Волновая природа микромира

[Lvov]

Цитата:

SergeyGubanov:
1) Вместо электродинамики Максвелла-Дирака вы предлагаете другую электродинамику. Хотелось бы для начала знать как изменится:
"закон Кулона", то есть поле неподвижного точечного заряда,
спектр "атома водорода".
Кстати, в лагранжиане в формуле (13) последнее слагаемое убивает калибровочную инвариантность.

2) То есть вы ничего не поняли? ... Так вот, если вашу добавку записать по-правильному через ковариантные производные, то в лагранжиане появится дополнительный член $\bar\psi \sigma^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \psi$ отсутствующий в электродинамике Максвелла-Дирака, то есть получится, что вы предлагаете другую электродинамику.

Сергей, Вы пытаетесь "бежать впереди паровоза". Я же придерживаюсь принципа последовательного рассмотрения наработок. Сначала я рассматриваю свободный электрон и соответствующее электронное поле, и показываю, что здесь ново. Далее в моих статьях рассматривается поле взаимодействующего электрона. Так в цитированной выше статье (см. сообщение p671400 от 14.01) "Один вариант симметричного описания электронов и позитронов" дается выражение (13) для лагранжиана совокупности электронного и электромагнитного полей. Не на эту ли формулу Вы ссылаетесь в своем сообщении? Если на эту формулу, то ее последний член представляет собой лагранжиан, отвечающий электромагнитному полю, и никакой калибровочной инвариантности он не нарушает. Приводимый же Вами член вида $\bar\psi \sigma^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \psi$, описывающий плотность взаимодействия спина с ЭМ полем в моей формуле (13) присутствует. Калибровочная инвариантность или ковариантные производные у меня широко используются, только я называю это "принципом удлинения производных" при переходе от свободного к взаимодействующему электронно-позитронному полю. Такое название я не выдумал, оно известно.

Никакой новой электродинамики я не предлагаю. Все электродинамические взаимодействия электрона, связанные с его зарядом и спином, заложены в уравнениях Дирака для взаимодействующего электрона, и учитываются при решении задач квантовой электродинамики, например, методом диаграммной техники Фейнмана. Что же касается моих новшеств в части электродинамики, то я предлагаю использование волновой функции фотона в координатном представлении. Но это отдельный вопрос.

Скажу еще кое-что, нарушая последовательное рассмотрение вопросов и забегая вперед. Отличие моей методики решения задач КЭД заключается в использовании отдельных уравнений для электрона и позитрона при учете случайных вакуумных полей, которые в КЭД принято называть полями излученного и поглощенного фотонов. Фейнмановский метод диаграммной техники при этом заменяется рекурсивным методом решения электронно-позитронных уравнений, взаимодействующих с ЭМ полем, при использовании функции Грина свободного электронного поля. При этом номера рекуррентных приближений отвечают порядку фейнмановских диаграмм.

Что же касается Ваших попыток введения символов Кристоффеля и других показателей искривленного 4-пространства в уравнения электронного поля, то это уже прерогатива ОТО, а не квантовой теории. В результате Вы получите уравнения движения электрона и его спина в искривленном пространстве, но не новые свойства электрона. Повторюсь еще раз: в масштабах электрона гравитационными эффектами можно пренебречь.

С уважением О.Львов

[lek]

Lvov в сообщении #671967 писал(а):

Левая сторона левой части приведенного выражения не дотягивает, до первого члена сопряженного уравнения Дирака, так как в ней недостает члена $\partial_k\bar{\psi}\gamma^k$ ввиду того, что $\sigma^{kk}=0.$ В последних выражениях суммирование по $k$ не производится. Что бы исправить положение, добавляем и вычитаем к левой части рассматриваемого выражения недостающий член $\partial_k\bar{\psi}\gamma^k\gamma^k\sigma^{ij}\psi=\partial_k\bar{\psi}\sigma^{ij}\psi$, поскольку $\gamma^k\gamma^k=1$. Здесь снова по $k$ нет суммирования. Первый добавленный член дополняет левую часть выражения до полного первого члена левой части сопряженного уравнения Дирака, который в силу этого уравнения равен второму массовому члену $m\bar{\psi}$. Второй добавленный член со знаком минус остается, что и отражено в цитированном Вами моем выражении.

