Почему в уравнении Пуассона отсутствует такое слагаемое?

[VladTK]

У меня возникли вопросы к специалистам по гравитации. Основым уравнением Ньютоновской теории гравитации является уравнение Пуассона для гравитационного потенциала $\varphi$

$$ \bigtriangleup \varphi=4 \pi G \rho $$

где $\rho$ - плотность массы вещества. Что запрещает обобщить это уравнение до вида ($k$ - некоторая постоянная)

$$ \bigtriangleup \varphi+k \rho \varphi=4 \pi G \rho $$

? И вообще, можно ли построить Ньютоновскую теорию гравитации аксиоматическим методом? Если можно, то какие принципы следует использовать по вашему мнению?

[DimaM]

VladTK в сообщении #676671 писал(а):

Что запрещает обобщить это уравнение до вида ($k$ - некоторая постоянная)

$$ \bigtriangleup \varphi+k \rho \varphi=4 \pi G \rho $$

?

Ничто не мешает, за исключением того, что ньютоновская гравитация будет правильно описываться только при $k=0$.

[Munin]

Вообще, вместо любого уравнения можно написать более сложное, и назвать это "обобщить". Но в физике для этого нужен повод.

В большинстве случаев ситуация такая. У вас было старое уравнение $F(q)=0,$ и вы его "обобщили" до какого-то более сложного уравнения $F(q)+G(q)=0.$ Что произошло с решениями? В какой-то области $G(q)\ll F(q),$ и там решения почти не отличаются. В другой области $G(q)\gtrsim F(q),$ и решения отличаются очень сильно.

Для физики самый главный вопрос - это где находятся эксперименты, по которым строится уравнение, которое их описывает. И здесь есть два варианта.
1. Эксперименты находятся только в области, где $G(q)\ll F(q),$ и решения почти не отличаются. Это означает, что для физики нет никакой разницы, использовать одно или другое уравнение. И тогда надо пользоваться тем уравнением, которое проще.
2. Эксперименты находятся в той области, где $G(q)\gtrsim F(q),$ и решения отличаются сильно. Это означает, что по экспериментам можно различить, какому решению они соответствуют: старого или нового уравнения. И тут два подварианта:
- если эксперименты соответствуют решению нового уравнения, то оно правильное;
- если эксперименты соответствуют решению старого уравнения, то новое неправильное.

Вот вся идеология про обобщения, аксиоматические методы, и "что мешает".

В варианте 1 есть ещё случай, когда выбирают более сложное уравнение, по каким-то особенным причинам. Например, что оно согласуется с другими законами физики, установленными для других явлений и областей. В гравитации используется две теории:
- теория Ньютона;
- теория Эйнштейна (ОТО).
Когда мы пренебрегаем всякими тонкими релятивистскими эффектами, нам достаточно теории Ньютона. Но мы можем выбрать теорию Эйнштейна, по той причине, что она согласуется с релятивистскими законами физики, установленными СТО:
- пространство-время имеет метрику Минковского (в ОТО можно рассмотреть такой фон);
- теория взаимодействия есть локальная теория динамического поля.
Других обобщений теории Ньютона не используется, потому что для них нет повода. Но вы, если хотите, можете его поискать.

[ewert]

VladTK в сообщении #676671 писал(а):

можно ли построить Ньютоновскую теорию гравитации аксиоматическим методом? Если можно, то какие принципы следует использовать по вашему мнению?

Дело в том, что уравнение Пуассона уже очень сильно потом оказалось "основным". Изначально же теория строилась на законе взаимодействия точечных масс, из которого после всевозможных предельных переходов то уравнение и выплыло. Этот закон -- сугубо эмпирический, т.е. подтверждается непосредственно опытом (насколько вообще возможно говорить о непосредственных подтверждениях). Соответственно, уравнение Пуассона подтверждается опытом косвенно, ну а уравнение Гельмгольца -- не подтверждается ни разу.

[Munin]

Это даже не Гельмгольца. Там нелинейная добавка.

[hurtsy]

Munin в сообщении #676776 писал(а):

Там нелинейная добавка.

Где там и как Вы обнаруживаете нелинейность ? С уважением,

[VladTK]

DimaM в сообщении #676687 писал(а):

Ничто не мешает, за исключением того, что ньютоновская гравитация будет правильно описываться только при $k=0$.

