При этом топология объектов была изначально разная. В чем ошибка?
А в чем проблема? Почему Вы заговорили об "ошибке"?
...
Если конус моделирует некую физическую систему/явления, то, отбросив вершину, Вы уже ограничились какой-то частью системы (или исключили из исследования какие-то явления). И благополучно изучаете "остаток" системы (явлений), переходя к другим координатам (переход к которым нисколько не "сингулярен", раз уж Вы выкололи вершину конуса, как не интересующую Вас). Удивляться тому, что многообразие, описывающее подсистему, имеет иную топологию, чем многообразие, описывающее всю систему, не приходится.
Второй случай: я имею тот же конус, только с "выколотой" вершиной, это другое многообразие.
"Первое многообразие" - это, надо полагать, исходный конус. ... А каковы классы гладкости этих двух многообразий?
Не нравится - придумывайте свою математику.
В данном случе все уже придумано до нас.
schekn,
гладкие многообразия нужны людям для того, чтобы иметь возможность использовать диф. исчисление.
Переходы от одной карты (локальной системы координат) к другой должны быть гладкими для того, чтобы было корректным (не зависело от выбора локальной системы координат) определение гладкой функции заданной на многообразии (и/или принимающей значения в многообразии). Поэтому расширять запас допустимых переходов между локальными системами координат, добавляя к ним некие "сингулярные преобразования", бессмысленно - мы получим даже не "велосипед с квадратными колёсами", а кучу ржавчины.
Пространства, не являющиеся гладкими многообразиями, изучаются в топологии. Но вот дифференцируемой функции на таком пространстве не определить.