2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Кольца. Правильно ли сделаны выводы?
Сообщение22.01.2013, 14:22 
Выводы, к которым я пришёл, изучая примеры колец (числовых пока):
1) Как только мы начинаем ограничивать множество чисел, сразу возникает возможность, что полученное множество кольцом не является. То есть важно, как построено кольцо и не так важно, из каких элементов оно состоит- именно для понимания, что такое кольцо.
2) Кольцо понятие более широкое, чем поле.
3) Извлечение корня не является бинарной алгебраической операцией и именно поэтому не входит в определение кольца. Нельзя же написать 5$\sqrt$6.

 
 
 
 Re: Правильно ли сделаны выводы?
Сообщение22.01.2013, 14:58 
Аватара пользователя
Nikolai Moskvitin в сообщении #674929 писал(а):
не является бинарной алгебраической операцией и именно поэтому не входит в определение кольца

в определении кольца имеются унарные операции -- кольцо несет структуру абелевой группы по сложению

 
 
 
 Re: Правильно ли сделаны выводы?
Сообщение22.01.2013, 17:42 
Следующий вывод (значит, 3 был неверным): если кольцо и некоммутативно, то это "достигается" путём введения некоммутативного умножения, но не путём некоммутативного вычитания (так как а) существование противоположного, как я понял, нарушать нельзя и б)это и не надо называть вычитанием; это прибавление противоположного элемента).

 
 
 
 Re: Правильно ли сделаны выводы?
Сообщение22.01.2013, 20:51 
А что, есть коммутативное вычитание где-то? Расскажите, где вы его встречали.

 
 
 
 Re: Правильно ли сделаны выводы?
Сообщение22.01.2013, 21:07 
Кольцом называют набор $(S,0,+,-,\cdot)$, где $+,\cdot\colon S\times S\to S$ — бинарные операции (берут два элемента из $S$ и возвращают один элемент из $S$), $-\colon S\to S$ — унарная операция (берет элемент из $S$ и возвращает элемент из $S$), $0\in S$ — некий зафиксированный элемент в $S$; для которого (набора $(S,0,+,-,\cdot)$, если уже забыли :-) ) выполняются следующие условия:

1) для любых $a,b,c\in S$ верно, что $a+(b+c)=(a+b)+c$;
2) для любого $a\in S$ верно, что $a+0=0+a=a$;
3) для любого $a\in S$ верно, что $a+(-a)=0$;
4) для любых $a,b\in S$ верно, что $a+b=b+a$;
5) для любых $a,b,c\in S$ верно, что $a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ и $(a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$.
6) для любых $a,b,c\in S$ верно, что $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$;

Все. Больше тут ничего нету. Можно добавить дополнительное условие "для любых $a,b\in S$ верно $a\cdot b=b\cdot a$" — кольца, для которых оно выполнено, называются коммутативными. Можно добавить условие "существует элемент $1\in S$ такой, что для любого $a\in S$ верно, что $a\cdot1=1\cdot a = a$" — кольца, для которых выполнено такое условие, называются кольцами с единицей. Есть тела — это кольца с единицей, для которых выполнено условие "$0\ne1$ и для всех $a\ne0$ существует $b\in S$ такое, что $a\cdot b=b\cdot a = 1$. Коммутативные тела называются полями.

 
 
 
 Re: Правильно ли сделаны выводы?
Сообщение22.01.2013, 21:09 
Аватара пользователя
 ! 
Nikolai Moskvitin в сообщении #674929 писал(а):
Нельзя же написать 5$\sqrt$6.
Nikolai Moskvitin, оформляйте формулы ТеХом целиком!

 
 
 
 Re: Правильно ли сделаны выводы?
Сообщение22.01.2013, 22:28 
arseniiv в сообщении #675101 писал(а):
А что, есть коммутативное вычитание где-то? Расскажите, где вы его встречали.

Arseniiv,прошу прощения за непонятность. Я так написал не потому, что не знаю, что вычитание коммутативным быть не может, а чтобы лучше понять кольца.

-- 22.01.2013, 22:36 --

Да! Ещё, насколько я понял, аксиома ассоциативности не обязательна для определения кольца. Например, неассоциативно векторное произведение. А сумма всегда ассоциативна и коммутативна?

 
 
 
 Re: Правильно ли сделаны выводы?
Сообщение23.01.2013, 16:25 
Nikolai Moskvitin в сообщении #675169 писал(а):
Например, неассоциативно векторное произведение.
А векторы кольцо с каких пор образуют?

 
 
 
 Re: Правильно ли сделаны выводы?
Сообщение23.01.2013, 17:31 
arseniiv в сообщении #675437 писал(а):
А векторы кольцо с каких пор образуют?

А кто ж им запретит?

 
 
 
 Re: Правильно ли сделаны выводы?
Сообщение23.01.2013, 17:48 
С векторным произведением? :o

 
 
 
 Re: Правильно ли сделаны выводы?
Сообщение23.01.2013, 18:01 
arseniiv в сообщении #675470 писал(а):
С векторным произведением? :o

Ну с каким же еще. Векторы трехмерного пространства образуют кольцо, самое настоящее. Оно неассоциативное, зато алгебра Ли.

 
 
 
 Re: Правильно ли сделаны выводы?
Сообщение23.01.2013, 19:52 
Извечная проблема: называть ли вещи "неассоциативное кольцо" и "кольцо" или же "кольцо" и "ассоциативное кольцо"? Но поскольку кольца с неассоциативным умножением нужны гораздо меньшему числу людей, чем кольца с ассоциативным умножением, первый набор терминов гораздо употребительнее.

-- Ср янв 23, 2013 21:10:47 --

А почему они никому не нужны? Вот смотрите: чем хороши алгебры над кольцами? Тем, что их структуры модуля и кольца согласованы: $(\lambda a)b=\lambda(ab)$. И понятие кольца тоже всегда требует согласованности структуры аддитивной абелевой группы и мультипликативной полугруппы (магмы, если так уж хочется): $a(b+c)=ab+ac;\;(a+b)c=ac+bc$.

Так вот, требование ассоциативности вполне естественно считать требованием к самосогласованности операции. Нам интересны согласованные друг с другом структуры, и естественно, нам интересны структуры, согласованные сами с собой.

 
 
 
 Re: Правильно ли сделаны выводы?
Сообщение23.01.2013, 21:22 
Joker_vD в сообщении #675523 писал(а):
Так вот, требование ассоциативности вполне естественно считать требованием к самосогласованности операции. Нам интересны согласованные друг с другом структуры, и естественно, нам интересны структуры, согласованные сами с собой.

Я ничего не понял. Неассоциативных колец на свете полно, но в большинстве случаев на умножение все-таки накладываются какие-нибудь условия, похожие на ассоциативность: йордановы алгебры, алгебры Ли, например.

 
 
 
 Re: Правильно ли сделаны выводы?
Сообщение25.01.2013, 18:05 
Ещё один вывод: кольцо может обладать ограниченным числом обратных элементов, т.е. вовсе не обязательно, чтобы их вообще не было. (Это я вернулся к Шафаревичу).

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group