2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение22.01.2013, 15:49 


22/01/13
23
Dimoniada в интернете кроме этой ссылки ничего не нашел по этой теореме

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение22.01.2013, 15:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
lenarskiy в сообщении #674961 писал(а):
alcoholist поставил в ваше решение 3 варианта значений ни одно не совпало



тяжелый случай)))

пусть прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$ (каждую по очереди), левый нижний угол -- в начале координат

уравнения окружностей
$x^2+y^2=r_1^2$, $(x-a)^2+y^2=r^2_2$, $(x-a)^2+(y-b)^2=r_3^2$

искомый центр красной окружности радиуса $R$ имеет координаты $(x;y)$, удовлетворяющие равенствам
$x^2+y^2=(R+r_1)^2$, $(x-a)^2+y^2=(R+r_2)^2$, $(x-a)^2+(y-b)^2=(R+r_3)^2$, $x^2+(y-b)^2=R^2$
складывая первое равенство с третьим и второе с четвертым, приравнивая, получим:
$$
(R+r_1)^2+(R+r_3)^2=(R+r_2)^2+R^2
$$
откуда и следует мое утверждение

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение22.01.2013, 16:14 


29/09/06
4552
Три условия касания выглядят так:
\begin{align*}
&r_1^2+2r_1r_4-2br_4\cos\tau=b^2,\\
&r_2^2+2r_2r_4-2r_4(a\sin\tau+b\cos\tau)=a^2+b^2,\\    
&r_3^2+2r_3r_4-2ar_4\sin\tau=a^2,
\end{align*}
(здесь $(\cos\tau,\sin\tau)^T$ --- наклон касательной к окружности в той четвёртой вершине).
Отсюда (первое уравнение плюс третье минус второе) тоже получается упомянутое alcoholist соотношение для радиусов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение22.01.2013, 16:14 
Аватара пользователя


02/03/08
176
Netherlands
Вот как всё просто оказалось :P .
lenarskiy, бог с ней, с теоремой (существуют разные написания этого "Кези", поэтому путаница, но если хотите, то вот тут через "Кеззи")! Радиус найден, остались координаты центра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение22.01.2013, 16:16 


29/09/06
4552
(это я как бы дописывал своё предыдущее собщение :-) )
А задачка-то попроще, чем показалось сначала: надо подобрать $r_{1,2,3}$. вовсе не $r_4$. И $r_4$, и $\tau$ сразу заданы положением мышки. Три квадратненьких уравненьица.

-- 22 янв 2013, 17:22:39 --

И корни всегда имеются. Один положительный, один отрицательный. Отрицательный, наверное, про запас --- если мышка вылезет куда не надо.

-- 22 янв 2013, 17:27:25 --

(Dimoniada)

Типа nice to see you again. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение22.01.2013, 16:28 


22/01/13
23
"Упомянутое" и "Вам уже ответ готовый дают" "А задачка-то попроще" имеется ввиду формула от alcoholist ? Почему тогда такая погрешность и это только в определении радиуса? Или я что то не понимаю подставляя свои радиусы из программы и получаю не тот радиус который должен получиться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение22.01.2013, 16:41 


29/09/06
4552
lenarskiy в сообщении #674987 писал(а):
"А задачка-то попроще" имеется ввиду формула от alcoholist ?
Имеется в виду, что Вы, lenarskiy, дали злокачественную формулировку задачи.
Этой формулировкой Вы сбили с толку и меня, и, позволю себе предположить, участника alcoholist, и, вероятно, других, искавших и выписывавших жуткие формулы с радикалами, пока я вглядывался в жуткое соотношение, при котором построение красной окружности возможно.
Это всё эти дурацкие компьютеры, автокады и прочая хрень, от которой люди разучиваются правильно говорить словами, строить придаточные предложения и прочая... (Рекламный текст: "Теперь уже и в школе!")

Вот, погавкал, ща объясню подробнее. Если начальник слиняет. Ну и если надо.

-- 22 янв 2013, 17:46:04 --

Если чо, моя касательная (соответственно, угол $\tau$) предполагала положительную ориентацию красной окружности, т.е. вектор из её центра, повёрнутый на $\text{\Large\color{magenta}+}90^\circ.$ (это влияет на знак синуса-косинуса).

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение22.01.2013, 16:47 


22/01/13
23
Очень надо!!!
Возможно я не правильно поставил задачу, но для этого и скинул программку, чтобы понятней было что именно требуется, какие исходные данные и в каком формате есть, какой результат должен получиться в итоге, это думаю немного скомпенсировало некорректно поставленную задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение22.01.2013, 16:51 


23/01/07
3497
Новосибирск
alcoholist в сообщении #674937 писал(а):
Ну хорошо, если уж такие четыре окружности существуют, то искомый радиус красной окружности
$$
R=\frac{r_A^2-r_B^2-r_C^2}{2(r_B+r_C-r_A)}
$$
($r_A$ -- радиус окружности с центром в правом нижнем углу)

Что-то по-видимому, не то, т.к. должно быть равенство сумм квадратов радиусов окружностей с центрами в диагональных вершинах прямоугольника (по теореме Пифагора).

-- 22 янв 2013 21:08 --

Кстати, это необходимое условие:
Батороев в сообщении #674896 писал(а):
Не знаю, сильно поможет или нет, но искомый центр является также точкой пересечения четырех окружностей с центрами в вершинах прямоугольника, одна из которых имеет радиус, равный искомой.