С уважением О.Львов

Ваша идея понятна. Однако (подробных) вычислений, доказывающих справедливость равенства

$$ \partial_l\bar{\psi}\sigma^{lk}\sigma^{ij}\psi =\dots= m\bar{\psi}\sigma^{ij}\psi - \partial_k\bar{\psi}\sigma^{ij}\psi, $$

я так и не увидел. Замените многоточие последовательностью формул (выше вы писали, что сделать это не сложно) и вопрос будет исчерпан...

Кстати, число свободных индексов в тензорном уравнении должно быть одинаково. У вас же первое слагаемое справа содержит $i,j$, а остальные $i,j,k$. Если это не описка, то и говорить больше не о чем...

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #672019 писал(а):

Никакой новой электродинамики я не предлагаю.

Я аккуратно со всеми исходными "орфографическими" артефактами переписал ваш лагранжиан номер 13:

$$L = -\frac{\hbar^2}{2 m c} \left( \frac{\partial \bar\psi}{\partial x^{\nu}} + \frac{i e}{c \hbar} A_{\nu} \bar\psi\right) \left( \frac{\partial \psi}{\partial x^{\nu}} - \frac{i e}{c \hbar} A_{\nu} \psi\right) +\frac{e \hbar}{4 m c^2} F_{\mu \nu} \bar\psi \sigma^{\nu \lambda}\psi -\frac{m c}{2} \bar\psi \psi -\frac{1}{2 c} \frac{\partial A_{\mu}}{\partial x^{\nu}} \frac{\partial A_{\mu}}{\partial x^{\nu}} $$

Если его причесать, то получится что-то вроде

$$\mathcal L = \left( -\frac{\hbar^2}{2 m c} g^{\mu \nu} (\nabla_{\mu} \bar\psi) (\nabla_{\nu} \psi) - \frac{e \hbar}{4 m c^2} F_{\mu \nu} \bar\psi \sigma^{\mu \nu}\psi -\frac{m c}{2} \bar\psi \psi -\frac{1}{2 c} g^{\mu \nu} g^{\sigma \lambda} (\nabla_{\mu} A_{\sigma}) (\nabla_{\nu} A_{\lambda}) \right)\sqrt{-g} $$

Вы точно уверены, что никакой новой электродинамики вы не предлагаете?

Lvov в сообщении #672019 писал(а):

Что же касается Ваших попыток введения символов Кристоффеля и других показателей искривленного 4-пространства

Величины $\Gamma_{\mu} = \frac{1}{8} {\omega_{\mu}}^{a b} [\gamma_a, \gamma_b]$ это не связности Кристоффеля, а спиновая (или лоренцевая) связность, ещё известная как коэффициенты Фока-Иваненко (1929). Что касается вашего пренебрежительного отношения к метрике и символам Кристоффеля, то без них вы свою теорию даже в сферической системе координат не напишите, то есть искривлённое пространство вообще не при чём.

[Lvov]

Цитата:

lek:
Однако (подробных) вычислений, доказывающих справедливость равенства

$$ \partial_l\bar{\psi}\sigma^{lk}\sigma^{ij}\psi =\dots= m\bar{\psi}\sigma^{ij}\psi - \partial_k\bar{\psi}\sigma^{ij}\psi, $$

я так и не увидел.
Кстати, число свободных индексов в тензорном уравнении должно быть одинаково.

Что же Вы сразу не сказали про число индексов. Конечно же у меня досадная описка, упущена матрица $\gamma^k$ в первом слагаемом правой части приводимого выражения. Следует писать $ \partial_l\bar{\psi}\sigma^{lk}\sigma^{ij}\psi = m\bar{\psi}\gamma^k\sigma^{ij}\psi - \partial_k\bar{\psi}\sigma^{ij}\psi. $

Цитата:

SergeyGubanov:
1) Вы точно уверены, что никакой новой электродинамики вы не предлагаете?
2) Что касается вашего пренебрежительного отношения к метрике и символам Кристоффеля, то без них вы свою теорию даже в сферической системе координат не напишите, то есть искривлённое пространство вообще не при чём.

1) Я, конечно, уверен, что ничего нового в рассматриваемой моей формуле нет, разве что описание ЭМП с помощью вектора-потенциала. Однако готов послушать, Что Вы здесь усмотрели нового.

