максимум и супремум

[Elena2012]

Давно мучает один вопрос(еще с универа). в чем таки разница между максимумом и супремумом, если говорить не строгими определениями, а простыми и доступными словами? понятно, что точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно. но все ж...

в теории множеств максимум М — элемент линейно упорядоченного множества А, удовлетворяющий условию $M\geq a$ для любого a из A

супре́мумом подмножества Х упорядоченного множества (или класса) М , называется наименьший элемент М, который равен или больше всех элементов множества Х. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается $\sup X$.

[Joker_vD]

Ну, супремум множества не обязан быть элементом этого множества. Взгляните на интервал $(0,1)$.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены ТеХом

Запишите формулы ТеХом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[_hum_]

Тут главный тонкий момент в разнице между наибольшим (наименьшим) и максимальным (минимальным).
Если не ошибаюсь - наибольший элемент множества $M$ - этот тот, для которого выполняется:
- он сравним со всеми элементами $M$
- он больше всех, с которыми сравним (а значит, больше всех элементов $M$)

а максимум:

- он больше всех элементов с которыми сравним (но не исключается ситуация, когда в $M$ есть элементы, с которыми он не сравним).

Потому у одного множества $M$ может быть несколько максимальных.

[ewert]

_hum_ в сообщении #673934 писал(а):

(но не исключается ситуация, когда в $M$ есть элементы, с которыми он не сравним).

В линейно упорядоченном множестве -- исключается.

Фактически, "если говорить не строгими определениями, а простыми и доступными словами", то максимум и супремум -- это практически одно и то же. С одним лишь различием: максимум обязан достигаться, супремум же -- не факт. Или, что эквивалентно:

Joker_vD в сообщении #673899 писал(а):

супремум множества не обязан быть элементом этого множества

[_hum_]

ewert в сообщении #673938 писал(а):

В линейно упорядоченном множестве -- исключается.

Ну, если речь только про них, то тогда да - акцент на тонкость между супремумом и максимумом.

[Elena2012]

спасибо всем откликнувшимся если я правильно поняла, то все это связано с понятием открытого и закрытого множества. У открытого множества его границы (во всяком случае, некоторые) в само множество не входят, у закрытого - входят. Максимум - это граница множества, принадлежащая этому множеству. Супремум - несколько более общее понятие - это элемент на границе множества, который множеству может и не принадлежать, но множество неограниченно к нему приближается.верно?