Лагранжев формализм

[LeontiiPavlovich]

Если лагранжиан обладает свойством локальности
То если действие экстремально, то оно и минимально?

[Утундрий]

Нет.

[LeontiiPavlovich]

приведите пример

[Утундрий]

LeontiiPavlovich в сообщении #678939 писал(а):

приведите пример

Геодезические от Киева до Москвы. Обе экстремальны, но только одна минимальна.

[LeontiiPavlovich]

эх неудачно выразился
но верно, что это всегда локальный минимум?

[Утундрий]

LeontiiPavlovich в сообщении #678943 писал(а):

верно, что это всегда локальный минимум?

Отчего вдруг? Вполне может быть и локальный максимум. Это в общем-то совершенно безразлично, скажем, для пропагатора.

Конечно, Л&Л что-то там такое странное доказывали насчет непременно положительности гравитационной постоянной как следствия именно минимальности, но Ричард Фейнман их конкретно поправил.

[LeontiiPavlovich]

кто такой пропагатор?

[Утундрий]

LeontiiPavlovich в сообщении #678971 писал(а):

кто такой пропагатор?

Да обычная наша родная функция Грина, только изуродованная враждебным фурье-преобразованием.

[LeontiiPavlovich]

эммм
если функция в точке имеет экстремум-то это либо локальный минимум, либо максимум , либо не то и не другое
можете привести пример лагрнжиана, когда не то и не другое?

[Утундрий]

LeontiiPavlovich в сообщении #678980 писал(а):

если функция в точке имеет экстремум-то это либо локальный минимум, либо максимум , либо не то и не другое

Фот только функционал не всегда функция...

Вы поведаете наконец, каким неслыханным порывом собрались поразить навучное совокупчество? А то томит мну несказанно уж откровенья ожидание.

[LeontiiPavlovich]

функционал это функция от функции

[Munin]

В лагранжианах это обычно не закладывается. В физике лагранжианы выбираются такими, чтобы для двух очень близких точек был бы всё-таки именно или минимум, или максимум (зависит от соглашения о знаках). Но если точки разойдутся далеко, то минимум может смениться максимумом или седловой точкой.

Например, возьмём такой функционал, как длина кривой линии. Понятно, что на сфере меньшая дуга большого круга - это минимум, а большая - это максимум. Возьмём теперь 4-мерный однополостной гиперболоид, который в сечении плоскостью $(x_1,x_2,x_3)$ - сфера, а плоскостью $(x_1,x_2,x_4)$ - однополостной гиперболоид. И возьмём две точки, соедиённые большей дугой большого круга на этой сфере. Тогда варьируя эту дугу в плоскости $(x_1,x_2,x_3),$ будем получать уменьшение длины, а в плоскости $(x_1,x_2,x_4)$ - увеличение длины, то есть в целом - седловую точку.

[Утундрий]

Munin в сообщении #679000 писал(а):

В физике лагранжианы выбираются такими, чтобы для двух очень близких точек был бы всё-таки именно или минимум, или максимум

Мне лично кажется, что сие свойство получается мимоходом, случайно и совершенно не необходимо.

[LeontiiPavlovich]

Цитата:

В лагранжианах это обычно не закладывается. В физике лагранжианы выбираются такими, чтобы для двух очень близких точек был бы всё-таки именно или минимум, или максимум (зависит от соглашения о знаках).

вот это понятно

Цитата:

Но если точки разойдутся далеко, то минимум может смениться максимумом или седловой точкой.

как может получиться максимум?-седловитую точку представить

Цитата:

Например, возьмём такой функционал, как длина кривой линии. Понятно, что на сфере меньшая дуга большого круга - это минимум, а большая - это максимум.

большая-не максимум, максимум вообще равен бесконечности

Цитата:

Возьмём теперь 4-мерный однополостной гиперболоид, который в сечении плоскостью $(x_1,x_2,x_3)$ - сфера, а плоскостью $(x_1,x_2,x_4)$ - однополостной гиперболоид. И возьмём две точки, соедиённые большей дугой большого круга на этой сфере. Тогда варьируя эту дугу в плоскости $(x_1,x_2,x_3),$ будем получать уменьшение длины, а в плоскости $(x_1,x_2,x_4)$ - увеличение длины, то есть в целом - седловую точку.

а трехмерную аналогию можно?

-- 01.02.2013, 23:03 --

Цитата:

Мне лично кажется, что сие свойство получается мимоходом, случайно и совершенно не необходимо.

так по мне, если бы не было этого свойства, то в них вообще бы не было никакого смысла

[Munin]

Утундрий в сообщении #679004 писал(а):

Мне лично кажется, что сие свойство получается мимоходом, случайно и совершенно не необходимо.

Мне лично кажется, что там что-то с фейнмановским интегралом по траекториям покопалось. То есть понятно, каким образом частица выбирает экстремаль, когда она минимум или максимум: интерференция, перевал и интеграл Гаусса. А если она не минимум и не максимум, то по идее, и экстремаль не выделена.

LeontiiPavlovich в сообщении #679021 писал(а):

как может получиться максимум?

Ну вы большую дугу большого круга представить себе можете?

-- 01.02.2013 23:44:28 --

LeontiiPavlovich в сообщении #679021 писал(а):

а трехмерную аналогию можно?

Ну представьте себе трёхмерное пространство с такой метрикой, что длина отрезка, параллельного оси $Ox,$ при сдвиге отрезка по $y$ от нуля увеличивается, а при сдвиге по $z$ - уменьшается. Тогда для двух точек на оси $Ox,$ соединяющая их прямая будет короче кривых, отклоняющихся по $y,$ и длиннее кривых, отклоняющихся по $z$ (пренебрегая увеличением длины из-за искривления прямой). Она будет седловой точкой. (Не "седловитой"!) Аналогия: седловая точка на горном перевале, когда вдоль перевала высота уменьшается, а вдоль горного хребта - увеличивается.