2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 17:53 


23/09/12
180
Как найти период функции $f(x)=\sin\left(\dfrac{3\pi x}{2}\right)+4\cos\left(\dfrac{5\pi x}{3}\right)$?

Есть только идея построить и посмотреть на график, но как можно найти решение аналитически?

Да, у $\dfrac{3\pi x}{2}$ период $2\pi$

Да, у $\dfrac{5\pi x}{3}$ период $2\pi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
champion12 в сообщении #689592 писал(а):

Да, у $\dfrac{3\pi x}{2}$ период $2\pi$

Да, у $\dfrac{5\pi x}{3}$ период $2\pi$


Вы, наверное, имели в виду $\sin(\cdot)$, $\cos(\cdot)$. А то у линейной функции периода вообще нет.

У синуса будет не $2\pi$, и даже не 2, а то минимальное по модулю число, для которого при $\forall x$ верно $\sin\left(\frac{3\pi x}{2}\right)=\sin\left(\frac{3\pi (x+T)}{2}\right)$
Честно раскройте разность синусов и решите уравнение относительно $T$ (подсказка: получится обыкновенная дробь, без $\pi$). Потом то же самое с косинусами сделайте.

А дальше нужно немного подумать и найти период суммы функций. Можете рисовать эти периоды на прямой, если хотите (без оси ординат).

 Профиль  
                  
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 18:10 


29/09/06
4552
champion12 в сообщении #689592 писал(а):
Да, у ${\color{blue}[\sin?]}\dfrac{3\pi x}{2}$ период $2\pi$
Я не проверял, но я не верю, что $\sin\dfrac{3\pi\cdot 0}{2}=\sin \dfrac{3\pi \cdot (0+2\pi)}{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
Говорим $\sin \alpha  \cdot A + \cos \beta  \cdot B$, подразумеваем $C \cdot \left( {\sin \alpha  \cdot \cos \gamma  + \cos \beta  \cdot \sin \gamma } \right)$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 21:19 


29/09/06
4552
Утундрий в сообщении #689671 писал(а):
Говорим $\sin \alpha \cdot A + \cos \beta \cdot B$, подразумеваем $C \cdot \left( {\sin \alpha \cdot \cos \gamma + \cos \beta \cdot \sin \gamma } \right)$...
И чо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
Алексей К. в сообщении #689698 писал(а):
И чо?

А ежели не помогает, то надыть попробовать что-то другое. Этих тождеств так много и возможно придётся перепробовать их все, но куда спешить...

 Профиль  
                  
 
 Рассада, например.
Сообщение01.03.2013, 22:21 


29/09/06
4552
Утундрий в сообщении #689705 писал(а):
но куда спешить.
Весна наступила, есть куда спешить. Математику сейчас надо делать быстро и тупо. Типа, для начала, тупо сыскать правильные периоды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
Алексей К. в сообщении #689755 писал(а):
Математику сейчас надо делать быстро и тупо

Ну, тогда без построения графика никак не обойтись. Тем более, что современное развитие компьютерной технологии изображения на экране точечками позволяет быстро и тупо (как и заказывали) разрешить сию проблему т.с. фундаментально. Изобразив таким образом (см. ниже) $f(x/ \pi)$ уже можно вполне предметно размышлять на тему
$$\frac{3}{2}x = \frac{5}{3}x + 2n$$


Вложения:
111.jpg
111.jpg [ 37.26 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 22:38 


26/03/11
235
ЭФ МГУ
Какая-то боль.

$x \dfrac{3\pi}{2} = 2\pi$
Так находим период первого, аналогично второго слагаемого. Период суммы связан с тем, что начинается на Н, а кончается на К.

 Профиль  
                  
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 23:16 


29/09/06
4552
devgen в сообщении #689776 писал(а):
$x \dfrac{3\pi}{2} = 2\pi$
Так находим период первого
А я бы так искал: $T_1 \dfrac{3\pi}{2} = 2\pi$
А Наименьшее Общее Кратное на "е" кончается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
А я бы ещё раз обратил внимание, что задача-то по сути на вычисление
$$\frac{5}{3} - \frac{3}{2} = \frac{1}{6}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 23:47 


23/09/12
180
Спасибо! То есть период, вроде как $\dfrac{\pi}{12}$?

А как узнали, что $$\frac{3}{2}x = \frac{5}{3}x + 2n$$?

Получится ли что-то с разностью синусов или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 23:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
champion12 в сообщении #689839 писал(а):
Спасибо! То есть период, вроде как $\dfrac{\pi}{12}$?

:shock: Ну вот как можно было так понять мои слова?

 Профиль  
                  
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 23:51 


10/02/11
6786
а как найти период функции $f(z)=\sum_{k=1}^Nc_ke^{\omega_k z}$, где $\omega_j$ попартно различны ? ($ z,\omega_j,c_j\in\mathbb{C}$)

уравнение $f(z+T)=f(z)$ приводит к линейной системе $f^{(n)}(T)=f^{(n)}(0),\quad n=0,\ldots, N-1$ относительно $c_ke^{\omega_k T}$, которая однозначно разрешима (определитель Вандермонда). Получится система уравнений вида $c_ke^{\omega_k T}=w_k$ относительно $T$. Период $T$, если он существует, является решением этой системы. Если данная система не имеет решения $T$ то функция непериодична.

 Профиль  
                  
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 23:52 


26/03/11
235
ЭФ МГУ
Алексей К.

(Оффтоп)

Я же не зря писал с большой буквы, имел ввиду НОК


champion12
Как он может быть меньше периода каждого слагаемого?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 60 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group