Стационарные процессы

[Steru]

Помогите разобраться с задачей:

Является ли приведенный случайный процесс X(t) стационарным, если он записывается в виде:
$X(t)=2a\sin(t+\varphi)$ , где $\varphi$ - случайная величина с равномерным распределением $[0;\pi]$

Правильно ли я вычислила мат ожидание:

$X(t)=2a\cdot(\sin(t)\cdot\cos(\varphi ) + \sin(\varphi)\cdot \cos(t))$

$Mx(t)=2a\cdot(M[\cos(\varphi)]\cdot\sin(t)+M[\sin(\varphi)]\cdot\cos(t))$

$M[\cos(\varphi )]=(1/\pi)\cdot\int_{0}^{\pi}\cos(\varphi )d\varphi =(1/\pi)\cdot\sin(\pi )=0$

$M[\sin(\varphi )]=(1/\pi)\cdot\int_{0}^{\pi}\sin(\varphi )d\varphi =-(1/\pi)\cdot\cos(\pi )=1/\pi$

$Mx(t)=2a\cdot(\sin(t)\cdot0 + (1/\pi)\cdot \cos(t))=(2a/\pi)\cdot\cos(t)$

Если да, то дальше надо считать корелляцию?

[--mS--]

Приведите определение стационарности с.п.

[Steru]

Стационарные процессы. Процесс называют стационарным, если плотность вероятностей процесса не зависит от начала отсчета времени и если на интервале его существования выполняются условия постоянства математического ожидания и дисперсии, а корреляционная функция является функцией только разности аргументов $t = t_2-t_1$, т.e.:

$Mx(t_1) = Mx(t_2) = Mx = \operatorname{const}$

$Dx(t_1) = Dx(t_2) = Dx = \operatorname{const}$

Я не понимаю -мне надо вычислить дисперсию и МО. и просто подставить туда значения распределения бетта?

[--mS--]

Что значит "вычислить и подставить"? Вам нужно вычислить математическое ожидание величины $X(t)$. Которая есть функция от случайной величины $\beta$. Математические ожидания $\beta$, $\beta^2$, $e^\beta$, $\sin(\beta)$, $\sin(5+\beta)$ считать умеете? Вот и матожидание $X(t)$ из этой же серии.

(Оффтоп)

$$\mathsf Eg(\beta) = \int\limits_{\mathbb R}g(t)p_\beta(t)\, dt.$$

[Steru]

Математическое ожидание я вычислила, у меня получилось:
$Mx(t)=(-2a/\pi)sin(t)\

Это я уже сделала, я не понимаю, как именно нужно проверить условие постоянства

[--mS--]

Неправильно вычислили.

Постоянная функция - эта та, график которой есть прямая, параллельная оси ОХ. Или та, которая при любых значениях аргумента принимает одно и то же значение.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены ТеХом

Запишите формулы в 3-м сообщении ТеХом. Инструкции здесь или здесь (или в этом видеоролике). После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
вернул

[--mS--]

Steru в сообщении #666731 писал(а):

Правильно ли я вычислила мат ожидание:
...
$Mx(t)=2a\cdot(\sin(t)\cdot0 + (1/\pi)\cdot \cos(t))=(2a/\pi)\cdot\cos(t)$

Если да, то дальше надо считать корелляцию?

Как много нового появилось в первом сообщении
Зачем какие-то формулы синусов суммы? Почему было сразу не проинтегрировать по плотности $\sin(t+x)$? Да, ответ правильный получился.
Зачем Вы хотите считать ковариацию? Вы уже проверили то, что нужно было от матожидания? Оно является константой?