Для чего в физике вводится понятие псевдовектора

[Munin]

Всё окей, но обычно минус понимается не так :-)

[casualvisitor]

Векторы - это просто элементы векторного пространства (т.е. множества наделенного алгебраическими операциями сложения и умножения на элементы некоторого поля, удовлетворяющие известным аксиомам). Сами по себе векторы не бывают ни "полярными", ни "аксиальными".

Но бывают векторно-значные функции, одним из аргументов которых является ориентация пространства. Некоторые из таких функций изменяют свое (векторное) значение на противоположное при изменении ориентации пространства. Тогда говорят, что векторы-значения этих функций являются «аксиальными векторами».

Пример. В формулировке определения векторного произведения (векторов в трехмерном пространстве) зависимость этого произведения от выбора ориентации пространства явно указывается: тройка, состоящая из векторов-сомножителей и вектора-произведения, должна быть ориентирована так же, как и пространство. В стандартной же записи $\mathbf{c=a\times b}$ вектор-произведение выглядит как функция только двух векторов-сомножителей; третий аргумент - ориентация пространства - лишь подразумевается, но не выписывается.

* * *

В физике полярные или аксиальные векторы используются для моделирования «явлений» в зависимости от характера симметрии «протекания» этих «явлений»:

Цитата:

"Отразим явление в плоскости, перпендикулярной к рассматриваемому вектору; если при этом направление, в котором протекает явление, изменится на обратное, то вектор есть полярный; если же направление явления останется прежним, то мы имеем дело с аксиальным вектором."
(Н. Е. Кочин Векторное исчисление и начала тензорного исчисления; см. post625247.html#p625247 )

В тех случаях, когда при зеркальном отражении относительно плоскости, перпендикулярной к рассматриваемому вектору, «явление остается прежним» (примеры: вращающееся твердое тело, кольцевой ток), описание (моделирование) этого явления данным вектором содержит элемент условности, зависящий от выбора системы координат - само явление определяет только пространственное положение оси вектора, а направление вектора вдоль этой оси диктуется не этим явлением, а выбором системы координат (а точнее - ориентацией выбранного базиса). Эта зависимость вектора-модели от свойств произвольно выбранной системы координат (а не от моделируемого явления) и выражается словами «аксиальный вектор».

Вопрос о возможности сложения полярных и аксиальных векторов лежит вне математики. Чисто математических препятствий к такому сложению нет. В случае изменения выбранной ориентации пространства полярное слагаемое не изменится, а аксиальное «изменит знак». Осмысленность такого сложения полностью определяется его физическим содержанием (или отсутствием такового) в каждом конкретном случае (а, значит, определяется физиками, а не математиками).

[ИгорЪ]

casualvisitor в сообщении #682043 писал(а):

Вопрос о возможности сложения полярных и аксиальных векторов лежит вне математики. Чисто математических препятствий к такому сложению нет.

Разве мой пример не препятствие? Думаю наоборот, математики будут ругаться на такие объекты. Ну а физики - моделировать нарушение четности.

[arseniiv]

ИгорЪ в сообщении #682310 писал(а):

Думаю наоборот, математики будут ругаться на такие объекты.

Уж математиков этим вряд ли можно удивить. Можно ещё складывать, например, бивекторы со скалярами (над $\mathbb R^3$) — алгебра таких сумм изоморфна кватернионам при соответствующем (вполне не с потолка) определении умножения.

[casualvisitor]

ИгорЪ в сообщении #682310 писал(а):

casualvisitor в сообщении #682043 писал(а):

Вопрос о возможности сложения полярных и аксиальных векторов лежит вне математики. Чисто математических препятствий к такому сложению нет.

Разве мой пример не препятствие?

В математике даже вопрос о "препятствиях" к сложению векторов не имеет смысла: в математике векторы - это просто элементы векторного пространства, т.е. множества наделенного алгебраическими операциями сложения и умножения на элементы некоторого поля. Если речь идет о векторах из одного и того же векторного пространства. Если речь идет о векторах из разных векторных пространств, вопрос не менее бессмыслен, так как такое сложение просто не определено (но такое сложение можно определить, рассматривая формальные суммы (т.е. просто упорядоченные пары) векторов из разных пространств).

ИгорЪ в сообщении #681957 писал(а):

arseniiv в сообщении #681843 писал(а):

Как формальная сумма, это не может быть равно нулю, если $V\ne0\ne A$, т. к. вектор и псевдовектор не смешиваются.

