Волновая природа микромира

[g______d]

Lvov в сообщении #678772 писал(а):

Меня очень интересует, каким образом получают сходящийся ряд "через преобразование Фурье" без "формальных линейных операторов".
Ведь я и в некоторой степени использую метод Фурье, говоря о спектральных составляющих искомого решения.

$$ (\sqrt{m^2-\Delta}f)(x)=\mathcal F^{-1}(\sqrt{m^2+k^2}(\mathcal F f)(k))(x). $$

$\mathcal F$ --- преобразование Фурье.

Учебники --- правда, почти любые учебники по мат. физике. Например, Владимиров, "Уравнения математической магии физики"; там, кажется, даже оператор Клейна-Гордона был.

[Someone]

type2b в сообщении #678768 писал(а):

точнее, если range $p$ меньше $m$, то, видимо, локален (доказывать разложением в ряд), но этот класс функций нас не устраивает. А на более широком классе он уже нелокален.

Ситуация, видимо, много хуже. Дело в том, что подавляющее большинство (в некотором смысле) бесконечно дифференцируемых функций не разлагаются в степенной ряд (ни в какой точке), поэтому разложением в степенной ряд ничего доказать не удастся.

[Munin]

type2b в сообщении #678676 писал(а):

ух какая хорошая теорема, спасибо!

+1. Тоже спасибо!

(Оффтоп)

Jaak Peetre по происхождению эстонец, по-русски его можно называть Яак Пеетре.

Lvov в сообщении #678772 писал(а):

Увы, я не нашел ничего о рассматриваемых уравнениях в указанном справочнике Полянина А.Д.

Страница 404, пункт 6.6.1-1 (фундаментальное решение волнового уравнения с $n$ пространственными переменными).

[g______d]

Если что, вот формула для обратного преобразования Фурье от $\sqrt{m^2+p^2}$ в размерности 3 (если я правильно подставил числа в формулу из Гельфанда-Шилова):

$$ \frac{4\sqrt{2}\pi^2 m^{2} K_{2}(m|x|)}{|x|^{2}} $$

$K_2$ --- функция Макдональда, http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_fun ... 2C_K.CE.B1

В общем, такая штука получится, если оператор $\sqrt{m^2-\Delta}$ применить к $\delta(x)$. Если вместо $\delta(x)$ взять что-то гладкое и сидящее в окрестности нуля, то должно получиться что-то близкое.

[Lvov]

Цитата:

type2b:
Короче, класс функций, на которых он (ряд радикал-оператора, Lv) определен, нас совсем не устраивает.

Господа математики, подумав я сильно сдаю свои позиции. До меня, наконец, дошло, что сходимости предложенного ряда (см. p675346 от 23.01) для отдельных спектральных составляющих недостаточно. Итак, в случае свободной частицы предлагаемое уравнение корректно лишь для тех решений, для которых во всех пространственных точках предложенный ряд сходится. А это имеет место лишь для относительно малых скоростей и энергий частицы. В случае связанной частицы вопрос дополнительно усложняется, так как здесь сходимость ряда может ухудшаться под влиянием вектора-потенциала ЭМП.

Господин type2b, я так и не видел в Ваших ответах конкретных примеров решения с ограниченным импульсом частицы, где предложенные уравнения отказывают. Не понятны мне и Ваши рассуждения касательно обрезания массы частицы. Об обрезании массы не может быть речи. Это константа уравнения.

Цитата:

Someone:
1) Из указанной теоремы сразу следует, что Ваш оператор не удовлетворяет условию локальности, то есть, существует бесконечно дифференцируемая функция $\psi$, которую Ваш оператор $D$ преобразует в функцию $D\psi$, которая не равна нулю там, где равна нулю сама функция $\psi$.
2 ) Вы запрещаете рассматривать локализованные (в конечной области) электроны и позитроны? Указанные Вами функции "размазаны" по всему пространству.
3) (Касательно ограниченности импульса частицы, Lv). Это с какой стати?

1) Приведите, пожалуйста, пример такой функции рассматриваемого класса функций, т.е функций удовлетворяющих УКГ.

2) К Вашему сведению спектральные составляющие любой компактной функции размазаны по всему пространству.

3) Бессмысленно говорить о частице с бесконечными значениями импульса и энергии.

Еще замечу, что я не согласен с Вашими критическими рассуждениями в части поиска уравнения по лагранжиану. Лагранжиан заметно не упростился после подстановке в него нашего предполагаемого соотношения. Да и привел он к другому уравнению Эйлера, которое тем не менее подтвердило справедливость нашего соотношения.

С уважением О.Львов

[Someone]

Lvov в сообщении #678936 писал(а):

1) Приведите, пожалуйста, пример такой функции рассматриваемого класса функций, т.е функций удовлетворяющих УКГ.