2) Вы ошибаетесь, касательно возможности записывать мои уравнения в сферической системе координат без метрических коэффициентов и символов Кристоффеля. См. литературу по КМ и КЭД, где зачастую используется сферическая система координат.

С уважением О.Львов

[espe]

SergeyGubanov в сообщении #671979 писал(а):

Так вот, если вашу добавку записать по-правильному через ковариантные производные, то в лагранжиане появится дополнительный член $\bar\psi \sigma^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \psi$ отсутствующий в электродинамике Максвелла-Дирака, то есть получится, что вы предлагаете другую электродинамику.

КЭД с таким членом плоха, так как будет неперенормируема.
Правда если лагранжиан квадратичный по производным, как написал далее SergeyGubanov, то перенормируема.

PS Разговаривал (без формул) с коллегой (гораздо более опытным, чем я) по поводу сохранения спина. Его не удивляет то, что добавкой дивергенции можно добиться сохранения спина. Мне как-то до сих пор это странным кажется.

[Munin]

espe в сообщении #672309 писал(а):

PS Разговаривал (без формул) с коллегой (гораздо более опытным, чем я) по поводу сохранения спина. Его не удивляет то, что добавкой дивергенции можно добиться сохранения спина. Мне как-то до сих пор это странным кажется.

А можете это как-нибудь перевести, о чём тут вообще речь идёт?

[Lvov]

Цитата:

...дополнительный член $\bar\psi \sigma^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \psi$.
espe:
КЭД с таким членом плоха, так как будет неперенормируема.
Правда если лагранжиан квадратичный по производным, как написал далее SergeyGubanov, то перенормируема.

Г. espe, поясните, пожалуйста, какая перенормировка имеется в виду, и почему КЭД с таким членом не будет неперенормируема? Я знаю о перенормировке массы и перенормировке заряда для устранения расходимостей в фейнмановской методике расчета электродинамических явлений. Об этой ли перенормировке идет речь, и почему рассматриваемая добавка препятствует перенормировке?

Далее, я не вижу принципиальной разницы в моей записи лагранжиана и его записи Сергеем Губановым, в которой введены метрические коэффициенты, обобщающие выражения на любую систему координат и криволинейное 4-пространство. При этом дополнительный спорный член он вообще оставил без изменения. В КЭД же принято записывать формулы в прямоугольной системе координат, что я и сделал. "Ковариантные" операторы вида $\nabla_{\mu}$ перед функцией $\psi$ Сергей понимает не только, как ковариантную частную производную ОТО, но одновременно и как принцип удлинения оператора производной оператором $\frac{i e}{c \hbar} A_{\nu}$, что сделано и у меня применительно к прямоугольным координатам.

Еще замечу, что мое выражение (13) является обобщением лагранжиана спинорного уравнения Клейна-Гордона (но не уравнения Дирака) для свободного электрона, на случай связанного электрона, т.е. на случай присутствия ЭМП. Последний же член в этом лагранжиане отвечает свободному ЭМП. Таким образом, этот лагранжиан дает уравнения взаимодействующих электронного (точнее электронно-позитронного) и электромагнитного полей.
Поэтому, мне непонятно, почему лагражиан в записи Сергея стал перенормируемым?

С уважением О.Львов

[Lvov]

Цитата:

...дополнительный член $\bar\psi \sigma^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \psi$.
espe:
КЭД с таким членом плоха, так как будет неперенормируема.

В вузовском учебнике А.Н.Кушниренко "Введение в квантовую теорию поля", 1983, я посмотрел раздел об устранении расходимостей и перенормировках в КЭД. Действительно, в конце пар. 6.12 "Перенормируемые и неперенормируемые теории" приводится недопустимый в лагранжиане тип оператора плотности взаимодействия полей, совпадающий с нашим пресловутым дополнительным членом.
Но сдругой стороны в той же книге можно видеть скептические замечания, касающиеся метода устранения расходимостей и вообще методов КЭД.
Так у Кушниренко во вводном разделе говорится: "Устранение расходимостей при помощи перенормировки масс и зарядов является некоторой удачной полумерой, которая всегда вызывала у физиков определенное чувство неудовлетворенности". И еше: "Если отвлечься от проблемы корректного устранения расходимостей, то можно считать, что в квантовой электродинамике положение более или менее удовлетворительное".
А в КЭД Ландау-Лифшица, т.4, 1980, в конце введения есть такие слова: "Отсутствие полной логической замкнутости в этой теории проявляется в появлении расходящихся выражений при прямом применении ее математического аппарата, но для устранения этих расходимостей существуют вполне однозначные способы. Тем не менее эти способы сохраняют характер полуэмпирических рецептов, и наша уверенность в правильности получающихся таким путем результатов основана в конечном счете на их прекрасном согласии с опытом, а не на внутренней согласованности и логической стройности основных принципов теории".

