Найти производную n-го порядка

[zaman]

Найти производную n порядка, используя разложение дроби на простейшие: $1/(x^2+1)$
Пытался решить, получилось $(-1)^nn!/(x^2+1)^{(n+1)/2}\sin((n+1)\arctg(1/x))$, только это получилось не методом разложений.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены ТеХом, не приведены попытки решения

Запишите формулы ТеХом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
Приведите попытки решений.
Еще советую в названии темы дописать в конце "n-го порядка"
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
вернул

[ИСН]

(особенно добил этот $\arctg{1\over x}$.)
А нельзя ли как-нибудь всё-таки методом разложений?

[ewert]

Ну, во всяком случае ответ -- правильный и компактный.

[zaman]

ИСН в сообщении #673121 писал(а):

:shock:
(особенно добил этот $\arctg{1\over x}$.)
А нельзя ли как-нибудь всё-таки методом разложений?

я вас об этом и спрашивал.

[Deggial]

zaman в сообщении #673237 писал(а):

я вас об этом и спрашивал.

Вы умеете раскладывать дробно-рациональную функцию в сумму простейших дробей? Здесь надо просто разложить и продифференцировать.

[ewert]

Разложите $\frac1{z^2+1}=\frac1{2i}\left(\frac1{z-i}-\frac1{z+i}\right)$, продифференцируйте, снова приведите к общему знаменателю и, не раскрывая скобок в числителе, выразите его через мнимую часть соответствующей степени в тригонометрической форме -- ровно Ваше выражение и получится.

[zaman]

ewert в сообщении #673244 писал(а):

Разложите , продифференцируйте, снова приведите к общему знаменателю и, не раскрывая скобок в числителе, выразите его через мнимую часть соответствующей степени в тригонометрической форме -- ровно Ваше выражение и получится.

у меня вышло $(-1)^nn!((x+i)^{-n-1}-(x-i)^{-n-1})/2i$

[ewert]

Ну да. А поскольку оставлять вещественную функцию в комплексной форме как-то не очень хорошо -- надо привести к общему знаменателю. А дальше -- одно из двух: или раскрыть вверху скобки и записать результат в виде некоторой суммы, либо воспользоваться тригонометрической формой записи в числителем с выходом на Ваш ответ. Только имейте в виду, что он у Вас не совсем точный: он верен всегда только для положительных аргументов, для отрицательных же -- лишь при нечётных порядках.

[zaman]

ewert в сообщении #673265 писал(а):

Ну да. А поскольку оставлять вещественную функцию в комплексной форме как-то не очень хорошо -- надо привести к общему знаменателю. А дальше -- одно из двух: или раскрыть вверху скобки и записать результат в виде некоторой суммы, либо воспользоваться тригонометрической формой записи в числителем с выходом на Ваш ответ. Только имейте в виду, что он у Вас не совсем точный: он верен всегда только для положительных аргументов, для отрицательных же -- лишь при нечётных порядках.

сверху получил сумму, спасибо большое