но не достаточное.
Получить пересечение четырех окружностей с центрами в вершинах прямоугольника можно всегда, а выполнение условия исходной задачи - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение22.01.2013, 17:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
lenarskiy в сообщении #674892 писал(а):
Есть экран по краям которого установлены 4 датчика, при соприкосновении с экраном от точки соприкосновения распространяется сигнал и доходит он первым до одного из датчиков, запускается счетчик времени и считается время до остальных 3х датчиков. Задача найти точку прикосновения...

В этих условиях, понятно, данными являются три "дискретных" числа и должны появиться три близкие точки от пересечения трёх гипербол. Видится какой-то вариант МНК, приспособленный к целочисленной сетке...

Задачку можно обратить - точка прикосновения получает сигналы о времени с четырёх спутников (хотя достаточно и трёх :wink: ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение22.01.2013, 17:17 


29/09/06
4552
lenarskiy в сообщении #674993 писал(а):
Возможно я не правильно поставил задачу, но для этого и скинул программку,
Уж не знаю, что меня подвигло её скачать. Больно невероятным казалось существование красной окружности. Но по программке и понял, о чём речь.

Ваше сообщение было понято (не только мной) так: даны три зелёненьких окружности (даны=фиксированы), Построить красненькую, и чтоб касалась всех (таких по Аполлонию может быть 0, 2, 4, (6?), 8). Да ещё чтоб через заданную точку проходила. Не бывает (кроме, кончено, спец-случаев)! Всё, что можно, --- составить условие на $a,b,r_{1,2,3}$, при которых такое случается.

У Вас всё тривиально:
Мышка определяет положение центра красной окружности.
Четвёртая вершина определяет радиус и, тем самым, всю красную окружность.
На плоскости имеются ещё какие-то точки. Плевать, что их три. Плевать, что они там, вместе с уже использованной точкой, прямоугольник образуют. Пусть это будет хоть 17-угольник.
В любой из них, взятой как центр, тривиально строится зелёная окружность, касающаяся той единственной заданной красной окружности.

Так я понял Вашу программку. Сигналы пока так и не обдумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение22.01.2013, 17:34 


22/01/13
23
Вы поняли не совсем правильно, это программа дает возможность рассмотреть все возможные варианты прихода сигналов с датчиков - радиусов зеленых окружностей, построенных исходя из положения мышки. Красная окружность отображается верно т.к. программа изначально знает положение мышки, а значит и радиус и положение верные.
А требуется получив радиусы трех окружностей вычислить положение центра четвертой окружности и ее радиус, для этого подставив данные из программы в какую то формулу мы должны получить то что написано в программе под словами "Результат должен быть:"

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение22.01.2013, 17:47 


29/09/06
4552
Ну, про сигналы попробую вечером перечитать, понять их, и понять Ваши возражения-уточнения. Я пока только на геометрию смотрел.

Ранее мною сказанное может быть другими словами изложено так: если на рисунке в Вашем первом сообщении одну зелёную окружность малость укоротить-уширить (оставив две другие как были), то красная уже не построится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение22.01.2013, 17:52 


22/01/13
23
Да верно, не построится т.к. такие данные уже не верные.
Если это поможет в решении, то если все зеленые радиусы равны 0 (а такое может быть) тогда радиус окружности будет равен диагонали прямоугольника а ее центр будет в центре прямоугольника, а это не учитывается в предыдущей формуле

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение22.01.2013, 22:54 


29/09/06
4552
С сигналами разобрался.
lenarskiy в сообщении #674882 писал(а):
Если это фантастика тогда как автокад находит эту окружность?
И Автокад, и Вы в Вашей программе решали наверняка другую задачу, ту, которую я обозвал тривиальной.
lenarskiy в сообщении #674888 писал(а):
Нет исходя из данных соответствующих условию задачи
У Вас, как мне кажется, имеется некое непонимание проблемы.
Примерно так: Вы измеряете, допустим, три стороны некоторого треугольника и угол между меньшими сторонами --- $(a,b,c,\gamma)$ . И просите чего-то там про этот треугольник сосчитать, ну там типа центр вписанной окружности.
И вот в результате измерений получаютя $(3,4,5,88^\circ)$ или $(11.20, 11.31, 11.46, 60.01^\circ)$, и в тупик уходим. Не бывает таких треугольников! А Вы в Автокаде нам демонстрируете "фантастику" --- треугольники $(3,4,5,90^\circ)$ или $(11.20, 11.20, 11.20, 60^\circ),$ со вписанными окружностями, и называете это данными, "соответствующими условию задачи". Так наши данные --- результаты измерений! Они никогда не будут соответствовать!
Дело не в "плохих" данных: задача, очевидно, "плохая" (переопределённая). Вот, снова:
lenarskiy в сообщении #675027 писал(а):
Да верно, не построится т.к. такие данные уже не верные.
"Верных" данных в измерениях не бывает. Для проверки закона Ома берут 100 токов и 100 напряжений, и получают 100 разных (приблизительно одинаковых, если закон Ома верен) коэффициентов-сопротивлений для одной и той же чушки.

Простейшее предложение --- получить искомую "точку прикосновения" по данным с датчиков 1 и 2. Потом с 1 и 3. Потом с 2 и 3. Получим ТРИ варианта решения. Взять ли просто среднее, или одну точку, наиболее удалённую от двух других отбросить, --- это уж Вам решать, по результатам опытов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 63 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group