Касаясь рассматриваемых новых операторов спинового момента, еще раз хочу обратить внимание, что помимо факта сохранения спинмомента свободного электрона, новый метод устраняет проблему собственных функций оператора спина, которые в случае принятого оператора в общем случае не являются решениями уравнения Дирака, а также обеспечивает приемлемые значения спина движущегося электрона. Эти вопросы более подробно освещены в моем сообщении p668254 от 7 января.

С уважением О.Львов

[Lvov]

Цитата:

При анализе проблем, касающихся нового оператора спинмомента

$\hat M^{ij}\,=\,\frac1 4 (1\,-\,\frac1 m \,\gamma^k \frac {\partial}{\partial x^k})\,\sigma^{ij}\,\,.$

возникают следующие вопросы:
1) Спин отражает внутреннее состояние частицы и не должен зависеть от координатных переменных. В нашем же выражении координатные переменные фигурируют.
2) В КЭД показывается, что согласно теореме Нётер оператор спина должен совпадать с оператором малого поворота системы координат, т.е. в случае спинорной функции - иметь вид $\sigma^{ij}$ .

Я даю следующие ответы на эти вопросы:

1) Выражение для нового оператора зависит не от координат, а от координатных производных. При этом первая часть нового оператора

$1\,-\,\frac1 m \,\gamma^k \frac {\partial}{\partial x^k}$

представляет собой оператор проектирования, выделяющий из общих решений спинорного уравнения Клейна-Гордона $\psi=\psi_0\,\exp(i\omega t\,-\,i\vec{k}\vec{x})$ решения, отвечающие уравнению Дирака.

2) Теорема Нётер не справедлива, когда во внимание принимается лишь часть (в данном случае половина) решений, рассматриваемого класса
$\psi=\psi_0\,\exp(i\omega t\,-\,i\vec{k}\vec{x})$. Операторы, отвечающие рассматриваемой теореме, должны корректироваться путем добавления оператора, выделяющего рассматриваемую часть функций.

С уважением О.Львов

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #672533 писал(а):

Еще замечу, что мое выражение (13) является обобщением лагранжиана спинорного уравнения Клейна-Гордона (но не уравнения Дирака) для свободного электрона

Ну наконец-то вы сами это написали. Я вам до этого несколько раз писал, что вы работаете с другой теорией, а вовсе не с электродинамикой Максвелла-Дирака.

Если вы предлагаете эту другую теорию именно для описания электрона, как замену электродинамики Максвелла-Дирака, то сначала вы должны доказать, что эта теория проходит "тест на вшивость", то есть даёт правильный закон Кулона и правильный спектр атома водорода. Это только для начала, первое что пришло в голову мне, а кто-то другой на этом форуме может подкинуть ещё парочку "тестов на вшивость" для этой теории.

[g______d]

Lvov в сообщении #671400 писал(а):

В случае уравнения Клейна-Гордона-Фока (см. статью 9 со ссылкой на головной странице публикации) разделение производится по знаку релаксационной частоты, который, как известно, является инвариантом при смене ИСО. В случае свободных частиц получаемые уравнения первого порядка по времени для частицы и античастицы имеют следующий вид:

$$\left(i\frac {\partial}{\partial x_0}\pm\sqrt{m^2+\frac{\partial^2}{\partial x^2_\nu}}\right)\,\psi\,=0,\,\,\,(2)$$

где знак "+" отвечает основной частице, а знак "-" античастице, $\nu\,=\,1,\,2,\,3.$
Линейный оператор $\hat{O}\,=\,\sqrt{m^2+\frac{\partial^2}{\partial x^2_\nu}}$ в выражении (2) следует понимать в смысле разложения радикала в степенной ряд

$$\hat{O}\,=\,m\,+\,\frac {1}{2m} \frac {\partial^2}{\partial x^2_\nu}\,-\,\frac {1}{8m^3}\frac{\partial^2}{\partial x^2_\nu}\frac {\partial^2}{\partial x^2_\mu}\,+\,\cdots\,. $$

Справедливость уравнений (2) при указанном определении оператора $\hat{O}$ следует из того факта, что при подстановке в них спектральных составляющих волновой функции получается правильное релятивистское соотношение для компонент волнового 4-вектора $\omega=\pm\sqrt{\omega^2_0+\vec{k}^2}$.