Что значит не смешиваются? Вот выражение $e_1+[e_2,e_3]$, которое при преобразовании отражения равно нулю.

Когда речь идет о формальном сложении, для обозначения этой операции лучше использовать другой символ, например $e_1\oplus[e_2,e_3]$.

Если при отражении $e_1$ переходит в $e_1$, а $[e_2,e_3]$ переходит в $-e_1$ (кажется, Вы это имели в виду), то результатом применения этого отражения к формальной сумме $e_1\oplus[e_2,e_3]$ будет не нулевой вектор $0\oplus0$, а ненулевой вектор $e_1\oplus(-e_1)$. (Точнее говоря, к формальной сумме применяется преобразование, которое на каждое формальное слагаемое действует как исходное отражение).

[ИгорЪ]

arseniiv в сообщении #682315 писал(а):

ИгорЪ в сообщении #682310 писал(а):

Думаю наоборот, математики будут ругаться на такие объекты.

Уж математиков этим вряд ли можно удивить. Можно ещё складывать, например, бивекторы со скалярами (над $\mathbb R^3$) — алгебра таких сумм изоморфна кватернионам при соответствующем (вполне не с потолка) определении умножения.

Согласитесь, скаляр плюс вектор не самое лучшее определение.
Умножение то очень же мерзкое при таком определении кватернионов. Натянуть их на векторное пространство 2х2 матриц куда естественней. Ну мы не об этом. Главное, что ненулевой кватернион ни в каком базисе не окажется вдруг нулевым.
casualvisitor Я правильно ли понимаю, вы предлагаете писать не $V-A$ а $(V,A)$?

[casualvisitor]

ИгорЪ,
Векторы - это просто элементы векторного пространства, т.е. множества наделенного алгебраическими операциями сложения и умножения на элементы некоторого поля, удовлетворяющими известным (поэтому не привожу их здесь) аксиомам. (Заметьте, что ни о каких свойствах векторов при каких-либо "преобразованиях координат" в этом определении даже речи нет. А потому нет и понятий "полярных" или "аксиальных" векторов, если мы говорим просто о векторных пространствах и векторах, без каких бы то ни было дополнительных структур.) То есть чтобы определить векторное пространство надо:
(1) указать множество,
(2) определить в нем две алгебраические операции,
(3) проверить выполнены ли аксиомы.

Сложение векторов - это операция, входящая в определение векторного пространства (а значит, никак не зависящая ни от каких "преобразований координат"). По-детски выражаясь, векторы из одного векторного пространства всегда можно складывать между собой, но никогда нельзя складывать ни с чем иным. Если у Вас есть два разных трехмерных пространства $X$ и $Y$, то к вектору из $X$ нельзя "прибавить" вектор из $Y$. В этих векторных пространствах можно задать базисы и записывать векторы как тройки чисел. Покомпонентное сложение троек, представляющих векторы одного векторного пространства имеет смысл (по определению этого пространства). Покомпонентное (т.е. при помощи тех же формул) сложение троек, представляющих векторы разных векторных пространств, не имеет смысла.

Поскольку в определении векторного пространства нет даже упоминания о каких-либо "преобразованиях координат" (и потому не имеет смысла говорить о "полярных" или "аксиальных" векторах), то и вопрос о возможности сложения "полярных" или "аксиальных" векторов бессмыслен. Если два вектора принадлежат одному пространству, складывать их можно, если разным - нельзя. И все. Точка.
Возможность сложения векторов просто не имеет отношения к их "аксиальности" или "полярности" (понятия "аксиальности" или "полярности" имеют смысл тогда, когда в дополнение к структуре векторного пространства рассматривается какая-то векторно-значная функция, зависящая от ориентации пространства).

ИгорЪ в сообщении #682411 писал(а):

casualvisitor Я правильно ли понимаю, вы предлагаете писать не $V-A$ а $(V,A)$?

Если $V$ и $A$ - элементы одного и того же векторного пространства, а знак минус соответствует алгебраическим операциям, фигурирующим в определении этого пространства, то зачем вводить какие-то новые обозначения? ... Просто складывайте вектора да вычитайте ...

