геометрия постранства

[schekn]

casualvisitor в сообщении #669334 писал(а):

Можно включить в этот "добавочный поясок" всю вторую полусферу за исключением ее полюса и использовать стереографическую проекцию. Вообще, минимальный атлас для двумерной сферы можно составить из двух карт на основе двух стереографических проекций.

Если я правильно себе представил , то одна и та же точка сферы войдет сразу в две карты. Разве это возможно?

[kostiani]

schekn в сообщении #670189 писал(а):

Если я правильно себе представил , то одна и та же точка сферы войдет сразу в две карты. Разве это возможно?

Какое хорошее предложение! Я начал врубаться благодаря ему. Все остальное детали. Спасибо.

[schekn]

g______d в сообщении #669818 писал(а):

Вопрос был о возможности однозначного отображения в неявном предположении его непрерывности

Правильно ли я понимаю, что если допустить разрывность отображения, то можно изменить топологию объекта?

[kostiani]

schekn в сообщении #670208 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что если допустить разрывность отображения, то можно изменить топологию объекта?

Побольше таких вопросов. Только о топологии---кто изменять будет?

[casualvisitor]

schekn в сообщении #670189 писал(а):

Если я правильно себе представил , то одна и та же точка сферы войдет сразу в две карты. Разве это возможно?

Представили Вы правильно. А Ваш вопрос заставляет задать вопрос встречный:
Что Вы называли согласованностью карт? Вы говорили о ней здесь:

schekn в сообщении #669153 писал(а):

получим две согласованные карты

schekn в сообщении #670208 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что если допустить разрывность отображения, то можно изменить топологию объекта?

Вы о чем? ...
Задание на пространстве какого-нибудь отображения не может изменить топологии этого пространства ...

Гомеоморфизм (не просто непрерывное, а взаимно-однозначное и непрерывное в обе стороны отображение) устанавливает определенную эквивалентность между топ. пространствами, называемую топологической эквивалентностью. Сказать, что два пространства гомеоморфны, или что они топологически эквивалентны, или что они имеют одинаковую (или просто ту же) топологию, - одно и то же.

[g______d]

schekn в сообщении #670208 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что если допустить разрывность отображения, то можно изменить топологию объекта?

Изменяя отображение, Вы ничего с самими объектами не делаете. Поэтому нет.

Непрерывность отображения $f\colon M\to N$ --- это его согласованность с топологиями на $M$ и $N$. Я бы очень советовал посмотреть точные определения, они простые (тем более, Вы не первый раз пишете в темах, связанных с топологией). Прообраз открытого множества должен быть открыт.

В принципе, если на одном из объектов изначально нет никакой топологии, то можно построить топологию с помощью $f$, чтобы $f$ было в ней непрерывно. Таких топологий обычно много, и из них надо какую-то выбирать (например, слабейшую или сильнейшую, в которой $f$ непрерывно).

-- 11.01.2013, 13:34 --

schekn в сообщении #670189 писал(а):

Если я правильно себе представил , то одна и та же точка сферы войдет сразу в две карты. Разве это возможно?

Опять же, посмотрите определения. Да, такое возможно, и без этого не обойтись. Карт может быть сколько угодно, лишь бы были согласованы. Есть даже понятие "максимальный атлас", состоящий из всех возможных карт, согласованных с некоторым данным атласом.

[Munin]

schekn в сообщении #670189 писал(а):

Если я правильно себе представил , то одна и та же точка сферы войдет сразу в две карты. Разве это возможно?

Это не только возможно, но необходимо. Согласование двух карт - это то, что происходит в той части многообразия, где лоскуты этих карт перекрываются. Все карты, вместе взятые, должны покрывать многообразие с перекрытиями. Если быть щедрым - то можно сделать так, чтобы почти все точки многообразия охватывались более чем одной картой.

[schekn]

g______d в сообщении #670226 писал(а):

Непрерывность отображения $f\colon M\to N$ --- это его согласованность с топологиями на $M$ и $N$. Я бы очень советовал посмотреть точные определения, они простые (тем более, Вы не первый раз пишете в темах, связанных с топологией). Прообраз открытого множества должен быть открыт.

Во всех определениях говорится, что два отображения связаны между собой преобразованиями класса N, то есть как минимум непрерывными (N=0). Я хочу понять , что будет, если мы нарушим это правило и применим сингулярные преобразования хотя бы какой-то точке (или поверхности..)
(По первому вопросу понятно, это я что-то затормозил.)

[g______d]

schekn в сообщении #670759 писал(а):

Во всех определениях говорится, что два отображения связаны между собой преобразованиями класса N, то есть как минимум непрерывными (N=0). Я хочу понять , что будет, если мы нарушим это правило и применим сингулярные преобразования хотя бы какой-то точке (или поверхности..)

Во всех определениях чего? Многообразия? И $N$ --- это $C^N$?

Т. е. Вы хотите переопределить многообразие, чтобы функции перехода не были непрерывными, что ли? Тогда будет плохо. Одна и та же функция будет непрерывна в одной системе координат и разрывна в другой. А всегда хочется, чтобы понятие непрерывности не зависело от системы координат.