Так я и спрашиваю: почему только при $k=0$?

Munin в сообщении #676744 писал(а):

Вообще, вместо любого уравнения можно написать более сложное, и назвать это "обобщить". Но в физике для этого нужен повод...

Imho, во-первых, поводом является появление в физике понятия "темная материя". А во-вторых, я сторонник утверждения: все что не запрещено, то разрешено.

Munin в сообщении #676744 писал(а):

...В большинстве случаев ситуация такая. У вас было старое уравнение $F(q)=0,$ и вы его "обобщили" до какого-то более сложного уравнения $F(q)+G(q)=0.$ Что произошло с решениями? В какой-то области $G(q)\ll F(q),$ и там решения почти не отличаются. В другой области $G(q)\gtrsim F(q),$ и решения отличаются очень сильно.

Для физики самый главный вопрос - это где находятся эксперименты, по которым строится уравнение, которое их описывает. И здесь есть два варианта.
1. Эксперименты находятся только в области, где $G(q)\ll F(q),$ и решения почти не отличаются. Это означает, что для физики нет никакой разницы, использовать одно или другое уравнение. И тогда надо пользоваться тем уравнением, которое проще.
2. Эксперименты находятся в той области, где $G(q)\gtrsim F(q),$ и решения отличаются сильно. Это означает, что по экспериментам можно различить, какому решению они соответствуют: старого или нового уравнения. И тут два подварианта:
- если эксперименты соответствуют решению нового уравнения, то оно правильное;
- если эксперименты соответствуют решению старого уравнения, то новое неправильное.

Вот вся идеология про обобщения, аксиоматические методы, и "что мешает"...

С этим я согласен. Но меня в данном случае интересует не идеология, а конкретный набор принципов, приводящий к Ньютоновской теории гравитации. Я, например, могу назвать несколько таких принципов (по своему разумению конечно). В первую очередь - это возможность описания гравитационного поля с помощью скалярной функции координат - потенциала. Во-вторых, эквивалентность инертной и гравитационной масс, приводящая почти к конкретному виду лагранжиана взаимодействия вещества и гравитационного поля. В-третьих, принцип суперпозиции решений уравнения гравитационного поля, что делает уравнение поля линейным относительно потенциала. Есть еще некоторые более спорные принципы. Я хотел бы услышать мнение людей об этом вопросе.

Munin в сообщении #676744 писал(а):

...В варианте 1 есть ещё случай, когда выбирают более сложное уравнение, по каким-то особенным причинам. Например, что оно согласуется с другими законами физики, установленными для других явлений и областей. В гравитации используется две теории:
- теория Ньютона;
- теория Эйнштейна (ОТО).
Когда мы пренебрегаем всякими тонкими релятивистскими эффектами, нам достаточно теории Ньютона. Но мы можем выбрать теорию Эйнштейна, по той причине, что она согласуется с релятивистскими законами физики, установленными СТО:
- пространство-время имеет метрику Минковского (в ОТО можно рассмотреть такой фон);
- теория взаимодействия есть локальная теория динамического поля.
Других обобщений теории Ньютона не используется, потому что для них нет повода. Но вы, если хотите, можете его поискать.

Релятивисткие поправки/модификации "Ньютона" меня пока не интересуют.

ewert в сообщении #676758 писал(а):

Дело в том, что уравнение Пуассона уже очень сильно потом оказалось "основным". Изначально же теория строилась на законе взаимодействия точечных масс, из которого после всевозможных предельных переходов то уравнение и выплыло. Этот закон -- сугубо эмпирический, т.е. подтверждается непосредственно опытом (насколько вообще возможно говорить о непосредственных подтверждениях). Соответственно, уравнение Пуассона подтверждается опытом косвенно, ну а уравнение Гельмгольца -- не подтверждается ни разу.

Вне вещества приведенное мною модифицированное уравнение совпадает с уравнением Лапласа. Т.е. с уравнением Пуассона в вакууме. Так что подтверждение законом всемирного тяготения у этих уравнений одинаковое. А вот внутри вещества эти уравнения ведут себя совершенно по разному. Я вот рассмотрел задачу с однородным шаром - расхождения в потенциалах и напряженностях кардинальное.

Munin в сообщении #676776 писал(а):

Это даже не Гельмгольца. Там нелинейная добавка.