У меня есть вопрос по этой части, хотя и довольно наивный. Смысл появления уравнения Дирака, как я понимаю, в том, что удалось извлечь корень из оператора Лапласа, оставаясь в классе дифференциальных операторов (правда, с уходом в матричные операторы). Вы же предлагаете более наивную версию, извлечение корня в смысле корня из самосопряженного оператора (например, это можно сделать, записав оператор как оператор умножения в Фурье-представлении и заменив его на умножение на корень из функции; получится Ваш $\hat O$).

Полученный оператор перестал быть дифференциальным и, следовательно, перестал быть локальным. И далее лагранжиан (формула (5) в статье по ссылке) тоже не локален.

Насколько это осмысленно с точки зрения физики?

-- 18.01.2013, 21:01 --

Возможно, я где-то оператор Лапласа путаю с оператором Даламбера или Клейна-Гордона, тогда нужно аккуратнее с положительностью, но вопрос остается.

[Lvov]

Цитата:

SergeyGubanov:
Если вы предлагаете эту другую теорию именно для описания электрона, как замену электродинамики Максвелла-Дирака, то сначала вы должны доказать, что эта теория проходит "тест на вшивость", то есть даёт правильный закон Кулона и правильный спектр атома водорода.

Сергей, Вы опять имеете ввиду новый дополнительный член $\bar\psi \sigma^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \psi$.в моем лагранжиане спинорного уравнения Клейна-Гордона взаимодействующего электронно-позитронного поля. Но этот же самый член будет фигурировать и в обновленном лагранжиане уравнения Дирака взаимодействующего электрона. Так что, рассматриваемый дополнительный член не связан с видом уравнения.

Методика же расчета электродинамических явлений (в частности, диаграммная техника Фейнмана) основана на использовании функции распространения электрона, получаемой непосредственно из уравнения Дирака, но не из его лагранжиана. Я же на настоящем этапе проработки своих гипотез не предлагаю замены уравнения Дирака новым уравнением электрона. Так что о "тест(е) на вшивость" закона Кулона и спектра атома водорода(?) речи быть не может.

Изменяется у меня лишь значение спинового и орбитального момента быстро движущегося электрона. В состояниях атома водорода, отличных от s-состояния, электрон имеет отличный от нуля орбитальный момент. В основном состоянии его скорость составляет 1/137 скорости света. Но и в этом случае у меня нет уверенности, что спектры излучения, например, при переходах между p-состояниями электрона ощутимо изменятся.

Цитата:

g______d:
Смысл появления уравнения Дирака, как я понимаю, в том, что удалось извлечь корень из оператора Лапласа, оставаясь в классе дифференциальных операторов (правда, с уходом в матричные операторы). Вы же предлагаете более наивную версию, извлечение корня в смысле корня из самосопряженного оператора (например, это можно сделать, записав оператор как оператор умножения в Фурье-представлении и заменив его на умножение на корень из функции; получится Ваш $\hat O$).

Полученный оператор перестал быть дифференциальным и, следовательно, перестал быть локальным. И далее лагранжиан (формула (5) в статье по ссылке) тоже не локален.

Насколько это осмысленно с точки зрения физики?

"Наивность (моей) версии" заключается лишь в том, что я рассматриваю уравнение Клейна-Гордона, учитывающее релятивистские эффекты, но не учитывающее спин микрочастицы. Возможно, это уравнение верно для некоторых бозонов. Фурье-преобразование я в своем методе не использую, но использую разложение неосмысливаемого оператора-корня в осмысленный степенной операторный ряд Маклорена.
Не понимаю, почему Вы считаете, что мой оператор $\hat O$ и лагранжиан (5) перестали быть дифференциальными и локальными?
Отмечу, что, если ограничиться двумя членами разложения корня в ряд и исключить энергию покоя частицы (первый член разложения в ряд), то мое уравнение переходит в уравнение Шрёдингера.