Во-первых, не вижу нужды приводить конкретный пример, когда есть общая теорема, утверждающая, что такая функция обязательно есть.
Во-вторых, Вам уже объясняли, что нельзя ограничивать класс функций, используемых при варьировании действия. Поэтому попытка ограничиться решениями какого-либо конкретного уравнения просто приведёт к неправильным результатам.

g______d в сообщении #678280 писал(а):

в выводе уравнений Эйлера предполагается, что варьирование происходит по всем гладким функциям, а не только по удовлетворяющим дополнительным условиям

По этой причине поиск требуемой Вами функции смысла не имеет.

Lvov в сообщении #678936 писал(а):

К Вашему сведению спектральные составляющие любой компактной функции размазаны по всему пространству.

Функции с компактным носителем? Безусловно. Причём, этих составляющих там - континуальное "количество". А конечное число плоских волн не дадут локализованного решения.

Lvov в сообщении #678936 писал(а):

Бессмысленно говорить о частице с бесконечными значениями импульса и энергии.

А кто говорит о таких частицах? Именно с бесконечными значениями импульса и энергии?

Lvov в сообщении #678936 писал(а):

Еще замечу, что я не согласен с Вашими критическими рассуждениями в части поиска уравнения по лагранжиану. Лагранжиан заметно не упростился после подстановке в него нашего предполагаемого соотношения. Да и привел он к другому уравнению Эйлера, которое тем не менее подтвердило справедливость нашего соотношения.

Я не вижу у Вас вообще никакого вывода уравнений из лагранжиана. У Вас есть только упрощение лагранжиана с использованием взятого с потолка соотношения и заявление, что полученный после этого лагранжиан даёт нужные уравнения. В общем-то, известно, в каких случаях то или иное изменение лагранжиана даёт лагранжиан, эквивалентный исходному в том смысле, что из нового лагранжиана получаются те же уравнения движения, что и из старого. Ваше преобразование не относится к числу таких, поэтому упрощённый лагранжиан даёт не такие уравнения, как исходный (более того, совершенно непонятно, даёт ли исходный лагранжиан какие-нибудь уравнения вообще).

[Munin]

Lvov в сообщении #678936 писал(а):

1) Приведите, пожалуйста, пример такой функции рассматриваемого класса функций, т.е функций удовлетворяющих УКГ.

Достаточно взять решение уравнения Клейна-Гордона для начального условия - дельта-функции. Оно всё будет внутри светового конуса, а ваш оператор от неё - нет.

[Lvov]

Цитата:

Munin:
Страница 404, пункт 6.6.1-1 (фундаментальное решение волнового уравнения с $n$ пространственными переменными).

Но здесь только известные гиперболические уравнения, и ничего нет о рассматриваемом нами уравнении с радикалом.

Господа, а знает ли кто литературу, где рассматривается наше волновое уравнение с производной первого порядка по времени.

Цитата:

g______d сообщение p678779:

$$ (\sqrt{m^2-\Delta}f)(x)=\mathcal F^{-1}(\sqrt{m^2+k^2}(\mathcal F f)(k))(x). $$

$\mathcal F$ --- преобразование Фурье.

По-моему, это хороший вариант решения рассматриваемой задачи для свободной частицы. Достаточно заменить второй член рассматриваемого уравнения с радикал-оператором Вашим выражением с прямой и обратной Фурье-трансформацией со знаком плюс для основной частицы и знаком минус для античастицы.
Правда, мне непонятно, зачем в следующем сообщении p678874 Вы даете формулу для обратного преобразования Фурье от $\sqrt{m^2+p^2}$. Ведь в первой Вашей формуле величина $\sqrt{m^2+p^2}$ - функциональный множитель, и второе преобразование мы делаем от новой функции переменной $p$. Может быть Вы хотите заменить Фурье-преобразование произведения функций сверткой функций-сомножителей?

И еще один более серьезный вопрос, как быть с уравнением для электрона в электромагнитном поле, когда выполняется замена частных производных вида

$$\frac {\partial} {\partial x^i} \rightarrow \frac {\partial} {\partial x^i} - ieA_i.$$

Здесь вариант с Фурье-преобразованиями напрямую не проходит.

С уважением О.Львов

[Jnrty]

Как убедительно выяснилось к тринадцатой странице, автор предлагаемой здесь теории не в состоянии ни обосновать локальность своего лагранжиана (наоборот, доводы оппонентов являются вполне достаточными, чтобы утверждать его нелокальность), ни вывести придуманные им уравнения из этого лагранжиана, ни учесть взаимодействие.

Jnrty:

В Пургаторий.