Ну это как задачу ставить.

[Munin]

hurtsy в сообщении #676850 писал(а):

Где там и как Вы обнаруживаете нелинейность ?

Меня тут уговорили, что она линейна.

VladTK в сообщении #676873 писал(а):

Imho, во-первых, поводом является появление в физике понятия "темная материя". А во-вторых, я сторонник утверждения: все что не запрещено, то разрешено.

Ну так вот, на таком утверждении наука не работает. Проверено 400-летним опытом. Точнее, даже больше, 2000-летним. Просто 400 лет назад наконец нашли утверждения, на которых наука работает. Среди них одно из главных: всё, что излишне, запрещено.

VladTK в сообщении #676873 писал(а):

Но меня в данном случае интересует не идеология, а конкретный набор принципов, приводящий к Ньютоновской теории гравитации.

Он интересен только в историческом плане, можете посмотреть в учебники по истории науки.

VladTK в сообщении #676873 писал(а):

Я, например, могу назвать несколько таких принципов (по своему разумению конечно). В первую очередь - это возможность описания гравитационного поля с помощью скалярной функции координат - потенциала. Во-вторых, эквивалентность инертной и гравитационной масс, приводящая почти к конкретному виду лагранжиана взаимодействия вещества и гравитационного поля. В-третьих, принцип суперпозиции решений уравнения гравитационного поля, что делает уравнение поля линейным относительно потенциала.

Это всё [censored], придуманная много после теории Ньютона, и присобаченная к ней только задним числом.

Toucan:

См. post677529.html#p677529

VladTK в сообщении #676873 писал(а):

Релятивисткие поправки/модификации "Ньютона" меня пока не интересуют.

Ну, значит, ваши модификации не заинтересуют никого другого. Мы живём в релятивистском мире, и с этим уже 100 лет как пора смириться.

VladTK в сообщении #676873 писал(а):

А вот внутри вещества эти уравнения ведут себя совершенно по разному. Я вот рассмотрел задачу с однородным шаром - расхождения в потенциалах и напряженностях кардинальное.

Это называется "упражнения с игрушечными моделями в рамках теорфизики". Заниматься этим можно, но научной ценности у этого немного. Только если обнаружится какая-то приложимость к реальным задачам.

[g______d]

VladTK в сообщении #676671 писал(а):

Что запрещает обобщить это уравнение до вида ($k$ - некоторая постоянная)

$$ \bigtriangleup \varphi+k \rho \varphi=4 \pi G \rho $$

?

Напишите какое-нибудь решение этого уравнения для $\rho(x)=\delta(x)$ (поле точечного заряда), а там посмотрим.

[Oleg Zubelevich]

VladTK в сообщении #676671 писал(а):

Что запрещает обобщить это уравнение до вида ($k$ - некоторая постоянная)

$$ \bigtriangleup \varphi+k \rho \varphi=4 \pi G \rho $$

вообщ говоря, это уравнеие не при вех $k\rho$ имеет ререшение

[ewert]

VladTK в сообщении #676873 писал(а):

Вне вещества приведенное мною модифицированное уравнение совпадает с уравнением Лапласа. Т.е. с уравнением Пуассона в вакууме. Так что подтверждение законом всемирного тяготения у этих уравнений одинаковое.

А оно (Пуассона) работает даже и внутри вещества, как ни странно. Ваше же -- как-то увы.

[migmit]

Вообще-то, сам потенциал $\varphi$ — штука ненаблюдаемая. Наблюдаема только производная от него. А посему уравнение на потенциал должно быть инвариантно относительно замены $\varphi\to\varphi+c$. Ваше уравнение этому не удовлетворяет.

[Munin]

ewert в сообщении #677025 писал(а):

А оно (Пуассона) работает даже и внутри вещества, как ни странно.

Что, как ни странно, ни черта не проверишь экспериментально.

-- 27.01.2013 23:12:31 --

migmit в сообщении #677032 писал(а):

Вообще-то, сам потенциал $\varphi$ — штука ненаблюдаемая.

А по замедлению хода часов?

[ewert]

Munin в сообщении #677057 писал(а):

А по замедлению хода часов?

А при чём тут ход часов, когда само уравнение сугубо классическое.

[Munin]

Да я не про уравнение, я про потенциал...