Если же $V$ и $A$ не являются элементами одного и того же векторного пространства, или если знак минус означает что-то другое, то ответ зависит от того, хотите ли Вы образовать из двух данных векторных пространств новое векторное пространство (элементами которого являются упорядоченные пары векторов исходных пространств).

[arseniiv]

ИгорЪ в сообщении #682411 писал(а):

Согласитесь, скаляр плюс вектор не самое лучшее определение.

А я не писал, что это кто-то предлагает в определения. В математике полно изоморфных вещей, и вот множество формальных сумм скаляров и всё-таки бивекторов над $\mathbb R^3$ изоморфно кватернионам.

ИгорЪ в сообщении #682411 писал(а):

Умножение то очень же мерзкое при таком определении кватернионов.

Нормальное умножение. Для двух векторов оно определяется как $\mathbf{ab}=\mathbf a\cdot\mathbf b + \mathbf a\wedge\mathbf b$. Потом по ассоциативности и некоторым другим вполне естественным для умножения (сейчас точный список не помню) свойствам для вектора $\mathbf a$ $n$-вектора $\mathbf B$ получается $\mathbf{aB}=\mathbf a\cdot\mathbf B - (-1)^n \mathbf a\wedge\mathbf B$. У такого умножения даже геометрический смысл есть (см. geometric algebra).

Важное исправление (написано намного позже). Произведение $\mathbf{aB}$ остаётся в любом случае равным $\mathbf a\cdot\mathbf B + \mathbf a\wedge\mathbf B$. Выше написана ерунда.
Вот если и слева стоит произвольный элемент алгебры Клиффорда, тогда такое соотношение может выполняться, а может и не выполняться в зависимости от определения скалярного умножения, т. к. его получается обобщить не единственным способом.

[ИгорЪ]

casualvisitor Многа буков. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 0%BE%D1%80
Закон преобразования важен.

-- Пн фев 11, 2013 16:05:12 --

arseniiv
я ведь не против, но повторюсь, главное, что ненулевой кватернион ни в каком базисе не окажется вдруг нулевым.

[ChaosProcess]

Если на вход векторного произведения дать два вектора, как определяется получающийся объект?

[casualvisitor]

(Оффтоп)

ИгорЪ в сообщении #682496 писал(а):

casualvisitor Многа буков.

Спасибо за оценку моих попыток Вам помочь.

ИгорЪ в сообщении #682496 писал(а):

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 0%BE%D1%80
Закон преобразования важен.

Представление о том, что вектор - это набор чисел, преобразуемых по какому-то закону при переходе к другому базису, достаточно и даже удобно для физиков, но до определенных пределов. И один из таких пределов - интересующий Вас $V-A$ лагранжиан.

А поскольку Вы не можете расстаться с привычным для Вас (но, мягко говоря, не очень современным с точки зрения математики) взглядом на векторы, то получается грустная и немного забавная вещь: Вы просто смотрите на сумму полярного и аксиального векторов, но сомневаетесь в том, что их можно складывать! ...

А для для математиков "корректность использования объекта $V-A$" нисколько не сомнительна.

[Oleg Zubelevich]

casualvisitor в сообщении #682513 писал(а):

Представление о том, что вектор - это набор чисел, преобразуемых по какому-то закону при переходе к другому базису, достаточно и даже удобно для физиков, но до определенных пределов

если вы можете дать определение псевдотензора не связанное с системами координат --welcome

[myhand]

Oleg Zubelevich в сообщении #681905 писал(а):

а где Вы здесь увидели электродинамику:

Попутал ваше $\rho$ с плотностью заряда.

Сути не меняет - почему псевдотензор/псевдоскаляр? Пример с электродинамикой - вполне кстати. Чем плотности электронов отличаются от "плотности вещества" (тех же электронов)? - скалярным множителем.

Munin в сообщении #681911 писал(а):

А вы не другие? Там магнитное поле направлено в противоположную сторону, против уравнений Максвелла

Не юродствуйте. Помимо "уравнений Максвела" в электродинамике есть еще и сила Лоренца - которая направлена "в ту" сторону. Направление магнитного поля - соглашение, а не физика.

[Oleg Zubelevich]

myhand в сообщении #682584 писал(а):

почему псевдотензор/псевдоскаляр?

потому, что при замене координат домножается на якобиан

[arseniiv]

Так же не на знак якобиана, а на сам якобиан.
http://en.wikipedia.org/wiki/Relative_scalar?