2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Как найти функцию на квадрате,если на отрезке это ф-я Римана
Сообщение05.03.2013, 13:53 
Посоветуйте как найти функцию от 2х переменных $g(x_1,x_2)$ на квадрате $[0;1]$, которая бы отображалась в функцию Римана $g(x)$ одной переменной $\frac1n$ если $x$рациональное число; 0, если $x$ иррациональное на отрезке $[0;1]$

Есть идея представить эту функцию так: $x_1=\frac1n$, $x_2={\frac{\frac1m+1}2}+\frac12$
но не знаю насколько это правильно

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение05.03.2013, 14:12 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены ТеХом

Наберите формулы ТеХом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 i  А я еще отрезки оформил

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение05.03.2013, 18:06 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 
 
 
 Re: Как найти функцию на квадрате,если на отрезке это ф-я Римана
Сообщение05.03.2013, 19:14 
Аватара пользователя
Слова "которая бы отображалась" можно понимать, как угодно в рамках Вашей задачи. Если это понимать как то, что функция должна быть функцией Римана по каждой переменной в отдельности при каждом фиксированном значении второй переменной, то это невозможно. Чему должно быть равно значение функции в точке $(\sqrt {0.5},0.5)$?

 
 
 
 Re: Как найти функцию на квадрате,если на отрезке это ф-я Римана
Сообщение05.03.2013, 21:54 
Изначальная задача была следущая: составить суперпозицию 2х интегрируемых по Риману функций, которые б давали не интегрируемую.
Я решила эту задачу для ф-и Дирихле, которая не интегрируемая по Риману, тогда функции для суперпозиции- внутреняя $g(x)$ ф-я Римана на отреке $[0,1]$ и внешнаяя $f(x)$, которая принимает значение 1, при $0<x\leqslant1$ и 0, при $x=0$.
Но нужно рассмотреть ф-ю $g(x_1,x_2)$ на квадрате, а суперпозиция $f(g(x_1,x_2))$ так же должна давать не интегриюемую ф-ю

 
 
 
 Re: Как найти функцию на квадрате,если на отрезке это ф-я Римана
Сообщение06.03.2013, 07:44 
Аватара пользователя
Идея понятна. Вы хотели сконструировать функцию, которая была равна нулю только в (иррациональных, иррациональных) точках квадрата, непрерывна в них, и через суперпозицию получить как бы индикатор её положительности. Ну тогда можно запустить функции Римана отдельно по вертикали и отдельно по горизонтали и сложить (а лучше умножить).

 
 
 
 Re: Как найти функцию на квадрате,если на отрезке это ф-я Римана
Сообщение06.03.2013, 10:49 
Тогда понятно, если обе координаты иррациональные-значение ф-и 0, если одна рациональная, другая нет-$\frac1n$, а если обе рациональные?

 
 
 
 Re: Как найти функцию на квадрате,если на отрезке это ф-я Римана
Сообщение06.03.2013, 10:57 
Аватара пользователя
тогда $\dfrac 1 {nm}$, например. Лучше сделать ноль, когда хотя бы одна из координат иррациональная. Проще показать интегрируемость.

 
 
 
 Re: Как найти функцию на квадрате,если на отрезке это ф-я Римана
Сообщение06.03.2013, 11:33 
Спасибо, Вам огромное!!!
Теперь поняла: взять произведение от координат :-)

 
 
 
 Re: Как найти функцию на квадрате,если на отрезке это ф-я Римана
Сообщение06.03.2013, 11:44 
Аватара пользователя
Не от координат, а единицу, делённую на произведение знаменателей представления каждой рациональной координаты в виде обыкновенной несократимой для однозначности дроби. И ноль, если хотя бы одна из координат иррациональна. Тогда функция на квадрате получается непрерывной (равной нулю) за исключением точек с двумя рациональными координатами. А что Вы возьмёте в качестве функции-суперпозитора?

 
 
 
 Re: Как найти функцию на квадрате,если на отрезке это ф-я Римана
Сообщение06.03.2013, 13:10 
Я ее еще в точке $(0,0)$ доопределила: равной 1.
А в качестве внешней ф-и для суперпозиции выбрала $f(x)=0, x=0$; и $f(x)=1, 0<x\leqslant1$
Теперь думаю, как доказать разрывность в точках с рациональными координатами, и непрерывность в точках, где хотя бы одна координата иррациональна?

 
 
 
 Re: Как найти функцию на квадрате,если на отрезке это ф-я Римана
Сообщение06.03.2013, 13:27 
Аватара пользователя
Ну чтобы не возиться с разными там дробями, предлагаю радикальный шаг. Точек с обеими рациональными координатами в квадрате счётное множество. Нумеруем их все. И определяем нашу функцию в них, как минус третью степень от номера точки. В остальных точках — ноль.
Функция непрерывна во всех своих нулях. Доказывается так же, как и для функции Римана. И разрывна во всех (рац, рац) точках, то есть на счётном множестве. То есть множество точек разрыва имеет этот самый признак интегрируемости.
Внешняя функция выбрана хорошо. Суперпозиция не интегрируется, доказывается так же как и для одномерной функции Дирихле.

 
 
 
 Re: Как найти функцию на квадрате,если на отрезке это ф-я Римана
Сообщение06.03.2013, 15:29 
А как доказать, что множество точек разрыва имеет меру нуль?

 
 
 
 Re: Как найти функцию на квадрате,если на отрезке это ф-я Римана
Сообщение06.03.2013, 15:39 
Аватара пользователя
Так моё же счётно!
А Ваше принадлежит счётному множеству отрезков.

 
 
 
 Re: Как найти функцию на квадрате,если на отрезке это ф-я Римана
Сообщение06.03.2013, 16:24 
Извиняюсь, не внимательно прочитала Ваше предыдущее сообщение!

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group