Странный предел

[St.Voland]

Здравствуйте. Вашему вниманию предлагаются 2 по отдельности несложных задачки:
1) Найти $ x: \lim_{n\rightarrow \infty}{x}^{{x}^{{.}^{x}}} = 2$
2) Найти $ x: \lim_{n\rightarrow \infty}{x}^{{x}^{{.}^{x}}} = 4$
Обьясните парадокс:)
Думаю, проблема в расходимости - но нормального доказательства не придумал.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены ТеХом

St.Voland, запишите формулы ТеХом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул

У Вас итерирование возведения в степень бесконечно или конечно ($n$ раз)?

[St.Voland]

Бесконечно. Оформить как лимит?

[kw_artem]

А что Вас смутило? т.к. тетрация бесконечная, то выражение для степени числа $x$ выглядит абсолютно также как и сама тетрация числа $x$, а значит можно сделать простую замену переменных...

[ewert]

St.Voland в сообщении #674595 писал(а):

Бесконечно. Оформить как лимит?

Желательно. Поскольку само по себе это бесконечное выражение смысла не имеет.

[St.Voland]

Хорошо. Решаем первый лимит. Пускай он равен 2м, делаем замену - получаем, что ${x}^{2} = 2$. Радуемся тем, что задачка оказалось такой простой и беремся за второй лимит:)
Проводим аналогичные рассуждения, получаем что ${x}^{4} = 4$
Но погодите... Ведь $\sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$
И чему же все-таки равен лимит?!? Вот это вот меня и смутило:)

[Deggial]

$E(z)=z^{z^{z^{...}}}=z^{E(z)}$.
Далее можно исследовать на экстремум функцию, заданную неявно.

St.Voland в сообщении #674603 писал(а):

Пускай он равен 2м, делаем замену - получаем, что ${x}^{2} = 2$.

Выпишите явно, что Вы делаете в обоих случаях.

[St.Voland]

Первый случай: Пускай лимит равен 2м.
Тогда Bаше $E(z) = 2$
Заменяем, получаем квадратное уравнение. Аналогичные рассуждения во втором примере.
Были мысли исследовать на экстремум, однако очевидно, что лимит может быть равен как 1, так и бесконечности. И 2, и 4 - к сожалению гдето между ними...

[ewert]

St.Voland в сообщении #674603 писал(а):

Решаем первый лимит.

Какой лимит-то? Пока что Вы ни одного лимита так и не выписали.

[St.Voland]

$\lim_{n\rightarrow\infty}{x}^{{x}^{{.}^{x}}} = 2$
То бишь, лимит последовательности функций, где $a_{n}(x) = {x}^{a_{n-1}(x)}$

[nnosipov]

St.Voland в сообщении #674603 писал(а):

И чему же все-таки равен лимит?!?

Правильный вопрос. Здесь я бы посоветовал не ограничиваться только значением $x=\sqrt{2}$, а исследовать вопрос о пределе при любом $x>1$. В качестве бонуса получите правильный ответ в п. 2).

[ewert]

St.Voland в сообщении #674611 писал(а):

лимит последовательности функций, где $a_{n}(x) = {x}^{a_{n-1}(x)}$

Это другое дело. Если этот предел вообще существует, то его значением $a$ является решение некоторого уравнения, в котором $a$ -- неизвестная и $x$ -- параметр. Выпишите это уравнение явно и попытайтесь решить графически на плоскости $(a,x)$. Тогда всё должно стать ясным.

[St.Voland]

Да, и это я пытался сделать - однако, как написал еще в 1м посту, ничего достаточно строгого. Кажется что все монотонно - но тогда и лимит должен существовать... Есть гипотеза, что с определенного значения х, лимит делает бесконечный скачок - но где этот скачок? До какого значения х, лимит будет еще действительным? Если строго показать, что 4 туда не вписывается - все супер. Ах, теперь я понял что именно имел в виду Deggial
Но будет что-то негладкое, придется повозиться...

-- 21.01.2013, 17:30 --

ewert
Честно говоря не понимаю, чем графики мне помогут - но спасибо, сейчас построю:)

[ewert]

Ну Вы графики-то нарисуйте. Они совсем простые.

У Вас ведь икс -- вполне конкретный. И обе точки пересечения Вы знаете. А поскольку начальное приближение тоже вполне конкретное, то должно быть ясно, к чему будет стремиться эта последовательность.