно так. Что не отменяет того, что в теории предикатов множеств, кортежей и декартовых произведений нет.

[Chifu]

Нечёткая логика наверное ближе к вычислениям, чем к логике. Хотя наверное нечёткая логика в язык запросов удобно вписывается. К вычислениям можно наверное также отнести интервальную логику.

[eugrita]

Цитата:

ссылка битая

вот вам не битая ссылка на перепечатку этих материалов Пономарева
http://www.pandia.ru/text/77/156/25211.php

-- Сб мар 09, 2013 20:03:19 --

Собственно одной из целей этого обсуждения для меня является еще
информация о каких-то теориях математической логики кроме логики высказываний и предикатов, которые можно популяризовать.
Т.е. объяснить их школьникам с помощью наглядных средств и не очень сложных формул. И соответственно с формулировкой заданий на это.
Я понял свою невежественность в таких направлениях как модальная и секвенциальная логика. Тем более мне хочется овладеть доступным языком их описания и арсеналом задач на это

[Xaositect]

Для школьников можно объяснить после логики высказываний линейную темпоральную логику LTL. Она отражает мышление в терминах дискретного времени и может использоваться при верификации программ. В википедии внизу есть ссылки на лекции http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_temporal_logic
К обычным операциям над высказываниями $\neg \varphi$, $\varphi\wedge\psi$, $\varphi\vee\psi$, $\varphi\to\psi$ добавляются еще операции $\bigcirc \varphi$ и $\varphi\mathcal{U}\psi$. Первая означает, что $\varphi$ будет верно в следующий момент времени ("завтра"). Вторая - что $\varphi$ будет верно по крайней мере пока не станет верным $\psi$. Из них можно выразить другие темпоральные операции: $\diamondsuit\varphi$ когда-нибудь будет $\varphi$, $\square\varphi$ - всегда $\varphi$ и прочие (напр. $\square\diamondsuit\varphi$ - $\varphi$ будет иногда случаться, как бы долго мы не ждали)
У нас есть последовательность моментов времени, в каждый из которых высказывание может быть истинным или ложным. Эта логика уже гораздо ближе к бытовой, можно составлять формулы, выражающие предложения типа "Если два дня будет идти снег, то дети будут лепить снеговиков" ($Snow \wedge \bigcirc Snow \to \diamondsuit Snowmen$), "после зимы всегда идет весна" ($\square(Winter\mathcal{U}Spring)$) и т.п.