Одноэлектронное поле Дирака: классическое или квантовое?

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #691714 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #691690 писал(а):

Да! Да! Да!

Мне не хотелось бы прибегать к этому, но извините, я требую, чтобы вы записали обсуждаемую вами систему уравнений.

Все уже написано до нас, смотрите формулы (1), (2) и (3) у Барута: https://docs.google.com/file/d/0B4Db4rF ... sp=sharing

[zask]

VladimirKalitvianski в сообщении #691845 писал(а):

Все уже написано до нас, смотрите формулы (1), (2) и (3) у Барута: https://docs.google.com/file/d/0B4Db4rF ... sp=sharing

Давайте не заниматься "сексом по-русски". Как в комнате собираются молодые люди и один из них рассказывает как в Польше он видел кино, как в Америке ...

[Munin]

VladimirKalitvianski в сообщении #691845 писал(а):

Все уже написано до нас, смотрите формулы (1), (2) и (3) у Барута: https://docs.google.com/file/d/0B4Db4rF ... sp=sharing

Хорошо, зафиксировали вашу версию. Но вопрос я задавал не вам. (Было бы смешно ещё увидеть версию myhand, чтобы окончательно убедиться, что вы все киваете друг другу, подразумевая разные вещи, но не буду настаивать.)

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #691848 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #691845 писал(а):

Все уже написано до нас, смотрите формулы (1), (2) и (3) у Барута: https://docs.google.com/file/d/0B4Db4rF ... sp=sharing

Хорошо, зафиксировали вашу версию. Но вопрос я задавал не вам. (Было бы смешно ещё увидеть версию myhand, чтобы окончательно убедиться, что вы все киваете друг другу, подразумевая разные вещи, но не буду настаивать.)

Я уверен, что если кто-то запишет ту же самую систему уравнений, Вы, Мунин, начнете придираться и настаивать, что она не такая, а обсуждения по существу вопроса не будет.

[myhand]

Munin в сообщении #691848 писал(а):

Было бы смешно ещё увидеть версию myhand, чтобы окончательно убедиться, что вы все киваете друг другу, подразумевая разные вещи, но не буду настаивать.)

"Свою версию" я озвучил выше. Она есть в любом букваре, где рассказывают про классические калибровочные поля.

Нет, увы, на вариант VladimirKalitvianski я не расчитывал (: По-умолчанию, предполагал что человек знаком с обсуждаемым предметом...

zask в сообщении #691843 писал(а):

Сергей, некорректно. Законное требование.

Пусть человек хоть сформулирует его "законно". Никаких новых уравнений человек не выдумывает, никакой стохастической электродинамики из могилы не выкапывает - попросите вы у него просто ссылку на книжку, если непонятно о чем речь...

[apv]

Munin в сообщении #691762 писал(а):

А почему? Кто нам мешает взять в качестве базисных функций не плоские волны, а ограниченные волновые пакеты?

Разьве если так.

SergeyGubanov в сообщении #691790 писал(а):

Если специально не позаботиться о нормировке $\psi$, то интеграл от $T_{00}$ не будет равен $\hbar \omega$.

Ткните мне, пожалуйта, сслыкой где-нибудь в Рубакове, а то я, мягко говоря, не врубаюсь почему так.

[Munin]

apv в сообщении #691931 писал(а):

Разьве если так.

Спасибо.

[zask]

VladimirKalitvianski

(Оффтоп)

VladimirKalitvianski в сообщении #691851 писал(а):

Я уверен, что если кто-то запишет ту же самую систему уравнений, Вы, Мунин, начнете придираться и настаивать, что она не такая, а обсуждения по существу вопроса не будет.

Некорректный стиль. Не нужно предполагать что-то и потом с этим начинать спорить. "Я ненавижу сплетни в виде версий".

myhand в сообщении #691862 писал(а):

Пусть человек хоть сформулирует его "законно". Никаких новых уравнений человек не выдумывает, никакой стохастической электродинамики из могилы не выкапывает - попросите вы у него просто ссылку на книжку, если непонятно о чем речь...

Если Muninу требуется опереться на выкладки, то требование не только законно, но и абсолютно необходимо.

[SergeyGubanov]

apv в сообщении #691931 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #691790 писал(а):

Если специально не позаботиться о нормировке $\psi$, то интеграл от $T_{00}$ не будет равен $\hbar \omega$.

Ткните мне, пожалуйта, сслыкой где-нибудь в Рубакове, а то я, мягко говоря, не врубаюсь почему так.

В плоском пространстве без электромагнитного поля классическая энергия поля Дирака равна:

$$E = \int i \hbar \bar\psi \gamma_0 \frac{\partial \psi}{\partial t} d_3 x.$$

Если поле в ящике, то $\psi= \exp(- i \omega t) u(x)$ поэтому

$$E = \hbar \omega \int \bar u(x) \gamma_0 u(x) d_3 x.$$

Для того чтобы выполнялось $E = \hbar \omega$ необходима нормировка:

$$\int \bar u(x) \gamma_0 u(x) d_3 x = 1.$$

Кстати, когда я тут недавно формулу нормировки выписывал, то забывал $\gamma_0$ в серединку вставить. Откуда в серединке берётся $\gamma_0$ описываю далее...

Далее аттракцион невиданной щедрости, выписываю систему уравнений Максвелла-Дирака:

$$S_A = - \frac{1}{16 \pi c} \int g^{\mu \nu} g^{\sigma \lambda} F_{\mu \sigma} F_{\nu \lambda} \sqrt{-g} \, d_4 x$$

$$F_{\mu \nu} = \partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}$$

$$S_{\psi} = \int \bar\psi \left( i \hbar \gamma^{\mu} \nabla_{\mu} \psi - m c \psi \right) \sqrt{-g} \, d_4 x$$

$$\nabla_{\mu} \psi = \partial_{\mu}\psi - \frac{i e}{c \hbar} A_{\mu}\psi + \Gamma_{\mu}\psi,$$

буквой $\Gamma_{\mu}$ обозначена спиновая связность Фока-Иваненко (она нам сейчас не понадобится).