[casualvisitor]

schekn в сообщении #670759 писал(а):

Во всех определениях говорится, что два отображения связаны между собой преобразованиями класса N, то есть как минимум непрерывными (N=0). Я хочу понять , что будет, если мы нарушим это правило и применим сингулярные преобразования хотя бы какой-то точке (или поверхности..)

1. Что значит "применим сингулярные преобразования"? ... Если сформулируете точное определение, то появится что обсуждать.

2. Пространства, в которых "мы нарушили это правило" встречаются. Точки (линии, поверхности), в которых "правила нарушаются" можно считать "сингулярностями". Рассмотрите пример восьмерки - букета из 2 окружностей с 1 общей точкой. Является ли это пространство многообразием? Почему? Не имеет ли это пространство "сингулярностей"? Видите ли Вы в этом примере какие-нибудь "сингулярные преобразования"?

[Munin]

schekn
Всё намного упростится, если вы будете считать, что сами многообразия уже заданы (пусть какими-то картами с нужным классом гладкости), а уже потом между ними рассматриваются разные отображения. В том числе, можно брать разрывные, сингулярные, какие угодно.

[schekn]

g______d в сообщении #670772 писал(а):

Т. е. Вы хотите переопределить многообразие, чтобы функции перехода не были непрерывными, что ли? Тогда будет плохо. Одна и та же функция будет непрерывна в одной системе координат и разрывна в другой. А всегда хочется, чтобы понятие непрерывности не зависело от системы координат.

Не то , чтобы очень хочу, но мне кажется я столкнулся с такой ситуацией. Попробую привести пример. Бесконечный конус (без основания) отображаю на плоскость пусть с декартовой системой координат, взаимооднозначным способом. Пусть вершина отобразилась в точку с координатами x=0, y=0. Второй случай: я имею тот же конус, только с "выколотой" вершиной, это другое многообразие. Я его точно также отображаю на ту же плоскость , выколотая вершина имеет те же координаты (0,0). Это наша физическая неустранимая особенность. Я применяю сингулярные преобразования координат : x`=1/x, y`=1/y. Я формально устранил эту особенность, у меня получилось, как будто на карте с новыми координатами (x`,y`) этой особенности не было. При этом топология объектов была изначально разная. В чем ошибка?

Munin в сообщении #670806 писал(а):

Всё намного упростится, если вы будете считать, что сами многообразия уже заданы (пусть какими-то картами с нужным классом гладкости), а уже потом между ними рассматриваются разные отображения. В том числе, можно брать разрывные, сингулярные, какие угодно.

Вот это мне и не нравится.

[Munin]

schekn в сообщении #670836 писал(а):

Вот это мне и не нравится.

Не нравится - придумывайте свою математику.

Хотя это у вас примерно такого же рода, что и "не нравится мне таблица умножения". Общепринятой все с успехом пользуются, а вашей - ещё неизвестно, как пойдёт. Обычно такие упражнения заканчиваются либо изобретением велосипеда, который просто никому новый не нужен, либо чаще - изобретением велосипеда с квадратными колёсами, который к тому же ещё и не ездит ни черта.

[casualvisitor]

schekn в сообщении #670836 писал(а):

При этом топология объектов была изначально разная. В чем ошибка?

А в чем проблема? Почему Вы заговорили об "ошибке"?
...
Если конус моделирует некую физическую систему/явления, то, отбросив вершину, Вы уже ограничились какой-то частью системы (или исключили из исследования какие-то явления). И благополучно изучаете "остаток" системы (явлений), переходя к другим координатам (переход к которым нисколько не "сингулярен", раз уж Вы выкололи вершину конуса, как не интересующую Вас). Удивляться тому, что многообразие, описывающее подсистему, имеет иную топологию, чем многообразие, описывающее всю систему, не приходится.

schekn в сообщении #670836 писал(а):

Второй случай: я имею тот же конус, только с "выколотой" вершиной, это другое многообразие.

"Первое многообразие" - это, надо полагать, исходный конус. ... А каковы классы гладкости этих двух многообразий?

Munin в сообщении #670875 писал(а):

Не нравится - придумывайте свою математику.

В данном случе все уже придумано до нас.

schekn,

гладкие многообразия нужны людям для того, чтобы иметь возможность использовать диф. исчисление. Переходы от одной карты (локальной системы координат) к другой должны быть гладкими для того, чтобы было корректным (не зависело от выбора локальной системы координат) определение гладкой функции заданной на многообразии (и/или принимающей значения в многообразии). Поэтому расширять запас допустимых переходов между локальными системами координат, добавляя к ним некие "сингулярные преобразования", бессмысленно - мы получим даже не "велосипед с квадратными колёсами", а кучу ржавчины.

Пространства, не являющиеся гладкими многообразиями, изучаются в топологии. Но вот дифференцируемой функции на таком пространстве не определить.

[casualvisitor]

casualvisitor в сообщении #670956 писал(а):

"Первое многообразие" - это, надо полагать, исходный конус. ... А каковы классы гладкости этих двух многообразий?

Прошу прощения, этот вопрос не следовало задавать.

Конус как дифференцируемое многообразие неотличим от плоскости. Остренькая вершинка конуса, которую мы себе наглядно представляем, - особенность не гладкой структуры самого многообразия, а того способа, которым плоскость вложена в трехмерное пространство чтобы стать привычным нам конусом (отображение вложения не дифференцируемо в одной точке).