Кольца. Правильно ли сделаны выводы?

[Nikolai Moskvitin]

Выводы, к которым я пришёл, изучая примеры колец (числовых пока):
1) Как только мы начинаем ограничивать множество чисел, сразу возникает возможность, что полученное множество кольцом не является. То есть важно, как построено кольцо и не так важно, из каких элементов оно состоит- именно для понимания, что такое кольцо.
2) Кольцо понятие более широкое, чем поле.
3) Извлечение корня не является бинарной алгебраической операцией и именно поэтому не входит в определение кольца. Нельзя же написать 5$\sqrt$6.

[alcoholist]

Nikolai Moskvitin в сообщении #674929 писал(а):

не является бинарной алгебраической операцией и именно поэтому не входит в определение кольца

в определении кольца имеются унарные операции -- кольцо несет структуру абелевой группы по сложению

[Nikolai Moskvitin]

Следующий вывод (значит, 3 был неверным): если кольцо и некоммутативно, то это "достигается" путём введения некоммутативного умножения, но не путём некоммутативного вычитания (так как а) существование противоположного, как я понял, нарушать нельзя и б)это и не надо называть вычитанием; это прибавление противоположного элемента).

[arseniiv]

А что, есть коммутативное вычитание где-то? Расскажите, где вы его встречали.

[Joker_vD]

Кольцом называют набор $(S,0,+,-,\cdot)$, где $+,\cdot\colon S\times S\to S$ — бинарные операции (берут два элемента из $S$ и возвращают один элемент из $S$), $-\colon S\to S$ — унарная операция (берет элемент из $S$ и возвращает элемент из $S$), $0\in S$ — некий зафиксированный элемент в $S$; для которого (набора $(S,0,+,-,\cdot)$, если уже забыли ) выполняются следующие условия:

1) для любых $a,b,c\in S$ верно, что $a+(b+c)=(a+b)+c$;
2) для любого $a\in S$ верно, что $a+0=0+a=a$;
3) для любого $a\in S$ верно, что $a+(-a)=0$;
4) для любых $a,b\in S$ верно, что $a+b=b+a$;
5) для любых $a,b,c\in S$ верно, что $a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ и $(a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$.
6) для любых $a,b,c\in S$ верно, что $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$;

Все. Больше тут ничего нету. Можно добавить дополнительное условие "для любых $a,b\in S$ верно $a\cdot b=b\cdot a$" — кольца, для которых оно выполнено, называются коммутативными. Можно добавить условие "существует элемент $1\in S$ такой, что для любого $a\in S$ верно, что $a\cdot1=1\cdot a = a$" — кольца, для которых выполнено такое условие, называются кольцами с единицей. Есть тела — это кольца с единицей, для которых выполнено условие "$0\ne1$ и для всех $a\ne0$ существует $b\in S$ такое, что $a\cdot b=b\cdot a = 1$. Коммутативные тела называются полями.

[Deggial]

Nikolai Moskvitin в сообщении #674929 писал(а):

Нельзя же написать 5$\sqrt$6.

Nikolai Moskvitin, оформляйте формулы ТеХом целиком!

[Nikolai Moskvitin]

arseniiv в сообщении #675101 писал(а):

А что, есть коммутативное вычитание где-то? Расскажите, где вы его встречали.

Arseniiv,прошу прощения за непонятность. Я так написал не потому, что не знаю, что вычитание коммутативным быть не может, а чтобы лучше понять кольца.

-- 22.01.2013, 22:36 --

Да! Ещё, насколько я понял, аксиома ассоциативности не обязательна для определения кольца. Например, неассоциативно векторное произведение. А сумма всегда ассоциативна и коммутативна?

[arseniiv]

Nikolai Moskvitin в сообщении #675169 писал(а):

Например, неассоциативно векторное произведение.

А векторы кольцо с каких пор образуют?

[apriv]

arseniiv в сообщении #675437 писал(а):

А векторы кольцо с каких пор образуют?

А кто ж им запретит?

[arseniiv]

С векторным произведением?

[apriv]

arseniiv в сообщении #675470 писал(а):

С векторным произведением?

Ну с каким же еще. Векторы трехмерного пространства образуют кольцо, самое настоящее. Оно неассоциативное, зато алгебра Ли.

[Joker_vD]

Извечная проблема: называть ли вещи "неассоциативное кольцо" и "кольцо" или же "кольцо" и "ассоциативное кольцо"? Но поскольку кольца с неассоциативным умножением нужны гораздо меньшему числу людей, чем кольца с ассоциативным умножением, первый набор терминов гораздо употребительнее.

-- Ср янв 23, 2013 21:10:47 --

А почему они никому не нужны? Вот смотрите: чем хороши алгебры над кольцами? Тем, что их структуры модуля и кольца согласованы: $(\lambda a)b=\lambda(ab)$. И понятие кольца тоже всегда требует согласованности структуры аддитивной абелевой группы и мультипликативной полугруппы (магмы, если так уж хочется): $a(b+c)=ab+ac;\;(a+b)c=ac+bc$.

Так вот, требование ассоциативности вполне естественно считать требованием к самосогласованности операции. Нам интересны согласованные друг с другом структуры, и естественно, нам интересны структуры, согласованные сами с собой.

[apriv]

Joker_vD в сообщении #675523 писал(а):

Так вот, требование ассоциативности вполне естественно считать требованием к самосогласованности операции. Нам интересны согласованные друг с другом структуры, и естественно, нам интересны структуры, согласованные сами с собой.

Я ничего не понял. Неассоциативных колец на свете полно, но в большинстве случаев на умножение все-таки накладываются какие-нибудь условия, похожие на ассоциативность: йордановы алгебры, алгебры Ли, например.

[Nikolai Moskvitin]

Ещё один вывод: кольцо может обладать ограниченным числом обратных элементов, т.е. вовсе не обязательно, чтобы их вообще не было. (Это я вернулся к Шафаревичу).