Собственно, сама система уравнений Максвелла-Дирака:

$$i \hbar \gamma^{\mu}\nabla_{\mu} \psi = m c \, \psi$$

$$\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\nu} \left( \sqrt{-g} \, g^{\nu \alpha} g^{\mu \beta} F_{\alpha \beta}\right) = 4 \pi \, e \, \bar\psi \gamma^{\mu}\psi$$

Для вывода тензора энергии импульса классического поля Дирака надо использовать то, что $\gamma^{\mu} = e^{\mu}_a \gamma^a$, где $e^{\mu}_a$ - репер

$$g_{\mu \nu} e^{\mu}_a e^{\nu}_b = \eta_{a b}, \quad \eta_{a b} e_{\mu}^a e_{\nu}^b = g_{\mu \nu}$$

Используя уравнения движения, получаем:

$$T_{\mu \nu} = \frac{i c \hbar}{4}\left( \bar\psi\gamma_{\mu}\nabla_{\nu}\psi + \bar\psi\gamma_{\nu}\nabla_{\mu}\psi - \nabla_{\mu}\bar\psi\gamma_{\nu}\psi - \nabla_{\nu}\bar\psi\gamma_{\mu}\psi\right)$$

Энергия классического поля Дирака равна интегралу от $T_{00}$

$$E= \int T_{00} \sqrt{-g} \, d_3 x = i c \hbar \int \bar\psi \gamma_0 \nabla_0 \psi \sqrt{-g} \, d_3 x$$

Вот она $\gamma_{0}$ в серединке и появилась.

[SergeyGubanov]

myhand в сообщении #691712 писал(а):

Я бы, скорее, отнес это к начальным условиям. Задан некоторый интеграл от вашей "обобщенной координаты" в начальный момент времени $t=0$. В одном случае - получаете плотность вероятности, в другом - плотность тока.

Ага, до меня дошло!!! Действительно "нормировка" (с учётом $\gamma_0$ в серединке) относится именно к начальным данным, а конкретно задаёт полный электрический заряд, который с течением времени сохраняется. Таким образом, "нормировка" на единичку есть ни что иное как задание таких начальных данных когда полный электрический заряд классического поля Дирака равен одному $e$.

Теперь понятно... Получается, что для описания одного электрона (по крайней мере для отыскания спектра энергии) можно рассматривать поле Дирака как обычное классическое поле, однако необходимо руками задать начальные данные так чтоб полный электрический заряд этого классического поля был равен одному $e$!

[ИгорЪ]

zask

(Оффтоп)

Здесь пример, как некоторые требуют переписывания старых текстов в студии, любуясь своими погонами ЗУ, вместо того, чтобы разобраться в вопросе по существу.
Я поддерживаю VladimirKalitvianski
считаю всё и так предельно понятно
topic41319.html?hilit=%D0%B3%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BB%D0%B5%D0%B5%D0%B2%D0%B0%20%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%86%D0%B0&start=15

[zask]

(Оффтоп)

SergeyGubanov в сообщении #692007 писал(а):

Далее аттракцион невиданной щедрости, ...

Класс!

ИгорЪ

(Оффтоп)

Там на стороне Munin еще три тяжеловеса. Я, на вскидку, не почувствовал, что кто-то злоупотребляет погонами.

По существу. Вопрос не в том, что в случае, который обсуждается сейчас, и так все понятно. Вопрос в том, что требуется уточнение. Если человеку кажется, что требования напрасны, то можно привести формулы, а потом уже уличить в некорректном запросе.

[ИгорЪ]

SergeyGubanov Предположим вы правы.
А каков смысл для классического одноэлектронного поля функции $u(x)$ можете придумать ?

[SergeyGubanov]

apv в сообщении #691736 писал(а):

Там константу $K$ выбирают из уравнения сохранения тока вероятности.

Спасибо. Когда первый раз читал ваше сообщение, то не врубился, "пропустил это мимо ушей". Теперь дошло, "нормировка" классического поля $\psi$ естественно обусловлена сохранением электрического заряда, что в квантовомеханической интерпретации связано с током вероятности (формулы одинаковые). Правда полная вероятность всегда 1, а вот полный классический электрический заряд может быть любым и лишь в квантовом случае он должен быть равен одному $e$.

Да, ещё вот что. Те формулы которые я вчера написал развивая тему $E = \hbar \omega$ разумеется имеют место только когда поле находится в чистом стационарном состоянии с частотой $\omega$. Если поле не находится в таком состоянии, то, разумеется, формула $E = \hbar \omega$ не имеет места и классическую плотность энергии поля $\psi$ надо вычислять по формуле:

$$E = \int T_{0 0} \sqrt{-g} \, d_3 x = \frac{i c \hbar}{2} \int \left( \bar\psi\gamma_{0}\nabla_{0}\psi - \nabla_{0}\bar\psi\gamma_{0}\psi \right) \sqrt{-g} \, d_3 x$$

уж чему она будет равна тому и будет.

ИгорЪ в сообщении #692050 писал(а):

А каков смысл для классического одноэлектронного поля функции $u(x)$ можете придумать ?

Э-э-э... Философский смысл классического поля $\psi$ - это форма материи, объективно существующей независимо от нас и т. п.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #692007 писал(а):

Собственно, сама система уравнений Максвелла-Дирака

Ну что ж, наконец-то. Теперь любое её решение в явном виде. Прошу, маэстро.