2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Странный предел
Сообщение21.01.2013, 17:11 


17/12/12
14
Здравствуйте. Вашему вниманию предлагаются 2 по отдельности несложных задачки:
1) Найти $ x:  \lim_{n\rightarrow \infty}{x}^{{x}^{{.}^{x}}} = 2$
2) Найти $ x:  \lim_{n\rightarrow \infty}{x}^{{x}^{{.}^{x}}} = 4$
Обьясните парадокс:)
Думаю, проблема в расходимости - но нормального доказательства не придумал.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение21.01.2013, 17:19 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены ТеХом

St.Voland, запишите формулы ТеХом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение21.01.2013, 17:36 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул


У Вас итерирование возведения в степень бесконечно или конечно ($n$ раз)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный предел
Сообщение21.01.2013, 17:39 


17/12/12
14
Бесконечно. Оформить как лимит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный предел
Сообщение21.01.2013, 17:44 


17/01/12
445
А что Вас смутило? :-) т.к. тетрация бесконечная, то выражение для степени числа $x$ выглядит абсолютно также как и сама тетрация числа $x$, а значит можно сделать простую замену переменных...

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный предел
Сообщение21.01.2013, 17:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
St.Voland в сообщении #674595 писал(а):
Бесконечно. Оформить как лимит?

Желательно. Поскольку само по себе это бесконечное выражение смысла не имеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный предел
Сообщение21.01.2013, 17:50 


17/12/12
14
Хорошо. Решаем первый лимит. Пускай он равен 2м, делаем замену - получаем, что ${x}^{2} = 2$. Радуемся тем, что задачка оказалось такой простой и беремся за второй лимит:)
Проводим аналогичные рассуждения, получаем что ${x}^{4} = 4$
Но погодите... Ведь $\sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$
И чему же все-таки равен лимит?!? Вот это вот меня и смутило:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный предел
Сообщение21.01.2013, 17:50 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
$E(z)=z^{z^{z^{...}}}=z^{E(z)}$.
Далее можно исследовать на экстремум функцию, заданную неявно.

St.Voland в сообщении #674603 писал(а):
Пускай он равен 2м, делаем замену - получаем, что ${x}^{2} = 2$.
Выпишите явно, что Вы делаете в обоих случаях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный предел
Сообщение21.01.2013, 17:56 


17/12/12
14
Первый случай: Пускай лимит равен 2м.
Тогда Bаше $E(z) = 2$
Заменяем, получаем квадратное уравнение. Аналогичные рассуждения во втором примере.
Были мысли исследовать на экстремум, однако очевидно, что лимит может быть равен как 1, так и бесконечности. И 2, и 4 - к сожалению гдето между ними...

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный предел
Сообщение21.01.2013, 18:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
St.Voland в сообщении #674603 писал(а):
Решаем первый лимит.

Какой лимит-то? Пока что Вы ни одного лимита так и не выписали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный предел
Сообщение21.01.2013, 18:06 


17/12/12
14
$\lim_{n\rightarrow\infty}{x}^{{x}^{{.}^{x}}} = 2$
То бишь, лимит последовательности функций, где $a_{n}(x) = {x}^{a_{n-1}(x)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный предел
Сообщение21.01.2013, 18:14 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
St.Voland в сообщении #674603 писал(а):
И чему же все-таки равен лимит?!?
Правильный вопрос. Здесь я бы посоветовал не ограничиваться только значением $x=\sqrt{2}$, а исследовать вопрос о пределе при любом $x>1$. В качестве бонуса получите правильный ответ в п. 2).

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный предел
Сообщение21.01.2013, 18:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
St.Voland в сообщении #674611 писал(а):
лимит последовательности функций, где $a_{n}(x) = {x}^{a_{n-1}(x)}$

Это другое дело. Если этот предел вообще существует, то его значением $a$ является решение некоторого уравнения, в котором $a$ -- неизвестная и $x$ -- параметр. Выпишите это уравнение явно и попытайтесь решить графически на плоскости $(a,x)$. Тогда всё должно стать ясным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный предел
Сообщение21.01.2013, 18:27 


17/12/12
14
Да, и это я пытался сделать - однако, как написал еще в 1м посту, ничего достаточно строгого. Кажется что все монотонно - но тогда и лимит должен существовать... Есть гипотеза, что с определенного значения х, лимит делает бесконечный скачок - но где этот скачок? До какого значения х, лимит будет еще действительным? Если строго показать, что 4 туда не вписывается - все супер. Ах, теперь я понял что именно имел в виду Deggial
Но будет что-то негладкое, придется повозиться...

-- 21.01.2013, 17:30 --

ewert
Честно говоря не понимаю, чем графики мне помогут - но спасибо, сейчас построю:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный предел
Сообщение21.01.2013, 18:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну Вы графики-то нарисуйте. Они совсем простые.

У Вас ведь икс -- вполне конкретный. И обе точки пересечения Вы знаете. А поскольку начальное приближение тоже вполне конкретное, то должно быть ясно, к чему будет стремиться эта последовательность.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group