По-моему, с точки зрения физики все осмысленно. Положительные частоты осцилляции волновой функции отвечают частице, отрицательные - античастице. Определяемые вариационным методом знаки зарядов верны, а энергия всегда положительна. В отличие от принятого мнения, я не считаю, что знак частоты осцилляции волновой функции однозначно связан со знаком энергии.

С уважением О.Львов

[espe]

Munin в сообщении #672383 писал(а):

А можете это как-нибудь перевести, о чём тут вообще речь идёт?

Есть лагранжиан Дирака. По теореме Нётер из него получаем сохраняющуюся величину --- момент импульса. Если разбить этот момент импульса на орбитальную и спиновую части, то они по отдельности не сохраняются.

Теперь добавляем к лагранжиану Дирака дивергенцию, которую предложил Lvov и опять по теореме Нётер находим момент импульса. Если теперь разложить момент импульса на орбитальную и спиновую части по той же процедуре как написано в учебниках, то окажется, что теперь они по отдельности сохраняются.

Lvov в сообщении #672533 писал(а):

Г. espe, поясните, пожалуйста, какая перенормировка имеется в виду, и почему КЭД с таким членом не будет неперенормируема?
.....
Поэтому, мне непонятно, почему лагражиан в записи Сергея стал перенормируемым?

Имеется ввиду обычная перенормировка. В частности заряда и массы. О перенормируемости я уже писал здесь.

Если квадратичная по полям часть лагранжиана линейна по производным (как в лагранжиане Дирака), то каноническая (массовая) размерность поля =3/2, и это поле даёт вклад в $f_i$ в формуле по ссылке. Если квадратичная по полям часть лагранжиана квадратична по производным, как предлагаете Вы, то каноническая размерность поля =1 и это поле даёт вклад в $b_i$. Отсюда и изменение перенормируемости.

Берём Ваше взаимодействие $\bar{\psi}\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\psi$.
Каноническая размерность $A_\mu$ равна 1, $F_{\mu\nu}$ --- 2 (поле 1+ производная 1).
Если размерность $\psi$ =3/2, то каноническая размерность взаимодействия =5. Теория с таким взаимодействием неперенормируема.
Если размерность $\psi$ =1, то размерность взаимодействия =4 и теория перенормируема.

[Munin]

espe в сообщении #673584 писал(а):

Теперь добавляем к лагранжиану Дирака дивергенцию, которую предложил Lvov и опять по теореме Нётер находим момент импульса. Если теперь разложить момент импульса на орбитальную и спиновую части по той же процедуре как написано в учебниках, то окажется, что теперь они по отдельности сохраняются.

В таком варианте и я не вижу ничего удивительного.

Спасибо за пересказ.

Одно только интересно: не наделал ли Lvov ошибок...

[g______d]

Lvov в сообщении #673560 писал(а):

Фурье-преобразование я в своем методе не использую, но использую разложение неосмысливаемого оператора-корня в осмысленный степенной операторный ряд Маклорена.

"Операторный ряд Маклорена" --- это очень плохой объект. См. ниже.

Lvov в сообщении #673560 писал(а):

Не понимаю, почему Вы считаете, что мой оператор $\hat O$ и лагранжиан (5) перестали быть дифференциальными и локальными?

Потому что он содержит производные всех порядков (из Вашего ряда Маклорена). Если хотите, то это дифференциальный оператор бесконечного порядка (хотя на самом деле это псевдодифференциальный оператор первого порядка). Т. е. плотность лагранжиана зависит не только от функции и ее первых производных, но и вообще от всех ее производных. Кстати говоря, как Вы уравнения Эйлера получили? Это уж точно требует пояснений в случае такого лагранжиана.

Под "локальностью" я понимаю следующее: чтобы знать плотность лагранжиана в данной точке, достаточно знать функцию в сколь угодно малой окрестности этой точки. Это довольно разумное физическое требование. Ему удовлетворяют все существующие лагранжианы. Если мне не изменяет память, операторы типа $\hat O$ такому свойству не удовлетворяют (несмотря на то, что формально достаточно знать все производные в данной точке, этот "ряд Маклорена" не будет сходиться вообще ни к чему осмысленному).

В любом случае, лагранжиан, зависящий от бесконечного числа производных --- это объект, для введения которого нужны очень серьезные основания.