Доказать сравнение.

[moscow5]

Доказать, что при p не равном 2
$\frac{2^p-2}{p}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...-\frac{1}{p-1}(modp)$
Нашел эту задачу на другом портале. Там посоветовали разложить $2^p$ на биномы, сократить и упростить биномиальные коэффициенты по модулю. Я разложил, сократил но как упростить по модулю не понимаю.
Вот что получилось
$2+\frac{p-1}{2}+...+\frac{(p-1)...(p-k+1)}{1\cdot2\cdot...\cdot k}$
Правую часть сравнения трогать вообще не надо?

[AKM]

moscow5 в сообщении #679762 писал(а):

Доказать, что при p!=2 ...

Условие $p!=2$ влечёт сразу $p=2$ и некую бессмысленность последующих формул.
Исправляйте условие.

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин» для исправления.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)».
Причина переноса: $p\neq2$.

[nnosipov]

moscow5 в сообщении #679762 писал(а):

Доказать, что при p не равном 2
$\frac{2^p-2}{p}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...-\frac{1}{p-1}(modp)$

Здесь $p$ --- простое число, иначе бессмыслица.

[moscow5]

nnosipov в сообщении #679913 писал(а):

moscow5 в сообщении #679762 писал(а):

Доказать, что при p не равном 2
$\frac{2^p-2}{p}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...-\frac{1}{p-1}(modp)$

Здесь $p$ --- простое число, иначе бессмыслица.

Вы правы.

[nnosipov]

Докажите сравнение $C_{p-1}^{k-1} \equiv (-1)^{k-1} \pmod{p}$ для биномиальных коэффициентов.

[moscow5]

А откуда взялся коэф. $C_{p-1}^{k-1}
Ведь по формуле бинома первый коэф. выглядит как $C_{p}^{1}, а последний $C_{p}^{p}

[nnosipov]

moscow5 в сообщении #679922 писал(а):

А откуда взялся коэф. $C_{p-1}^{k-1}$

Это посредник. Потом мы его свяжем с $C_p^k$.

[moscow5]

Не могу понять как доказать ваше сравнение, надо использовать вот это следствие?

И кажется слева выходит 0, кода мо модулю p берем. (в наших обозачениях n это p)

[Cash]

Распишите биномиальный коэффициент в произведение. Каждому числу в числителе найдется соответствующее в знаменателе, взятое со знаком минус.

[nnosipov]

Можно и так, только слева нуля не будет, посмотрите повнимательнее. Но можно и проще --- просто написав формулу для $C_{p-1}^{k-1}$ через факториалы и посмотрев на неё по модулю $p$.

[moscow5]

Расписал формулу, получилось $\frac{(p-1)!}{(k-1)!(p-k)!}=\frac{(p-k+1)...(p-1)}{(k-1)!}$
А как взять по модулю ее?

[Joker_vD]

$p-k+1\equiv -(k-1)\pmod p$

[AKM]

moscow5 в сообщении #679942 писал(а):

moscow5,

замена формул картинками на форуме запрещена!

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Oooh, sneaky AKM, а как вы это заметили?